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11.1.3多面体与棱柱11.1.4棱锥与棱台课后篇巩固提升基础巩固1.下列几何体中,侧棱一定相等的是()A.棱锥B.棱柱C.棱台D.圆柱答案B2.设有四种说法:①底面是矩形的平行六面体是长方体;②棱长相等的直四棱柱是正方体;③有两条侧棱垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;④侧面对角线相等的平行六面体是直平行六面体.以上说法中,正确的个数是()A.1B.2C.3D.4解析①不正确,除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体;②不正确,当底面是菱形时就不是正方体;③不正确,两条侧棱垂直于底面一边不一定垂直于底面,故不一定是直平行六面体;④正确,对角线相等的平行四边形是矩形,由此可以推测此时的平行六面体是直平行六面体.故选A.答案A3.若正方体的全面积为72,则它的对角线的长为()A.2√B.12C.√D.6解析设正方体的棱长为a,则6a2=72,所以a=2√.所以对角线长为√√a=6.故选D.答案D4.下面多面体中,是棱柱的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析根据棱柱的定义进行判定知,这4个图都满足.故选D.答案D5.(多选题)下列说法中不正确的是()A.所有的棱柱都有一个底面B.棱柱的顶点至少有6个C.棱柱的侧棱至少有4条D.棱柱的棱至少有4条解析棱柱有两个底面,所以A项不正确;棱柱底面的边数至少是3,则在棱柱中,三棱柱的顶点数至少是6,三棱柱的侧棱数至少是3,三棱柱的棱数至少是9,所以C,D项不正确,B项正确.故选ACD.答案ACD6.下列命题中正确的是()A.用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台B.两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台C.棱台的底面是两个相似的正方形D.棱台的侧棱延长后必交于一点解析A中的平面不一定平行于底面,故A错;B中侧棱不一定交于一点;C中底面不一定是正方形.故选D.答案D7.面数最少的棱柱为棱柱,共有个面围成.解析棱柱有相互平行的两个底面,其侧面至少有3个,故面数最少的棱柱为三棱柱,共有五个面围成.答案三58.一个正四棱台,其上、下底面均为正方形,边长分别为8cm和18cm,侧棱长为13cm,则其表面积为.解析由已知可得正四棱台侧面梯形的高为h=√-(-)=12(cm),所以S侧=4××(8+18)×12=624(cm2),S上底=8×8=64(cm2),S下底=18×18=324(cm2),于是表面积为S=624+64+324=1012(cm2).答案1012cm29.如图,M是棱长为2cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是cm.解析由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2cm,3cm,故两点之间的距离是√cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是√cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是√cm.答案√10.观察下列四张图片,结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征.解(1)是上海世博会中国馆,其主体结构是四棱台.(2)是法国卢浮宫,其主体结构是四棱锥.(3)是国家游泳中心“水立方”,其主体结构是四棱柱.(4)是美国五角大楼,其主体结构是五棱柱.能力提升1.(多选题)下面说法不正确的是()A.棱锥的侧面不一定是三角形B.棱柱的各侧棱长不一定相等C.棱台的各侧棱延长必交于一点D.用一个平面截棱锥,得到两个几何体,一个是棱锥,另一个是棱台答案ABD2.已知正方体的8个顶点中,有4个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点,则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为()A.1∶√B.1∶√C.2∶√D.3∶√解析棱锥B'-ACD'为适合条件的棱锥,四个面为全等的等边三角形,设正方体的边长为1,则B'C=√,S△B'AC=√.三棱锥的表面积S锥=4×√=2√,又正方体的表面积S正=6,因此S锥∶S正=2√∶6=1∶√.故选B.答案B3.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示,如图是一个正方体的表面展开图,若图中“2”在正方体的上面,则这个正方体的下面是()A.1B.0C.快D.乐解析如图得到正方体,从图中可以看到“1”在正方体的后面,“快”在正方体的右面,“乐”在前面,下面、左面均为“0”.故选B.答案B4.(多选题)正方体截面的形状有可能为()A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形解析画出截面图形如图,可以画出正三角形但不是直角三角形(如图1);可以画出正方形(如图2);经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形.但此时不可能是正五边形(如图3);正方体有六个面,用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形,且可以画出正六边形(如图4).故选ABD.答案ABD5.如图,能推断这个几何体可能是三棱台的是()A.A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4B.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=3C.A1B1=1,AB=2,B1C1=1.5,BC=3,A1C1=2,AC=4D.AB=A1B1,BC=B1C1,CA=C1A1解析由于棱台是由平行于底面的平面截棱锥得到的几何体,所以要使结论成立,只需便可.经验证C选项正确.故选C.答案C6.五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱的对角线共有条.解析在上底面选一个顶点,同时在下底选一个顶点,且这两个顶点不在同一侧面上,这样上底面每个顶点对应两条对角线,所以共有10条.答案107.已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S-ABC(即正四面体S-ABC),则其表面积为.解析由于四面体S-ABC的四个面是全等的等边三角形,所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍.所以S△SBC=a2sin0°=√a2.因此,四面体S-ABC的表面积S=4×√a2=√a2.答案√a28.下列说法正确的是.(填序号)①一个棱锥至少有四个面;②如果四棱锥的底面是正方形,那么这个四棱锥的四条侧棱都相等;③五棱锥只有五条棱;④用与底面平行的平面去截三棱锥,得到的截面三角形和底面三角形相似.解析①正确.②不正确.四棱锥的底面是正方形,它的侧棱可以相等.也可以不等.③不正确.五棱锥除了五条侧棱外,还有五条底边,故共10条棱.④正确.答案①④9.一个几何体的表面展开平面图如图.(1)该几何体是哪种几何体;(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面?与“你”字面相对的是哪个面?解(1)该几何体是四棱台;(2)与“祝”相对的面是“前”,与“你”相对的面是“程”.10.在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着某底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中.(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗?(2)水的形状也不断变化,可以是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗?(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,上面的第(1)题和第(2)题对不对?解(1)不对;水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状,因而可以是矩形,但不可能是其他非矩形的平行四边形.(2)不对;水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后,剩余部分的几何体,此几何体是棱柱,水比较少量,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱或五棱柱;但不可能是棱台或棱锥.(3)①不对,只有一条棱着地水面才是矩形;②不对,只有一条棱着地水才是棱柱.