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11.3.2直线与平面平行课后篇巩固提升基础巩固1.已知两条相交直线a,b,a∥平面α,则b与α的位置关系是()A.b⊂平面αB.b∥α或b⊂αC.b∥平面αD.b与平面α相交或b∥平面α解析b与α相交,可确定一个平面β,若β与α平行,则b∥α;若β与α不平行,则b与α相交.答案D2.(多选题)下列四个命题中正确的是()A.如果一条直线不在某个平面内,那么这条直线就与这个平面平行B.过直线外一点有无数个平面与这条直线平行C.过平面外一点有无数条直线与这个平面平行D.过空间一点必存在某个平面与两条异面直线都平行解析如果一条直线不在某个平面内,那么这条直线就与这个平面平行或相交,故A错误,B正确,C正确;过空间一点不一定存在某个平面与两条异面直线都平行,可能与其中一条平行,经过另一条直线,故D错误.故选BC.答案BC3.圆台的底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是()A.平行B.相交C.在平面内D.不确定解析圆台底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点,则它们平行.故选A.答案A4.在正方体ABCD-A'B'C'D'中,点E,F分别为平面ABCD和平面A'B'C'D'的中心,则正方体的六个面中与EF平行的平面有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析如图正方体四个侧面AA'B'B,BB'C'C,CC'D'D,DD'A'A都与EF平行.故选D.答案D5.点E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是()A.0B.1C.2D.3解析如图,由线面平行的判定定理可知BD∥平面EFGH,AC∥平面EFGH.故选C.答案C6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G,H,则GH与AB的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.平行或异面解析由长方体性质知,EF∥平面ABCD,∵EF⊂平面EFGH,平面EFGH∩平面ABCD=GH,∴EF∥GH,又∵EF∥AB,∴GH∥AB.故选A.答案A7.下列说法正确的个数是.(1)若直线l上有两点到平面α的距离相等,则l∥平面α;(2)若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行;(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.解析直线l与平面α相交时,直线l上也有两个点到平面α的距离相等,故(1)不正确;若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线可能平行也可能异面,故(2)不正确;(3)不正确,因为另一直线也可以在这个平面内.答案08.如图所示的四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形是.(填序号)解析本题考查空间直线与平面平行的判定.①中,记点B正上方的顶点为C,连接AC,则易证平面ABC∥平面MNP,所以AB∥平面MNP;④中AB∥NP,根据空间直线与平面平行的判定定理可以得出AB∥平面MNP;②③中,AB均与平面MNP相交.答案①④9.如图所示,在四面体ABCD中,点M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是.解析连接AM并延长,交CD于点E,连接BN,并延长交CD于点F,由重心性质可知,E,F重合为一点,且该点为CD的中点E,由,得MN∥AB.因此,MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.答案平面ABC、平面ABD10.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,且AB=2CD,E,E1分别是棱AD,AA1的中点,设F是棱AB的中点,证明:直线EE1∥平面FCC1.证明如图,取A1B1的中点为F1.连接FF1,C1F1.由于FF1∥BB1∥CC1,所以F1∈平面FCC1.因此平面FCC1即为平面C1CFF1.连接A1D,F1C,由于A1F1D1C1DC,所以四边形A1DCF1为平行四边形,因此,A1D∥F1C.又EE1∥A1D,得EE1∥F1C.而EE1⊄平面FCC1,F1C⊂平面FCC1.故EE1∥平面FCC1.能力提升1.设m,n是平面α外的两条直线,给出下列三个论断:①m∥n;②m∥α;③n∥α.以其中两个为条件,余下的一个为结论,可构成三个命题:①②⇒③,②③⇒①,①③⇒②,其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析本题考查线线平行与线面平行的判定和相互转化.m⊄α,n⊄α,m∥n,m∥α⇒n∥α,即①②⇒③;同理可得①③⇒②;由m∥α且n∥α,显然推不出m∥n,所以②③①.所以正确命题的个数为2,故选C.答案C2.下列命题:①如果一条直线不在平面内,则这条直线就与这个平面平行;②过直线外一点,可以作无数个平面与这条直线平行;③如果一条直线与平面平行,则它与平面内的任何直线平行.其中正确命题的个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个解析①直线不在平面内,可能直线与平面相交,只有②正确.