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第十章复数测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2019年高考全国Ⅲ卷文数)若z(1+i)=2i,则z=()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i解析z=--=1+i.故选D.答案D2.(2019年高考全国Ⅱ卷理数)设z=-3+2i,则在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由z=-3+2i,得=-3-2i,则=-3-2i对应的点(-3,-2)位于第三象限,故选C.答案C3.(2019年高考全国Ⅰ卷文数)设z=-,则|z|=()A.2B.√C.√D.1解析∵z=-,∴z=---i,∴|z|=√()(-)√.故选C.答案C4.(2019年高考全国Ⅱ卷文数)设z=i(2+i),则=()A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i解析由题意得z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,所以=-1-2i.故选D.答案D5.复数4[(-)(-)]化成代数形式,正确的是()A.4B.-4C.4iD.-4i解析4[(-)(-)]=4[0+i(-1)]=-4i.故选D.答案D6.460°+60°×0°+0°=()A.6√+6iB.6√-6iC.-6√+6iD.-6√-6i解析460°+60°×0°+0°=[60°+0°+60°+0°]=0°+0°=12(-√-)=-6√-6i.故选D.答案D7.(2019年高考全国Ⅰ卷理数)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1解析由题意可得z=x+yi,z-i=x+(y-1)i,则|z-i|=√-=1,则x2+(y-1)2=1.故选C.答案C8.若复数z满足|z+3-4i|=2,则z·的最大值为()A.9B.81C.7D.49解析由|z+3-4i|=2,得复数z在复平面内对应点的集合图形如图,∴|z|max=7,则z·=|z|2的最大值为49.故选D.答案D二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.在复数范围内,方程2x2-3x+2=0的解是()A.√4B.-√4C.-√4D.√4解析根据求根公式,方程2x2-3x+2=0的解是x=√-√4.故选AB.答案AB10.设z是复数,则下列命题中的真命题是()A.若z20,则z是实数B.若z20,则z是虚数C.若z是虚数,则z20D.若z是纯虚数,则z20解析设z=a+bi,a,b∈R,z2=a2-b2+2abi,对于A,z20,则b=0,所以z是实数,真命题;对于B,z20,则a=0,且b≠0,所以z是虚数;所以B为真命题;对于C,z是虚数,则b≠0,假设z20,则a2-b20且2ab=0⇒a≠0,b=0与b≠0矛盾,所以z20是假命题.对于D,z是纯虚数,则a=0,b≠0,所以z20是真命题;故选ABD.答案ABD11.下面是关于复数z=-的四个命题,其中的真命题为()A.|z|=2B.z2=2iC.z的共轭复数为1+iD.z的虚部为-1解析∵z=------=-1-i,∴A:|z|=√,B:z2=2i,C:z的共轭复数为-1+i,D:z的虚部为-1,故选BD.答案BD12.复数z的共轭复数记为,复数z,分别对应点Z,.设A是一些复数对应的点组成的集合,若对任意的Z∈A,都有∈A,就称A为“共轭点集”.下列点集中是“共轭点集”的有()A.{(x,y)|y=log2x}B.{(x,y)|y2=x}C.{|-}D.{(x,y)|y=2x}解析复数z的共轭复数记为,复数z,分别对应点Z,.设A是一些复数对应的点组成的集合,若对任意的Z∈A,都有∈A,就称A为“共轭点集”.即z,表示的点(x,y),(x,-y)都满足集合,即为“共轭点集”.B,C中的集合都满足,AD中不满足.答案BC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.i是虚数单位,则|-|的值为.解析由题可得|-||--|=2-3i=√.答案√14.已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.解析由题可得(a+2i)(1+i)=a+ai+2i+2i2=a-2+(a+2)i,令a-2=0,解得a=2.答案215.