搜索
10.2.2复数的乘法与除法课后篇巩固提升基础巩固1.复数的虚部是()A.1B.-1C.iD.-i解析∵--=1-i,∴的虚部为-1.故选B.答案B2.已知复数z=2+i,则z·=()A.√B.√C.3D.5解析因为z=2+i,所以=2-i,所以z·=(2+i)(2-i)=5.故选D.答案D3.设复数z1在复平面内对应的点为(x,y),z=(1+2i)z1,若复数z的实部为1,则()A.x+2y=1B.2x-y=1C.2x+y=1D.x-2y=1解析由题意,z1=x+yi(x,y∈R),∴z=(1+2i)z1=(1+2i)(x+yi)=(x-2y)+(2x+y)i,由复数z的实部为1,得x-2y=1.故选D.答案D4.若复数z满足(√+2i)z=3i(i为虚数单位),则z=()A.√iB.√iC.√iD.√i解析由(√+3i)z=3i,得z=√√-√√-√√i.故选B.答案B5.已知(1+ai)(2-i)=x+yi(a,x,y∈R),i是虚数单位),则()A.x-2y=0B.2x+y-3=0C.2x-y-5=0D.2x+y+2=0解析∵(1+ai)(2-i)=(2+a)+(2a-1)i=x+yi,∴{-即2x-y-5=0.故选C.答案C6.已知复数z=-.则在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析∵z=-----=-i,∴=-i,∴在复平面内对应的点的坐标为(-),位于第二象限.故选B.答案B7.若复数z满足z(1-i)=1+i,i为虚数单位,则z2019=()A.-2iB.iC.-iD.2i解析由z(1-i)=1+i,得z=--=i,∴z2019=i2019=i4×504+3=-i.故选C.答案C8.定义运算||=ad-bc,若复数z满足|-|=2,其中i为虚数单位,则复数|z|=.解析由定义运算||=ad-bc,得|-|=zi+z=2,即z=--=1-i.∴|z|=√.答案√9.已知复数z=2+6i,若复数m+m2(1+i)为非零实数,求实数m的值.解析∵z=2+6i,∴+m2(1+i)=m(2-6i)+m2+m2i=(m2+2m)+(m2-6m),由题意,{-解得m=6.答案610.设z+1为关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的虚根,i是虚数单位.(1)当z=-1+i时,求p,q的值;(2)若q=1,在复平面上,设复数z所对应的点为M,复数2-4i所对应的点为N,试求|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的取值范围.解(1)∵z=-1+i,∴z+1=i,则方程x2+px+q=0的两根分别为i,-i.由根与系数的关系有{---∴p=0,q=1;(2)设z=a+bi(a,b∈R),若q=1,则z+1,是方程x2+px+1=0的两虚数根.则=a+1-bi.由题意可得:(z+1)=(a+1)2+b2=1.令a+1=cosθ,b=sinθ,θ∈[0,2π).∵复数z所对应的点为M,复数2-4i所对应的点为N,∴|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√--=√∈[4,6].能力提升1.已知i是虚数单位,则复数z1=2+ai,z2=1-i,若是实数,则实数a的值为()A.-2B.2C.0D.解析∵z1=2+ai,z2=1-i,∴---i,由是实数,得2+a=0,即a=-2.故选A.答案A2.设i为虚数单位,表示复数z的共轭复数,若z=1+i,则·-=()A.-iB.2iC.-1D.1解析由z=1+i,得·-----=-i.故选A.答案A3.已知复数z的共轭复数,若-,z在复平面内对应的点为()A.(-2,-1)B.(2,-1)C.(-2,1)D.(2,1)解析设z=x+yi(x.y∈R),由-,得(x-yi)(1+i)=x+yi-1,即(x+y)+(x-y)i=(x-1)+yi,则{--解得x=-2,y=-1.∴z在复平面内对应的点为(-2,-1).故选A.答案A4.设复数z1在复平面内对应的点为(x,y),z=-iz1,若复数z的实部与虚部的和为1,则()A.x+y=1B.x+y=-1C.x-y=-1D.x-y=1解析∵复数z1在复平面内对应的点为(x,y),z=-iz1,∴z=-i(x+yi)=-xi-yi2=y-xi,∵复数z的实部与虚部的和为1,∴y-x=1,∴x-y=-1.故选C.答案C5.已知p,q∈R,1+i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,则p·q=()A.-4B.0C.2D.4解析∵1+i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,∴1-i也是方程x2+px+q=0的一个根,则1+i+1-i=-p,即-p=2,p=-2,(1+i)(1-i)=q,即q=1+1=2,则p·q=-2×2=-4.故选A.答案A6.已知复数z1=-在复平面内对应的点为A,复数z2在复平面内对应的点为B,若向量⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗与虚轴垂直,则z2的虚部为.解析z1=---i,∴A(-),∵向量⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗与虚轴垂直,且复数z2在复平面内对应的点为B,∴z2的虚部为-.答案-7.若实数m,n满足i2021·(4+mi)=(n+2i)2,且z=m+ni,则|z|=.解析由i2021·(4+mi)=(n+2i)2,得i(4+mi)=n2+4ni-4,即-m+4i=n2+4ni-4,∴{--即m=3,n=1.∴|z|=|3+i|=√.答案√8.在下列命题中:①两个复数不能比较大小;②复数z=i-1对应的点在第四象限;③若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±1;④若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3;⑤“复数a+bi(a,b,c∈R)为纯虚数”是“a=0”的充要条件;⑥复数z1z2⇔z1-z20;⑦复数z满足|z|=z2;⑧复数z为实数⇔z=.其中正确命题的是.(填序号)解析以下命题:①错误,如复数2和复数3,显然23.②错误,因为复数z对应点为(-1,1),在第二象限.③错误,例如x=-1时,此复数为0.④错误,例如z2=0,z1=i,z3=i2时,等式仍成立.⑤“复数a+bi(a,b,c∈R)为纯虚数”是“a=0”的充分不必要条件,错误.⑥错误,若z1=3+i,z2=2+i,则z1-z20z1z2.⑦错误,如z=i时,|z|=1,z2=-1,等式不成立.⑧正确.故答案为⑧.答案⑧9.四边形ABCD是复平面内的平行四边形,A,B,C,D四点对应的复数分别为1+3i,2i,2+i,z.(1)求复数z;(2)z是关于x的方程2x2-px+q=0的一个根,求实数p,q的值.解(1)复平面内A,B,C对应的点坐标分别为(1,3),(0,2),(2,1),设D的坐标为(x,y),由于⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,∴(x-1,y-3)=(2,-1),∴x-1=2,y-3=-1,解得x=3,y=2,故D(3,2),则点D对应的复数z=3+5i;(2)∵3+5i是关于x的方程2x2-px+q=0的一个根,∴3-5i是关于x的方程2x2-px+q=0的另一个根,则3+5i+3-5i=,(3+5i)(3-5i)=,即p=12,q=68.10.已知复数z=(a+i)2,w=4-3i其中a是实数.(1)若在复平面内表示复数z的点位于第一象限,求a的范围;(2)若是纯虚数,a是正实数,①求a,②求()()+…+().解(1)∵z=(a+i)2=a2+2ai+i2=a2-1+2ai在复平面内表示的点位于第一象限,∴{-解得a1;(2)依题意得:=---i是纯虚数,∴4a2-6a-4=0,即(2a+1)(a-2)=0,解得a1=-(舍)或a2=2(a0),当a=2时,-i=i,∴()()+…+()=i+(i)2+(i)3+…+(i)2019=i-1-i+…-i=-1.