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11.1.1空间几何体与斜二测画法课后篇巩固提升基础巩固1.水平放置的△ABC,有一边在水平线上,它的斜二测直观图是正三角形A'B'C',则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形解析如图所示,斜二测直观图还原为平面图形,故△ABC是钝角三角形.答案C2.如图所示的正方形O'A'B'C'的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是()A.6cmB.8cmC.(2+3√)cmD.(2+2√)cm解析直观图中,O'B'=√,OB=2√.原图形中OC=AB=√√=3,OA=BC=1,∴原图形的周长是2×(3+1)=8.答案B3.如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是()A.ABB.ADC.BCD.AC解析还原△ABC,即可看出△ABC为直角三角形,故其斜边AC最长.答案D4.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边平行于x轴、y轴,则在直观图中,∠A'等于()A.45°B.5°C.90°D.45°或5°解析因为∠A的两边平行于x轴、y轴,故∠A=90°,在直观图中,按斜二测画法规则知∠x'O'y'=45°或5°,即∠A'=45°或5°,故选D.答案D5.已知两个圆锥,底面重合在一起(底面平行于水平面),其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A.2cmB.3cmC.2.5cmD.5cm解析圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2+3=5(cm),在直观图中与z轴平行的线段长度不变,仍为5cm.故选D.答案D6.已知正三角形ABC的边长为a,那么正三角形ABC的直观图△A'B'C'的面积是()A.√4a2B.√a2C.√a2D.√a2解析如图①为实际图形,建立如图所示的平面直角坐标系xOy.如图②,建立坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°,由直观图画法知:A'B'=AB=a,O'C'=OC=√4a,过C'作C'D'⊥O'x'于D',则C'D'=√O'C'=√a.所以△A'B'C'的面积是S=·A'B'·C'D'=·a·√a=√a2.答案D7.如图所示为一个平面图形的直观图,则它的实际形状四边形ABCD为.解析因为∠D'A'B'=45°,由斜二测画法规则知∠DAB=90°,又因四边形A'B'C'D'为平行四边形,且AB=BC,所以原四边形ABCD为正方形.答案正方形8.斜二测画法中,位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M',则点M'的坐标为.解析在x'轴的正方向上取点M1,使O1M1=4,在y'轴上取点M2,使O'M2=2,过M1和M2分别作平行于y'轴和x'轴的直线,则交点就是M'.答案(4,2)9.如图,平行四边形O'P'Q'R'是四边形OPQR的直观图,若O'P'=3,O'R'=1,则原四边形OPQR的周长为.解析由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形,且OP=3,OR=2,所以原四边形OPQR的周长为2×(3+2)=10.答案1010.如图所示的是一个水平放置的正方形ABCO,它在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则用斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点B'到x'轴的距离为.解析在直观图中四边形A'B'C'O'是有一个角为45°且长边为2,短边为1的平行四边形,所以顶点B'到x'轴的距离为√.答案√11.观察如下图所示的物体,说出几何体的名称.解球,正方体,长方体.能力提升1.利用斜二测画法得到:①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形;③正方形的直观图是正方形;④菱形的直观图是菱形.以上说法正确的是()A.①B.①②C.③④D.①②③④解析根据画法规则,平行性保持不变,与y轴平行的线段长度减半.答案B2.下图甲所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是乙图中的()图甲图乙解析按斜二测画法规则,平行于x轴或x轴上的线段的长度在新坐标系中不变,平行于y轴或在y轴上的线段在新坐标系中变为原来的,并注意到∠xOy=90°,∠x'O'y'=45°,将图形还原成原图形知选C.答案C3.下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是()解析可分别画出各组图形的直观图,观察可得结论.答案C4.如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6,O'C'=2,则原图形是()A.正方形B.矩形C.菱形D.梯形解析设y'轴与B'C'交于点D',则O'D'=2√.在原图形中,OD=4√,CD=2,且OD⊥CD,所以OC=√4√=6=OA,所以原图形是菱形.答案C5.如图所示,四边形OABC是上底为2,下底为6,底角为45°的等腰梯形,用斜二测画法,画出这个梯形的直观图O'A'B'C',在直观图中梯形的高为,面积为.解析因为OA=6,CB=2,所以OD=2.又因为∠COD=45°,所以CD=2.梯形的直观图如图,则C'D'=1.所以梯形的高C'E'=√.面积为√=2√.答案√2√6.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD,如图所示,∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,原平面图形的面积为.解析过A作AE⊥BC,垂足为E.又∵DC⊥BC且AD∥BC,∴ADCE是矩形,∴EC=AD=1.由∠ABC=45°,AB=AD=1知BE=√,∴原平面图形是梯形且上、下两底边长分别为1和1+√,高为2,∴原平面图形的面积为×(1+1+√)×2=2+√.答案2+√7.如图所示,已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A'B'C'是边长为a的正三角形,那么原△ABC的面积为.解析法一:过C'作C'M'∥y'轴,且交x'轴于M'.过C'作C'D'⊥x'轴,且交x'轴于D',则C'D'=√a.所以∠C'M'D'=45°,所以C'M'=√a.所以原三角形的高CM=√a,底边长为a,其面积为S=×a×√a=√a2.法二:因为S△A'B'C'=×a×√a=√4a2.由S直观图=√4S原图得,S△ABC=4√S△A'B'C'=4√√4a2=√a2.答案√a28.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A'B'C'D',如图,其中的对角线A'C'在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积.解四边形ABCD的真实图形如图所示,∵A'C'在水平位置,A'B'C'D'为正方形,∴∠D'A'C'=∠A'C'B'=45°,∴在原四边形ABCD中,DA⊥AC,AC⊥BC,∵DA=2D'A'=2,AC=A'C'=√,∴S四边形ABCD=AC·AD=2√.9.一个圆锥的底面直径是1.6cm,在它的内部有一个底面直径为0.7cm,高为1cm的内接圆柱.(1)画出它们的直观图;(2)求圆锥的母线长.解(1)①画轴.取x轴、y轴、z轴,记坐标原点为O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°如图①所示).②画底面.以O为中心,按x轴、y轴画一个直径等于1.6cm的圆的直观图.③画内接圆柱.以O为中心,按x轴、y轴画一个直径等于0.7cm的圆的直观图,然后在z轴上取线段OO'=1cm,过点O'作平行于x轴的x'轴,平行于y轴的y'轴,再以O'为中心,利用x'轴、y'轴画一个直径为0.7cm的圆的直观图.再画圆柱的两条母线,使它们与这两个椭圆相切.④成图.画圆锥的两条母线,再加以整理,就得到所要画的直观图(如图②所示).(2)设圆锥的高为h,则-0,解之得h=9.所以圆锥的母线长为l=√√0(9)4√445.