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10.2.1复数的加法与减法课后篇巩固提升基础巩固1.若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于()A.0B.2iC.6D.6-2i解析z=3-i-(i-3)=6-2i.答案D2.已知复数z满足1-z=2+i,则|z|=()A.√B.√C.√D.√解析复数z满足1-z=2+i,可得-z=1+i,所以|z|=√√.故选D.答案D3.若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为()A.3B.2C.1D.-1解析z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.∵z1+z2所对应的点在实轴上,∴1+a=0,∴a=-1.答案D4.设复数z满足z-i=3+i,则||=()A.√B.3C.√D.4解析由z-i=3+i,解得z=3+2i,所以=3-2i,则||=√-√.故选C.答案C5.复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A,B,C所构成的三角形是()A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形解析|AB|=|2i-1|=√,|AC|=|4+2i|=√,|BC|=5,∴|BC|2=|AB|2+|AC|2.故选A.答案A6.如图在复平面内,若复数z1,z2对应的向量分别是⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,复数z=z1+z2,则复数z所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由分式的几何意义得z1=1+2i,z2=1-i,则z=z1+z2=1+2i+1-i=2+i,对应点的坐标为(2,1),位于第一象限.故选A.答案A7.复数z满足|z-2+i|=1,则|z|的最大值是()A.√B.√C.√+1D.√-1解析|z-2+i|=1得|z-(2-i)|=1,则z的几何意义是以C(2,-1)为圆心,半径为1的圆,|z|的几何意义是圆上的点到原点的距离,则最大值为|OC|+1=√-+1=√+1.故选C.答案C8.计算|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=.解析|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=|(2+i)-(-1-3i)|=|3+4i|=√=5.答案59.已知z1=√a+(a+1)i,z2=-3√b+(b+2)i(a,b∈R),若z1-z2=4√,则a+b=.解析∵z1-z2=√a+(a+1)i-[-3√b+(b+2)i]=(√√)+(a-b-1)i=4√,由复数相等的条件知{√√√--解得{∴a+b=3.答案310.已知z1=cosα+isinα,z2=cosβ-isinβ且z1-z2=i,则cos(α+β)的值为.解析∵z1=cosα+isinα,z2=cosβ-isinβ,∴z1-z2=(cosα-cosβ)+i(sinα+sinβ)=i,∴{-①②由①2+②2得2-2cos(α+β)=1,即cos(α+β)=.答案11.在复平面内,O是原点,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,那么⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数为,B⃗⃗⃗⃗对应的复数为.解析⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-2+i)+(1+5i)=-1+6i,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3+2i)-(-1+6i)=4-4i.答案-1+6i4-4i12.复平面内有A,B,C三点,点A对应的复数是2+i,向量⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数是1+2i,向量⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数是3-i,求C点在复平面内的坐标.解∵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,∴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i,设C(x,y),则(x+yi)-(2+i)=2-3i,∴x+yi=(2+i)+(2-3i)=4-2i,故x=4,y=-2.∴C点在复平面内的坐标为(4,-2).能力提升1.设向量⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数分别为z1,z2,z3,那么()A.z1+z2+z3=0B.z1-z2-z3=0C.z1-z2+z3=0D.z1+z2-z3=0解析∵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,∴z1+z2=z3,即z1+z2-z3=0.答案D2.设z1=x+yi(x,y∈R),z2=3-4i(i为虚数单位),且|z1+z2|=5,则()A.(x+3)2+(y-4)2=5B.(x+3)2+(y-4)2=25C.(x-3)2+(y+4)2=5D.(x-3)2+(y+4)2=25解析由z1=x+yi(x,y∈R),z2=3-4i,得z1+z2=(x+yi)+(3-4i)=(x+3)+(y-4)i,又|z1+z2|=5,∴√-=5,即(x+3)2+(y-4)2=25.故选B.答案B3.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析由复数模及复数减法运算的几何意义,结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A,B,C距离相等,∴P为△ABC的外心.答案A4.▱ABCD中,点A,B,C分别对应复数4+i,3+4i,3-5i,则点D对应的复数是()A.2-3iB.4+8iC.4-8iD.1+4i解析⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数为(3+4i)-(4+i)=(3-4)+(4-1)i=-1+3i,设点D对应的复数为z,则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数为(3-5i)-z.由平行四边形法则知⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,∴-1+3i=(3-5i)-z,∴z=(3-5i)-(-1+3i)=(3+1)+(-5-3)i=4-8i.故选C.答案C5.复数z满足|z-i|=|z+3i|,则|z|()A.最小值为1,无最大值B.最大值为1,无最小值C.恒等于1D.无最大值,也无最小值解析设复数z=x+yi,其中x,y∈R,由|z-i|=|z+3i|,得|x+(y-1)i|=|x+(y+3)i|,∴x2+(y-1)2=x2+(y+3)2,解得y=-1;∴|z|=√√≥即|z|有最小值为1,没有最大值.故选A.答案A6.非零复数z1,z2分别对应复平面内的向量⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,若|z1+z2|=|z1-z2|,则()A.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|C.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗和⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗共线解析在四边形OACB内,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,∵非零复数z1,z2分别对应复平面内的向量⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则由复数加法的几何意义可知,|z1+z2|对应⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的模,|z1-z2|对应⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的模,则|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|,由⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,可知三边长OACB为平行四边形,则四边形OACB为矩形.∴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.故选A.答案A7.设复数z满足z+|z|=2+i,则z=.解析设z=x+yi(x,y∈R),则|z|=√.∴x+yi+√=2+i.∴{√解得{∴z=+i.答案+i8.复数z1=cosθ+i,z2=sinθ-i,则|z1-z2|的最大值为,最小值为.解析|z1-z2|=|(cosθ-sinθ)+2i|=√-=√-=√-,当sin2θ=-1得最大值√,当sin2θ=1得最小值2.答案√29.设z=a+bi(a,b∈R),且4(a+bi)+2(a-bi)=3√+i,又ω=sinθ-icosθ,求z的值和|z-ω|的取值范围.解∵4(a+bi)+2(a-bi)=3√+i,∴6a+2bi=3√+i,∴{√{√∴z=√i,∴z-ω=(√)-(sinθ-icosθ)=(√-)()i∴|z-ω|=√(√-)()=√-√=√-(√-)=√-(-),∵-≤(-)≤∴≤-2sin(-)≤∴≤|z-ω|≤故所求得z=√i,|z-ω|的取值范围是[0,2].10.已知|z1|=|z2|=1,z1+z2=√i,求复数z1,z2及|z1-z2|.解由于|z1+z2|=|√|=1.设z1,z2,z1+z2对应的向量分别为⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1,故A,B,C三点均在以原点为圆心,半径为1的圆上,如图.易得:cos∠AOC=,故∠AOC=60°,又由平行四边形法则知四边形OBCA为平行四边形,∴▱OACB为菱形,且△BOC,△COA都是等边三角形,即∠AOB=°.又∵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗与x轴正半轴的夹角为°∴点A在x轴上,即A(1,0).而xB=|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|°=-,yB=|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|°=√,∴点B的坐标为(-√).∴{-√或{-√∴|z1-z2|=|(-√)|√.