欧拉公式eix=cosx+isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,对04表示的复数z,则|z|=.解析由题意,04=cos04+isin04=cos4+isin4=-√√i,所以|z|=√=1.答案116.复数z=a-i且=1+bi(a,b∈R,i为虚数单位),则ab=;|z|=.解析由z=a-i,得-----i=1+bi,则{--解得{-∴ab=-6.z=3-i,|z|=√-√0.答案-6√0四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知复数z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R).(1)当a=1,b=2,c=3,d=4时,求|z1|,|z2|,|z1·z2|;(2)根据(1)的计算结果猜想|z1|·|z2|与|z1·z2|的关系,并证明该关系的一般性.解(1)当a=1,b=2,c=3,d=4时,|z1|=|1+2i|=√,|z2|=|3+4i|=5,|z1·z2|=|(1+2i)(3+4i)|=|-5+10i|=5√.(2)由(1)猜测,|z1|·|z2|=|z1·z2|.证明如下:∵z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R).∴|z1|=√,|z2|=√,|z1|·|z2|=√=√;z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad-bc)i,∴|z1z2|=√--=√.∴|z1|·|z2|=|z1·z2|.18.(12分)已知i为虚数单位,m为实数,复数z=(m+i)·(1-2i).(1)m为何值时,z是纯虚数;(2)若|z|≤求|z-1|的取值范围.解(1)z=(m+i)(1-2i)=(m+2)+(1-2m)i.当{0-0时,即m=-2时,z是纯虚数.(2)由|z|≤可知z的轨迹为以原点为圆心,以5为半径的圆及其内部,如图,则|z-1|的取值范围是[0,6].19.(12分)已知i为虚数单位,复数z满足|z|i+z=3+9i.(1)求z;(2)在复平面内,O为坐标原点,向量⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数分别是z,c+(2-c)i,若∠AOB是直角,求实数c的值.解(1)设z=a+bi(a,b∈R),由|z|i+z=3+9i,得a+(b+√)i=3+9i,∴{√解得{4∴z=3+4i;(2)由题意,A,B,O的坐标分别为(3,4),(c,2-c),(0,0),∴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,4),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(c,2-c),∵∠AOB是直角,∴3c+4(2-c)=0,即c=8.20.(12分)已知复数z=bi(b∈R),-是纯虚数,i是虚数单位.(1)求复数z的共轭复数;(2)若复数(m+z)2所表示的点在第二象限,求实数m的取值范围.解(1)∵z=bi(b∈R),∴------=-i,又∵-是纯虚数,∴-=0且≠0,解得b=2,即z=2i.∴=-2i;(2)∵z=2i,m∈R,∴(m+z)2=(m+2i)2=m2+4mi+4i2=(m2-4)+4mi,又∵复数所表示的点在第二象限,∴{-4040解得0m2,即m∈(0,2)时,复数所表示的点在第二象限.21.(12分)已知复数z满足:z2=3+4i,且z在复平面内对应的点位于第三象限.(1)求复数z;(2)设a∈R,且|()0|=2,求实数a的值.解(1)设z=c+di(c,d∈R),则z2=(c+di)2=c2-d2+2cdi=3+4i.∴{-4解得{--或{(舍去).∴z=-2-i;(2)∵=-2+i,∴----=i,∴()0=i2019=i4×504+3=-i,∴|a-i|=√=2,∴a=±√.22.(12分)已知复数z=(-√)是一元二次方程mx2+nx+1=0(m,n∈R)的一个根.(1)求m和n的值;(2)若z1=(a-2i)z,a∈R,z1为纯虚数,求|a+2i|的值.解(1)∵z=(-√)44√i=-√i是一元二次方程mx2+nx+1=0的一个根,∴-√i是一元二次方程mx2+nx+1=0的另一个根,∴(-√)(--√)=1,则m=1.(-√)(--√)=-,得n=1;(2)z1=(a-2i)z=(a-2i)(--√)(--√)(-√)i为纯虚数,则{--√0-√0即a=-2√.∴|a+2i|=|-2√+2i|=√4=4.