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11.4.2平面与平面垂直课后篇巩固提升基础巩固1.设平面α⊥平面β,且α∩β=l,直线a⊂α,直线b⊂β,且a不与l垂直,b不与l垂直,那么a与b()A.可能垂直,不可能平行B.可能平行,不可能垂直C.可能垂直,也可能平行D.不可能垂直,也不可能平行解析若a∥l,b∥l,则a∥b,假设a⊥b,在平面α内,过a上一点P作PM⊥l交l与M,则PM⊥β,∴PM⊥b.又b⊥a,所以b⊥α,得b⊥l,与b与l不垂直矛盾,所以a与b不可能垂直.答案B2.给出以下四种说法:①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.其中正确的个数是()A.4B.3C.2D.1解析根据空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理易知③错,①②④正确,故选B.答案B3.如果直线l,m与平面α,β,γ满足l=β∩γ,l∥α,m⊂α,m⊥γ,那么必有()A.α⊥γ和l⊥mB.α∥γ和m∥βC.m∥β和l⊥mD.α∥β和α⊥γ解析由m⊥γ,l⊂γ,可得m⊥l.由m⊂α,m⊥γ,可得α⊥γ.答案A4.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一组条件是()A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂βC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β解析A与D中α也可与β平行,B中不一定α⊥β,故选C.答案C5.下列说法正确的是()①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直;②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,它必和另一个平面平行;③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直;④如果两个平面互相垂直,经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内.A.①③B.②③C.②③④D.④解析过平面外一点可作一条直线与平面垂直,过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直,所以①不对;若α⊥β,a⊥α,则a⊂β或a∥β,所以②不对;当平面外的直线是平面的垂线时,能作无数个平面与已知平面垂直,否则只能作一个,所以③也不对.④正确.答案D6.三个平面两两垂直,它们的交线交于一点O,点P到三个面的距离分别是3,4,5,则OP的长为()A.5√B.5√C.3√D.2√解析∵三个平面两两垂直,∴可以将P与各面的垂足连接并补成一个长方体,∴OP即为对角线,∴OP=√√=5√.答案B7.下列说法中:①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系,其中正确的有()A.①③B.②④C.③④D.①②解析对①,显然混淆了平面与半平面的概念,是错误的;对②,由于a,b分别垂直于两个面,所以也垂直于二面角的棱,但由于异面直线所成的角为锐角(或直角),所以应是相等或互补,是正确的;对③,因为不垂直于棱,所以是错误的;④是正确的,故选B.答案B8.已知平面α,β和直线m,给出条件:①m∥α;②m⊥α;③m⊂α;④α⊥β;⑤α∥β.(1)当满足条件时,有m∥β;(2)当满足条件时,有m⊥β.(填所选条件的序号).答案③⑤②⑤9.下列四个命题中,正确的序号有.①α∥β,β⊥γ,则α⊥γ;②α∥β,β∥γ,则α∥γ;③α⊥β,γ⊥β,则α⊥γ;④α⊥β,γ⊥β,则α∥γ.解析①②正确,③中α,γ也可能平行,④中α,γ也可能相交.答案①②10.设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;(2)若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;(3)设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直.上面命题中,真命题的序号是(写出所有真命题的序号).解析(1)由面面平行的判定定理可得,该命题正确.(2)由线面平行的判定定理可得,该命题正确.(3)如图(举反例),a⊂α,α∩β=l,a⊥l,但α与β不垂直.答案(1)(2)11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2√,CC1=√,二面角C1-BD-C的大小为.解析连接AC交BD于点O,连接C1O,∵C1D=C1B,O为BD中点,∴C1O⊥BD,∵AC⊥BD,∴∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角,在Rt△C1CO中,C1C=√,可以计算C1O=2√,∴sin∠C1OC=,∴∠C1OC=°.答案°12.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AD,AB的中点.(1)求证:EF∥平面CB1D1;(2)求证:平面CAA1C1⊥平面CB1D1.证明(1)连接BD.在正方体AC1中,对角线BD∥B1D1.又∵E,F为棱AD,AB的中点,∴EF∥BD.∴EF∥B1D1.又B1D1⊂平面CB1D1,EF⊄平面CB1D1,∴EF∥平面CB1D1.(2)∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面A1B1C1D1,而B1D1⊂平面A1B1C1D1,∴AA1⊥B1D1.又∵在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,AA1∩A1C1=A1,∴B1D1⊥平面CAA1C1.又∵B1D1⊂平面CB1D1,∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1.能力提升1.正方形ABCD的边长为12,PA⊥平面ABCD,PA=12,则点P到对角线BD的距离为()A.12√B.12√C.6√D.6√解析如图,连接AC交BD于点O.则PA⊥BD,AO⊥BD.所以BD⊥平面PAO.所以PO⊥BD,故PO为P到BD的距离.在Rt△AOP中,PA=12,AO=6√.所以PO=6√.答案D2.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=°,∠BAD=9°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列说法正确的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC解析在题图①中,因为∠BAD=9°,AD=AB,所以∠ADB=∠ABD=°.