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9.1.2余弦定理课后篇巩固提升基础巩固1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=3,c=2,cosA=,则a=()A.5B.√C.4D.3解析由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=9+4-2×3×2×=9,解得a=3.故选D.答案D2.在△ABC中,已知a=2,则bcosC+ccosB等于()A.1B.√C.2D.4解析bcosC+ccosB=b·-+c·-=a=2.答案C3.在△ABC中,已知b2=ac且c=2a,则cosB等于()A.B.C.√D.√解析因为b2=ac,c=2a,所以b2=2a2,b=√a.所以cosB=--·.答案B4.在△ABC中,已知三个内角A,B,C满足sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4,则cosB=()A.B.C.√D.√解析根据正弦定理可知sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=6∶5∶4,所以设a=6k,b=5k,c=4k.所以由余弦定理得cosB=--.故选A.答案A5.已知a,b,c为△ABC的三边长,若满足(a+b-c)·(a+b+c)=ab,则C的大小为()A.0°B.0°C.0°D.0°解析因为(a+b-c)(a+b+c)=ab,所以a2+b2-c2=-ab,即-=-,所以cosC=-,所以C=0°.答案C6.在△ABC中,sin2-(a,b,c分别为角A,B,C的对应边),则△ABC的形状为()A.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形解析因为sin2--,所以cosA=-⇒a2+b2=c2,符合勾股定理.故△ABC为直角三角形.答案B7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,那么这个三角形最大角的度数是()A.°B.0°C.0°D.0°解析因为sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,设a=3k(k0),则b=5k,c=7k.由大边对大角定理可知,角C是最大角,由余弦定理得cosC=-=-,因为0°C80°,因此,C=0°.故选C.答案C8.在△ABC中,a=√,b=1,c=1,则A=.解析由余弦定理得cosA=-=-,由于A∈(0,π),故A=π.答案π9.在△ABC中,边a,b的长是方程x2-5x+2=0的两个根,则a+b=,若C=0°,则边c=.解析由题意:a+b=5,ab=2.由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=52-3×2=19,所以c=√.答案5√10.在锐角△ABC中,AB=3,AC=4.若△ABC的面积为3√,则BC的长是.解析由题可知:AB·AC·sinA=3√⇒sinA=√,又为锐角三角形,所以A=0°,由余弦定理cosA=-⇒a=√=BC.答案√11.设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边,那么a的取值范围是.解析因为2a-10,所以a,最大边为2a+1.因为三角形为钝角三角形,所以a2+(2a-1)2(2a+1)2,化简得0a8.又因为a+2a-12a+1,所以a2,所以2a8.答案(2,8)12.在△ABC中,求证:--.证明右边=-=·cosB-·cosA=--=--=-=左边.所以--.能力提升1.在△ABC中,已知c=3,b=2,a=√0,则()A.cosA=B.S△ABC=√C.cosB=-√0D.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-解析因为⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·cos⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,由向量模的定义和余弦定理可以得出|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=3,|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2,则cos⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-·,即cosA=,故A正确;sinA=√,则cosB=√0-√0√0.故C错误;则S△ABC=bcsinA=×2×3×√√.故B正确;⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3×2×.故D错误.综上,AB正确.答案AB2.△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若∠C=0°,c=√a,则()A.abB.abC.a=bD.a与b的大小关系不能确定解析因为c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-2ab0°,又c=√a,所以2a2=a2+b2+ab,即a2=b2+abb2,所以ab.故选A.答案A3.在△ABC中,已知2A=B+C,且a2=bc,则△ABC的形状是()A.两直角边不等的直角三角形B.顶角不等于0°或0°的等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析解法1:由2A=B+C,知A=0°.又cosA=-,所以-.所以b2+c2-2bc=0.即(b-c)2=0,所以b=c.故△ABC为等边三角形.解法2:验证四个选项知C成立.答案C4.在△ABC中,已知AB=3,BC=√,AC=4,则边AC上的高为()A.√B.√C.D.3√解析如图,在△ABC中,BD为AC边上的高,且AB=3,BC=√,AC=4.因为cosA=-√,所以sinA=√.故BD=AB·sinA=3×√√.答案B5.已知△ABC中,A,B,C的对边的长分别为a,b,c,A=0°,a=√,△ABC的面积为√,则c+b=()A.4.5B.4√C.5D.6解析由三角形的面积公式可得S△ABC=bcsinA=bc×√√bc=√,∴bc=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即b2+c2-2×4×(-)=21,得b2+c2=17.所以(b+c)2=b2+c2+2bc=17+2×4=25,因此,c+b=5.故选C.答案C6.如果将直角三角形的三边都增加1个单位长度,那么新三角形()A.一定是锐角三角形B.一定是钝角三角形C.一定是直角三角形D.形状无法确定解析设原直角三角形C为直角,三边都增加1后.cosC=--0,所以最大角为锐角,所以三角形为锐角三角形.故选A.答案A7.在△ABC中,AB=2,AC=√,BC=1+√,AD为边BC上的高,则AD的长是.解析因为cosC=-√,所以sinC=√.所以AD=AC·sinC=√.答案√8.在△ABC中,sin√,AB=5,BC=1,则AC=.解析由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,又cosB=1-2sin2=1-2×=-.故AC2=25+1-2×5×1×(-)=32,所以AC=4√.答案4√9.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=7,c=5,A=600.(1)求cosC;(2)求△ABC的面积.分析(1)利用余弦定理可构造方程求得b;利用余弦定理求得cosC;(2)根据三角形面积公式可直接求得结果.解(1)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+25-5b=49,解得b=-3(舍)或b=8.故由余弦定理得cosC=--8.(2)由(1)得S△ABC=bcsinA=×8×0°=10√.10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=3,a+c=3√,sinC=2sinA.(1)求a,c的值;(2)求sin(π)的值.分析(1)利用正弦定理可得c=2a,从而可求出a,c.(2)利用余弦定理可计算出cosB,再利用同角的三角函数的基本关系式可求sinB,利用二倍角公式可求2B的正弦与余弦,最后利用两角和的正弦公式可求sin().解(1)由正弦定理及sinC=2sinA,得c=2a.因为a+c=3√,所以a=√,c=2√.(2)因为由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,所以cosB=.因为B是三角形内角,所以0Bπ,所以sinB=√-,所以sin2B=2sinBcosB=,cos2B=2cos2B-1=,所以sin(π)=sin2Bcos+cos2Bsinπ=√sin2B+√cos2B=√0.