③中直线与某些直线异面.故选B.答案B3.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶2,则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A.平行B.相交C.在平面内D.异面解析如图,由,得AC∥EF.又EF⊂平面DEF,AC⊄平面DEF,∴AC∥平面DEF.故选A.答案A4.有一正方体木块如图所示,点P在平面A'B'C'D'内,棱BC平行于平面A'B'C'D',要经过P和棱BC将木料锯开,锯开的面必须平整,有N种锯法,则N为()A.0B.1C.2D.无数解析∵BC∥平面A'B'C'D',∴BC∥B'C',在平面A'C'上过点P作EF∥B'C',则EF∥BC,∴沿EF,BC所确定的平面锯开即可.又由于此平面唯一确定,∴只有一种方法,故选B.答案B5.(多选题)如图,平面α与平面β交于直线l,A,C是平面α内不同的两点,B,D是平面β内不同的两点,且点A,B,C,D不在直线l上,M,N分别是线段AB,CD的中点.下列说法中正确的是()A.若AB,CD是异面直线,则不存在异于AB,CD的直线同时与直线AC,MN,BD都相交B.若AB与CD相交,且直线AC平行于l时,则直线BD与l也平行C.若AB,CD是异面直线时,则直线MN可能与l平行D.M,N两点可能重合,但此时直线AC与l不可能相交解析对于A,若AB,CD是异面直线,则存在异于AB,CD的直线同时与直线AC,MN,BD都相交,故A错误;对于B,因为AB与CD相交,则ABCD四点共面于平面γ,且γ∩β=BD,γ∩α=AC,由AC∥l,可得AC∥β,由线面平行的性质可得AC∥BD,进而可得BD∥l,故B正确;对于C,当AB,CD是异面直线时,MN不可能与l平行,过M作CD的平行线EF,分别交α,β于点E,F,可得M为EF中点,可得△BMF≌△AME,可得AE∥BF,显然与题设矛盾,故C错误;对于D,若M,N两点可能重合,则AC∥BD,故AC∥l,故此时直线AC与直线l不可能相交,故D正确.故选BD.答案BD6.如图所示,设E,F,E1,F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中点,则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.不确定解析∵E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点,∴A1D1∥E1F1,又A1D1⊄平面BCF1E1,E1F1⊂平面BCF1E1,∴A1D1∥平面BCF1E1.又E1和E分别是A1B1和AB的中点,∴A1E1BE,∴四边形A1EBE1是平行四边形,∴A1E∥BE1,又A1E⊄平面BCF1E1,BE1⊂平面BCF1E1,∴A1E∥平面BCF1E1,又A1E⊂平面EFD1A1,A1D1⊂平面EFD1A1,A1E∩A1D1=A1,∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.故选A.答案A7.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的有条.解析如图,DD1,EE1,DE,D1E1,DE1,ED1都平行于面ABB1A1.答案68.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上一点,AP=,过点P,M,N的平面与棱CD交于点Q,则PQ=.解析∵MN∥平面ABCD,平面PMN∩平面ABCD=PQ,MN⊂平面PMN,∴MN∥PQ.易知DP=DQ=a,故PQ=√a=√a.答案√a9.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱C1C,C1D1,D1D,DC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只需满足条件时,就有MN∥平面B1BDD1,其中N是BC的中点.(填上一个正确的条件即可,不必考虑全部可能的情况)解析∵H,N分别是CD和CB的中点,连接HN,BD,易知BD∥HN.又BD⊂平面B1BDD1,HN⊄平面B1BDD1,故HN∥平面B1BDD1,故不妨取M点与H点重合便符合题意.答案M与H重合(答案不唯一,又如M∈FH)10.如图所示,已知P是▱ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l.(1)求证:l∥BC;(2)MN与平面PAD是否平行?试证明你的结论.(1)证明因为BC∥AD,BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD=l,所以BC∥l.(2)解平行.取PD的中点E,连接AE,NE,可以证得NE∥AM且NE=AM.可知四边形AMNE为平行四边形.所以MN∥AE.又因为MN⊄平面APD,AE⊂平面APD,所以MN∥平面APD.11.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D为AC的中点,点D1是A1C1上的一点,当等于何值时,BC1∥平面AB1D1?解=1.证明如下,如图所示,此时D1为线段A1C1的中点,连接A1B交AB1于点O,连接OD1.由棱柱的定义,知四边形A1ABB1为平行四边形,∴点O为A1B的中点.在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,∴OD1∥BC1.又∵OD1⊂平面AB1D1,BC1⊄平面AB1D1,∴BC1∥平面AB1D1.∴当=1时,BC1∥平面AB1D1.