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10.1.2复数的几何意义课后篇巩固提升基础巩固1.复数z=1-4i的共轭复数是()A.1+4iB.-4+iC.-1+4iD.-1-4i解析复数z=1-4i的共轭复数是=1+4i.故选A.答案A2.复数z=√+i3对应的点在复平面第几象限()A.一B.二C.三D.四解析由i2=-1,z=√-i,对应点坐标为(√,-1).答案D3.复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点为Z(a,b),若|z|≤1,则点Z的轨迹是()A.直线B.线段C.圆D.单位圆以及圆内的部分解析∵复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点为Z(a,b),|z|≤1,∴点z的轨迹是在以原点为圆心,1为半径的圆及其内部,故选D.答案D4.在复平面内,O为原点,向量⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数为()A.-2-iB.-2+iC.1+2iD.-1+2i解析∵A(-1,2)关于直线y=-x的对称点B(-2,1),∴向量⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数为-2+i.答案B5.已知a,b∈R,那么在复平面内对应于复数a-bi,-a-bi的两个点的位置关系是()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=x对称解析在复平面内对应于复数a-bi,-a-bi的两个点为(a,-b)和(-a,-b)关于y轴对称.答案B6.当m1时,复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面上对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析∵m1,∴3m-20,m-10,∴点(3m-2,m-1)在第四象限.答案D7.已知复数z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复平面内的点z的轨迹是()A.实轴B.虚轴C.原点D.虚轴除去原点解析a=0时,z=bi,复平面内的点z的轨迹是虚轴.答案B8.已知复数z=x-2+yi的模是2√,则点(x,y)的轨迹方程是.解析由模的计算公式得√-=2√,∴(x-2)2+y2=8.答案(x-2)2+y2=89.复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数a的值为.解析由点(3,-5),(1,-1),(-2,a)共线可知a=5.答案510.i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=.解析∵z1=2-3i,∴z1对应的点为(2,-3),关于原点的对称点为(-2,3).∴z2=-2+3i.答案-2+3i11.设z=(1+i)sinθ-(1+icosθ)对应的点在直线x+y+1=0上,则tanθ的值为,若θ∈(,),则z=.解析由题意,得sinθ-1+sinθ-cosθ+1=0,∴tanθ=1.若θ∈(0,),则sinθ=√,cosθ=√,则z=(1+i)√-(1+√i)=√-1-√i.答案1√-1-√i12.已知两向量a,b对应的复数分别是z1=-3,z2=-1+mi(m∈R),且a,b的夹角为6°,求m的值.解因为a,b对应的复数分别为z1=-3,z2=-1+mi(m∈R),所以a=(-3,0),b=(-1,).又a,b的夹角为6°,所以cos6°=-,(-1,)√-√(-1),即1√1,解得m=±√.能力提升1.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是()A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i解析A(6,5),B(-2,3),∵C为AB的中点,∴C(2,4),∴点C对应的复数为2+4i,故选C.答案C2.已知0a2,复数z=a+i(i是虚数单位),则|z|的取值范围是()A.(1,√)B.(1,√)C.(1,3)D.(1,5)解析|z|=√1,∵0a2,∴1a2+15,∴|z|∈(1,√).答案B3.已知复数z=a+√i在复平面内对应的点位于第二象限,且|z|=2,则复数z等于()A.-1+√iB.1+√iC.-1+√i或1+√iD.-2+√i解析因为z在复平面内对应的点位于第二象限,所以a0,由|z|=2知,√√=2,解得a=±1,故a=-1,所以z=-1+√i.答案A4.若复数x=sinθ-(cos-)i(θ∈R)是纯虚数,则cosθ+icos2θ共轭复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析∵复数x=sinθ-(cos-)i(θ∈R)是纯虚数,∴{s-,cos-,即sinθ=,cosθ=-.则cos2θ=1-2sin2θ=1-2×().∴cosθ+icos2θ共轭复数的实部小于0,虚部小于0,在复平面内对应的点位于第三象限.故选C.答案C5.设A,B为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cosB-tanA)+itanB对应的点位于复平面的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析因A,B为锐角三角形的两个内角,所以A+B,即A-B,sinAcosB.cosB-tanA=cosB-scoscosB-sinA0,又tanB0,所以点(cosB-tanA,tanB)在第二象限,故选B.答案B6.已知复数z1=cosx+2f(x)i,z2=(√sinx+cosx)+i,x∈R,在复平面上,设复数z1,z2对应的点分别为Z1,Z2,若∠Z1OZ2=9°,其中O是坐标原点,则函数f(x)的最大值为()A.-1B.1C.-1D.1解析由题意,Z1(cosx,2f(x)),Z2(√sinx+cosx,1),∴∠Z1OZ2=9°,∴√sinxcosx+cos2x+2f(x)=0,即2f(x)=-√sin2x-1cos=-√sin2x-1cos2x-1,∴f(x)=-1sin(6)1,则函数f(x)的最大值为1.故选B.答案B7.复平面内长方形ABCD的四个顶点中,点A,B,C所对应的复数分别是2+3i,3+2i,-2-3i,则D点对应的复数为.解析由题意可知A(2,3),B(3,2),C(-2,-3),设D(x,y),则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,即(x-2,y-3)=(-5,-5),解得{-,-故D点对应的复数为-3-2i.答案-3-2i8.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它们所对应的点分别是A,B,C,若⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+y⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(x,y∈R),则x+y的值是.解析由复数的几何意义可知,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+y⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,即(3,-2)=x(-1,2)+y(1,1),∴{-,--,解得{1,∴x+y=5.答案59.设z为纯虚数,且|z-1|=|-1+i|,求复数z.解∵z为纯虚数,∴设z=ai(a∈R且a≠0),又|-1+i|=√,由|z-1|=|-1+i|,得√1√,解得a=±1.∴z=±i.10.已知复数z对应的向量为⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(O为坐标原点),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗与实轴正向的夹角为1°,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗终点Z在第二象限,且复数z的模为2,求复数z.解根据题意可画图形如图所示:设点Z的坐标为(a,b),a0,b0.∵|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|z|=2,∠xOZ=1°,∴a=-1,b=√,即点Z的坐标为(-1,√),∴z=-1+√i.