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实数的运算【中考真题】【2019山东】(12)−1+(π+1)0−2cos60∘+√9透析考纲在中考中实数的运算属于常考考点，考试方向主要有具体的二次根式、特殊角（30°、45°、60°）的三角函数计算以及包括绝对值、倒数、负整数指数幂、0指数幂等在内的混合运算，多以或计算题的形式出现在试卷中，有时也在选择题或填空题中出现，属于基础知识.基础知识过关1．有理数的运算律在实数中仍然适用，如加法交换律，乘法______，加法结合律，乘法______，乘法______．2．混合运算时，要先算乘方、开方，再算______，最后算______；有括号的，先算括号里面的．同一级运算，要______运算．3．二次根式的加减法运算，先把每个二次根式化为最简二次根式，然后把______合并．4．二次根式的乘除法则：(0,0)ababab；ab______(0,0)ab．精选好题【考向01】平方根与立方根、二次根式【试题】【2019云南月考】若𝑚是√81的算术平方根，则𝑚+3=________．【好题变式练】1．【2019四川月考】若一个正数的平方根是2𝑎−1和−𝑎+2，则这个正数是________．2．已知√𝑎+1+√𝑏−1=0，那么𝑎2019+𝑏2019=________．解题关键本考点主要考查算术平方根的基本概念：一个正数有两个平方根，其中正的平方根叫做它的算术平方根．【考向02】实数的大小比较【试题】下列四个式子：①√8√10；②√658；③√5−121；④√5−120.5．其中大小关系正确的式子的个数是A．1个B．2个C．3个D．4个【好题变式练】1．比较大小：−√3________−2；3________√2932．若0𝑥1，则𝑥−1，𝑥，𝑥3的大小关系是________．要点归纳实数的大小比较（1）在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数大，左边的点表示的数小．（2）正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值小的较大．（3）设,ab是任意两实数．若0ab，则ab；若0ab，则ab；若0ab，则ab．解题技巧实数的大小比较，解题的关键是掌握比较大小的相关方法．比如两个负数比较大小，绝对值大的反而小；无理数的估算；作差法比较大小等．要点归纳正负数的实际意义（1）正数有两个平方根，负数没有平方根，0的平方根是0，正数的正的平方根叫做算术平方根．（2）若3ba，则b叫做a的立方根．【考向03】定义新运算【试题】【2019湖南月考】定义运算“∗”：𝑎∗𝑏=𝑎×𝑏+𝑏，如2∗3=2×3+3=9，则(4∗5)∗𝑥=52，则𝑥=A．1B．2C．3D．4【好题变式练】1．【2019河北月考】对于实数𝑎，𝑏，定义运算“◎”：𝑎◎𝑏={𝑎𝑏−𝑏2(𝑎≥𝑏),𝑎2−𝑎𝑏(𝑎𝑏),例如：5◎3，因为53，所以5◎3=5×3−32=6．若𝑥1, 𝑥2是一元二次方程𝑥2−3𝑥+2=0的两个根，则𝑥1◎𝑥2等于A．−1B．±2C．1D．±12．规定一种新的运算：𝐴★𝐵=𝐴×𝐵−𝐴÷𝐵，如4★2=4×2−4÷2=6，则6★(−3)的值为________.【考向04】数字规律问题【试题】古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之要点归纳定义新运算（1）定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算．（2）定义新运算是一种特别设计的计算形式，它使用一些特殊的运算符号，这是与四则运算中的加减乘除符号是不一样的．（3）新定义的算式中有括号的，要先算括号里的．但它在没有转化前，是不适合于各种运算的．解题技巧定义新运算属于中考中的创新应用题型，将新定义的符号或运算规则准确的转化为我们常用的运算法则是解题的关键.和．下列等式中，符合这一规律的是A．20=6+14B．25=9+16C．36=16+20D．49=21+28【好题变式练】1．观察数列2、5、9、14、20、𝑥、35…，则𝑥的值为A．2B．26C．28D．292．让我们轻松一下，做一个数字游戏．第一步：取一个自然数1=5，计算12+1得𝑎1；第二步：算出𝑎1的各位数字之和得2，计算22+1得𝑎2；第三步：算出𝑎2的各位数字之和得3，计算32+1得𝑎3；…，以此类推，则𝑎2020________．要点归纳数字规律问题（1）基本方法：看增幅；（2）基本技巧：①标出序列号；②公因式法；③有的可对每位数同时加上，或减去，或乘以，或除以一个数，成为新数列，然后再找出规律，并恢复到原来数列.解题技巧中考中数字的规律问题主要考查探究、归纳的数学思想方法．找到数字之间的变化规律是解题的关键。在中考中实数的运算考查属于高频考点，涉及到实数的混合运算的考查上主要侧重运算法则、运算顺序、运算律等，包括具体的二次根式、特殊角（30°、45°、60°）的三角函数计算以及包括绝对值、倒数、负整数指数幂、0指数幂等在内的混合运算.