搜索
11.1.6祖暅原理与几何体的体积课后篇巩固提升基础巩固1.若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径,则圆锥、圆柱、球的体积之比为()A.1∶3∶4B.1∶3∶2C.1∶2∶4D.1∶4∶2解析设球的半径为R,则V圆锥=πR2·2R=πR3,V圆柱=πR2·2R=2πR3,V球=πR3.所以V圆锥∶V圆柱∶V球=∶2∶=1∶3∶2.故选B.答案B2.正方体的内切球的体积为36π,则此正方体的表面积是()A.216B.72C.108D.648答案A3.长方体三个面的面积分别为2、6和9,则长方体的体积是()A.6√B.3√C.11D.12解析设长方体长、宽、高分别为a,b,c,则ab=2,ac=6,bc=9,相乘得(abc)2=108,∴V=abc=6√.答案A4.圆台的体积为7π,上、下底面的半径分别为1和2,则圆台的高为()A.3B.4C.5D.6解析由题意,V=(π+2π+4π)h=7π,∴h=3.答案A5.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积之比为()A.1B.C.√D.解析设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径r,高都为h,由已知得2Rh=rh,∴r=2R.故V柱∶V锥=πR2h∶πr2h=.故选D.答案D6.若两球的体积之和是12π,经过两球球心的截面圆周长之和为6π,则两球的半径之差为()A.1B.2C.3D.4解析设两球的半径分别为R、r(Rr),则由题意得{ππππππ解得{故R-r=1.故选A.答案A7.(多选题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=√,则下列结论正确的是()A.AC⊥平面BEFB.AE,BF始终在同一个平面内C.EF∥平面ABCDD.三棱锥A-BEF的体积为定值解析由AC⊥平面BB1D1D,即AC⊥平面BEF,∴A对;∵EF∥BD,BD⊂面ABCD,EF⊄面ABCD,得EF∥平面ABCD,∴C对;∵S△BEF=√×1=√,设AC,BD交于点O,AO⊥平面BB1D1D,AO=√∴VA-BEF=√√,∴D对;∵B,E,F同在平面BB1D1D上,而A不在平面BB1D1D上,∴AE,BF不在同一个平面内,B错误.故选ACD.答案ACD8.已知圆锥SO的高为4,体积为4π,则底面半径r=.解析设底面半径为r,则πr2×4=4π,解得r=√,即底面半径为√.答案√9.已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等,则球O的半径为.解析设球O的半径为r,则πr3=23,解得r=√.答案√π10.一个正方体的八个顶点都在体积为π的球面上,则正方体的表面积为.解析由πR3=π,得R=1.设正方体的棱长为a,则√a=2R,所以a=√,故正方体的表面积S表=6a2=6×(√)=8.答案811.将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中,钢球全部没入水中,水面升高4cm,则钢球的半径是.解析圆柱形玻璃容器中水面升高4cm,则钢球的体积为V=π×32×4=36π,即有πR3=36π,所以R=3cm.答案3cm12.某街心花园有许多钢球(钢的密度为7.9g/cm3),每个钢球重145kg,并且外径等于50cm,试根据以上数据,判断钢球是空心的还是实心的.如果是空心的,空心部分也为球心相同的球.请你计算出它的内径(π取3.14,结果精确到1cm,2.243≈11.24098).解由于外径为50cm的钢球的质量为7.9×π×()≈516792(g),街心花园中钢球的质量为145000g,而145000516792,所以钢球是空心的.设球的直径为2xcm,那么球的质量为7.9×[π()-π]=145000.解得x3≈11240.98,∴x≈22.4,2x≈45(cm).即钢球是空心的,其内径约为45cm.能力提升1.如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,则三棱锥A1-ABC,B-A1B1C,C-A1B1C1的体积之比为()A.1∶1∶1B.1∶1∶2C.1∶2∶4D.1∶4∶4解析设棱台的高为h,S△ABC=S,则△=4S,所以-S△ABC·h=Sh,-△·h=Sh.又V台=h(S+4S+2S)=Sh,所以-=V台---=Sh-Sh-Sh=Sh.所以所求体积之比为1∶2∶4.故选C.答案C2.三棱锥P-ABC的高PO=8,AC=BC=3,∠ACB=°M,N分别在BC和PO上,且CM=x,PN=2x(x∈[0,3]),下列四个图象大致描绘了三棱锥N-AMC的体积V与x的变化关系,其中正确的是()解析V=S△AMC·NO=(°)·(8-2x)=-(x-2)2+2,x∈[0,3].故选A.答案A3.两个相同的正四棱锥组成如图①所示的几何体,可放入棱长为1的正方体(如图②)内,使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有()A.1个B.2个C.3个D.无穷多个解析沿正四棱锥的底面所在平面将正方体切开,截面如图③所示.图③可见正方形中内接正方形的面积S不可能唯一,故V=×S××2不唯一.答案D4.有64个直径都为的球,记它们的体积之和为V甲,表面积之和为S甲;一个直径为a的球,记其体积为V乙,表面积为S乙,则()A.V甲V乙且S甲S乙B.V甲V乙且S甲S乙C.V甲=V乙且S甲S乙D.V甲=V乙且S甲=S乙解析计算得V甲=πa3,S甲=4πa2,V乙=πa3,S乙=πa2,∴V甲=V乙,且S甲S乙.故选C.答案C5.两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,则这两个球的半径之差为.解析由题意设两球半径分别为R、r(Rr),则{π-πππππ即{-所以R-r=2.答案26.如图①,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的几何体.当这个几何体如图②水平放置时,液面高度为20cm,当这个几何体如图③水平放置时,液面高度为28cm,则这个几何体的总高度为cm.解析设半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱的高分别为h1cm和h2cm,则由题意知π·32·h2+π·12·(20-h2)=π·12·h1+π·32·(28-h1),整理得8π(h1+h2)=232π,所以h1+h2=29.答案297.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化公路上的积雪之用),已建仓库的底面直径为12m,高4m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建仓库的底面直径比原来大4m(高不变);二是高度增加4m(底面直径不变).(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积和表面积.(2)哪个方案更经济?解(1)方案一中仓库的底面直径变成16m,半径r1为8m,高h1为4m,则圆锥的母线长l1=4√m,所以仓库的体积V1=πh1=π(m3).表面积S1=πr1l1=32√π(m2).方案二中仓库的高h2变成8m,半径r2为6m,则圆锥的母线长为l2=10m.所以仓库的体积V2=πh2=π(m3)=96π(m3),表面积S2=πr2l2=60π(m2).(2)因为V2V1,S2S1,故方案二比方案一更经济.8.如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知半球的直径是6cm,圆柱筒高为2cm.(1)这种“浮球”的体积是多少cm3(结果精确到0.1)?(2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克?解(1)因为半球的直径是6cm,可得半径R=3cm,所以两个半球的体积之和为V球=πR3=π·27=36π(cm3).又圆柱筒的体积为V圆柱=πR2·h=π×9×2=18π(cm3).所以这种“浮球”的体积是V=V球+V圆柱=36π+18π=54π≈169.6(cm3).(2)根据题意,上下两个半球的表面积是S球表=4πR2=4×π×9=36π(cm2),又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12π(cm2),所以1个“浮球”的表面积为S=πππ(m2).因此,2500个这样的“浮球”表面积的和为2500S=2500×π=12π(m2).因为每平方米需要涂胶100克,所以共需要胶的质量为100×12π=1200π(克).