因为AD∥BC,所以∠DBC=°.又因为∠BCD=°,所以∠BDC=9°,即BD⊥CD.在题图②中,此关系仍成立.因为平面ABD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD.因为BA⊂平面ADB,所以CD⊥AB.因为BA⊥AD,所以BA⊥平面ACD.因为BA⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD.答案D3.如图,A,B,C,D为空间四点,在Rt△ABC中,AB=2,AC=BC=√,等边三角形ADB以AB为轴旋转,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=()A.√B.2C.√D.1解析取AB的中点E,连接DE,CE,因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC,又CE⊂平面ABC,所以DE⊥CE.由已知可求得DE=√,CE=1,故在Rt△DEC中,CD=√=2.答案B4.(多选题)已知m,n是两条不重合的直线,α,β,γ是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是()A.若m∥β,n∥β,m,n⊂α,则α∥βB.若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,n⊂γ,则m⊥nC.若m⊥α,α⊥β,α∩β=n,那么m∥nD.若m∥α,m∥β,α∩β=n,那么m∥n解析由m,n是两条不重合的直线,α,β,γ是三个两两不重合的平面,知:在A中,若m∥β,n∥β,m,n⊂α,则α与β相交或平行,故A错误;在B中,若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,得m⊥γ,n⊂γ,则由面面垂直的性质定理得m⊥n,故B正确;在C中,若m⊥α,α⊥β,α∩β=n,那么由线面垂直的性质定理得m⊥n,故C错误;在D中,若m∥α,m∥β,α∩β=n,那么由线面平行的性质定理得m∥n,故D正确.故选BD.答案BD5.(多选题)在正四面体ABCD中,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,下面四个结论中正确的是()A.BC∥平面AGFB.EG⊥平面ABFC.平面AEF⊥平面BCDD.平面ABF⊥平面BCD解析∵F,G分别是CD,DB的中点,∴GF∥BC,则BC∥平面AGF,故A正确;∵E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,∴CD⊥AF,CD⊥BF,即CD⊥平面ABF,∵EG∥CD,∴EG⊥平面ABF,故B正确;∵E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,∴CD⊥AF,CD⊥BF,即CD⊥平面ABF,∵CD⊂面BCD,∴平面ABF⊥平面BCD,故D正确;对于选项C,假设平面AEF⊥平面BCD,由平面AEF∩平面BCD=AF,CD⊂平面BCD,CD⊥AF,∴CD⊥平面AEF,CD⊥EF,与CD,EF夹角为°矛盾,故C错误.故选ABD.答案ABD6.如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知△A'DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A'不与A,F重合),则下列命题中正确的是()①动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上;②BC∥平面A'DE;③三棱锥A'-FED的体积有最大值.A.①B.①②C.①②③D.②③解析注意折叠前DE⊥AF,折叠后其位置关系没有改变.①中由已知可得平面A'FG⊥平面ABC,∴点A'在平面ABC上的射影在线段AF上,正确;②BC∥DE,BC⊄平面A'DE,DE⊂平面A'DE,∴BC∥平面A'DE,正确;③当平面A'DE⊥平面ABC时,三棱锥A'-FED的体积达到最大,正确.答案C7.如图,四面体P-ABC中,PA=PB=√,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=9°,AC=8,BC=6,则PC=.解析取AB的中点E,连接PE.∵PA=PB,∴PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC,∴PE⊥平面ABC.连接CE,∴PE⊥CE.∠ABC=9°,AC=8,BC=6,∴AB=2√,PE=√-√,CE=√√,PC=√=7.答案78.如图所示,P是菱形ABCD所在平面外的一点,且∠DAB=°,边长为a.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,PB与平面AC所成的角为θ,则θ=.解析如图所示,取AD的中点G,连接PG,BG,BD.∵△PAD是等边三角形,∴PG⊥AD,又平面PAD⊥平面AC,平面PAD∩平面AC=AD,PG⊂平面PAD,∴PG⊥平面AC,∴∠PBG是PB与平面AC所成的角θ.在△PBG中,PG⊥BG,BG=PG,∴∠PBG=°,即θ=°.答案°9.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是.解析如图,过D作DG⊥AF,垂足为G,连接GK,∵平面ABD⊥平面ABC,又DK⊥AB,∴DK⊥平面ABC,∴DK⊥AF.∴AF⊥平面DKG,∴AF⊥GK.容易得到,当F接近E点时,K接近AB的中点,当F接近C点时,K接近AB的四等分点.所以t的取值范围是(,).答案(,)10.如图,在Rt△AOB中,∠OAB=,斜边AB=4,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,D是AB的中点.(1)求证:平面COD⊥平面AOB;(2)求异面直线AO与CD所成角的正切值.(1)证明由题意,CO⊥AO,BO⊥AO,∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角,∴CO⊥BO,又∵AO∩BO=O,∴CO⊥平面AOB,又∵CO⊂平面COD,∴平面COD⊥平面AOB.(2)解作DE⊥OB,垂足为E,连接CE(如图),则DE∥AO,∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角.在Rt△COE中,CO=BO=2,OE=BO=1,∴CE=√√.又DE=·AO=√,∴在Rt△CDE中,tan∠CDE=√√√.∴异面直线AO与CD所成角的