【考向05】实数的混合运算【试题】计算：|–3|+（–1）2019×（π–3）0312．【好题变式练】1．【2019重庆月考】按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为7的是A．𝑥=−2，𝑦=3B．𝑥=−2，𝑦=−3C．𝑥=8，𝑦=−3D．𝑥=−8，𝑦=−32．【2019四川中考】计算：(−1)2019+(−2)−2+(3.14−π)0−4cos30∘+2−√12．过关斩将要点归纳实数的混合运算（1）有理数的运算律在实数范围内都适用，其中常用的运算律有加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法分配律、乘法结合律．（2）在实数范围内进行运算的顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减．运算中有括号的，先算括号内的，同一级运算要从左到右依次进行．解题技巧实数的混合运算的考查上主要侧重运算法则、运算顺序、运算律等，包括具体的二次根式、特殊角（30°、45°、60°）的三角函数计算以及包括绝对值、倒数、负整数指数幂、0指数幂等在内的混合运算.1．−64的立方根与√64的平方根之和为A．−2或2B．−2或−6C．−4+2√2或−4−2√2D．02．已知𝑎，𝑏为实数，且√1+𝑎−(𝑏−1)√1−𝑏=0，则𝑎2020−𝑏2019的值是A．2B．−2C．0D．20063．在−6，0，√2，1这个四个数中，最大的数是A．−6B．0C．√2D．14．设𝑎=999999,𝑏=119990，则𝑎、𝑏的大小关系是A．𝑎=𝑏B．𝑎𝑏C．𝑎𝑏D．以上三种都不对5．【2019贵州月考】定义：𝑓(𝑎, 𝑏)=(𝑏, 𝑎)，𝑔(𝑚, )=(−𝑚, −)．例如𝑓(2, 3)=(3, 2)，𝑔(−1, −4)=(1, 4)．则𝑔[𝑓(−5, 6)]等于A．(−6, 5)B．(−5, −6)C．(6, −5)D．(−5, 6)6．定义新运算“*”如下：当𝑎≥𝑏时，𝑎∗𝑏=𝑎𝑏+𝑏，当𝑎𝑏时，𝑎∗𝑏=𝑎𝑏−𝑎，若(2𝑥−1)∗(𝑥+2)=0，则𝑥的值为A．0，−2，−1或12B．0或−2C．−1或12D．−2或127．有一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，32，…，第2020个数应是A．22018B．22019C．22020D．220218．连接边长为1的正方形对边中点，可将一个正方形分成2个大小相同的长方形，选右边的长方形进行第二次操作，又可将这个长方形分成2个更小的正方形…重复这样的操作，经过仔细地观察与思考，猜想12+(12)2+(12)3+⋯+(12)𝑛−1+(12)𝑛的值等于A．1B．(12)𝑛C．1−(12)𝑛−1D．1−(12)𝑛9．计算：√3−√2+(√2020−1)0+2sin45∘−2cos30∘+(12019)−1．参考答案过关斩将1．C【解析】√−643=−4,√64=8，∴8的平方根为±2√2，∴−64的立方根与√64的平方根之和为−4±2√2.故选C．2．C【解析】√1+𝑎−(𝑏−1)√1−𝑏=0可化为√1+𝑎+(1−𝑏)√1−𝑏=0，所以，1+𝑎=0，1−𝑏=0，解得𝑎=−1，𝑏=1，所以，𝑎2020−𝑏2019=(−1)2020−12019=1−1=0．故选C．3．C【解析】根据负数都小于0，正数都大于0，且√2√1，得−601√2，∴最大的数是√2，故选C．4．A【解析】先求出𝑎除以𝑏所得的商，再根据商与1的关系确定𝑎与𝑏的大小关系．𝑎÷𝑏=999999÷119990=999999×990119=99999×119=999(9×11)9=1，∵𝑎÷𝑏=1，∴𝑎=𝑏．故选A．5．A【解析】根据定义，𝑓(−5, 6)=(6, −5)，所以𝑔[𝑓(−5, 6)]=𝑔(6, −5)=(−6, 5)．故选A．6．C【解析】①当2𝑥−1≥𝑥+2，即𝑥≥3时，(2𝑥−1)∗(𝑥+2)=(2𝑥−1)(𝑥+2)+𝑥+2=0，解得：𝑥=0或𝑥=−2，∵𝑥≥3，∴𝑥=0及𝑥=−2，均舍去；②当2𝑥−1𝑥+2，即𝑥3时，(2𝑥−1)∗(𝑥+2)=(2𝑥−1)(𝑥+2)−(2𝑥−1)=2𝑥2+𝑥−1=0，解得：𝑥=−1或𝑥=12，均满足𝑥3，符合题意．故选C．7．B根据题意可知第一个数：1=20，第二个数：2=21，第三个数：4=22，第四个数：8=23，第五个数：16=24，第六个数：32=25，即可推出第2020个数为22019．故选B．8．D【解析】根据题意可得，12=1−12；12+(12)2=1−(12)2；12+(12)2+(12)3=1−(12)3；…故12+(12)2+(12)3+⋯+(12)𝑛−1+(12)𝑛=1−(12)𝑛．故选D．9．【解析】√3−√2+(√2020−1)0+2sin45∘−2cos30∘+(12019)−1=√3−√2+1+2×√22−2×√32+2019=√3−√2+1+√2−√3+2019=2020．