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专题23圆考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一与圆有关的概念圆的概念：在一个平面内，线段𝑂𝑂绕它固定的一个端点𝑂旋转一周，另一个端点𝑂所形成的图形叫圆．这个固定的端点𝑂叫做圆心，线段𝑂𝑂叫做半径．以𝑂点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以𝑂、𝑂为端点的弧记作𝑂𝑂⏜，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弦心距、半径、弦长的关系：（考点）圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．三角形的外接圆1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．2）三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.3）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.圆内接四边形概念：如果一个四边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形。弓形与扇形弓形的概念：由弦及其所对的弧组成的图形。扇形的概念：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。【典型例题】1．（2018·陆丰市民声学校中考模拟）如图，AB是⊙O直径，点C，D在⊙O上，OD∥AC，下列结论错误的是（）图3图2图1OCBAOCBAOCBAA．∠BOD=∠BACB．∠BAD=∠CADC．∠C=∠DD．∠BOD=∠COD【答案】C【详解】∵OD//AC，∴∠BOD=∠BAC、∠D=∠CAD、∠C=∠COD，故A选项正确，∵OA=OD，∴∠D=∠BAD，∴∠BAD=∠CAD，故B选项正确，∵OA=OC，∴∠BAD=∠C，∴∠BOD=∠COD，故D选项正确，由已知条件无法得出∠C=∠D，故C选项错误，故选C.2．（2018·北京中考模拟）有下列四种说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中，错误的说法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【答案】B【详解】圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．其中错误说法的是①③两个．故选：B．3．（2018·上海中考模拟）下列说法中，正确的个数共有（）（1）一个三角形只有一个外接圆；（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等；（4）三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等；A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【详解】（1）一个三角形只有一个外接圆，正确；（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确；（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；（4）三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等，错误；故选：C．4．（2018·湖北中考模拟）有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】试题解析：同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫等弧，所以长度相等，故正确；连接圆上任意两点的线段叫做弦，所以直径是最长的弦，故正确；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；圆中90°圆周角所对的弦是直径，故错误；弦所对的圆周角可在圆心一侧，也可在另一侧，这两个圆周角互补，但不一定相等，所以同圆中等弦所对的圆周角也不一定相等，故错误.综上所述，正确的结论有2个，故应选B.5．（2017·广东中考模拟）如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD＝40°，则∠BAD的度数为（）A．40B．45C．60D．50【答案】D【解析】解：∵在⊙O中，AB为直径，∴∠ADB=90°，∵∠B=∠ACD=40°，∴∠BAD=90°﹣∠B=50°．故选D．【考查题型汇总】考查题型一利用圆的半径相等进行相关计算1．（2019·浙江省杭州第七中学中考模拟）如图，A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是（）．A．10°B．20°C．40°D．80°【答案】B【解析】根据同一弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角度数的一半,所以∠ACB的度数等于∠AOB的一半,故选B2．（2018·黑龙江中考模拟）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（）A．70°B．80°C．110°D．140°【答案】C【解析】详解：作𝑂𝑂⏜对的圆周角∠APC，如图，∵∠P=12∠AOC=12×140°=70°∵∠P+∠B=180°，∴∠B=180°﹣70°=110°，故选：C．3．（2019·四川省平昌中学中考模拟）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是()A．AC=ABB．∠C=12∠BODC．∠C=∠BD．∠A=∠BOD【答案】B【详解】解：∵直径CD⊥弦AB，∴弧AD=弧BD，∴∠C=12∠BOD．故选B．4．（2018·贵州中考模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（）A．4√3B．6√3C．2√3D．8【答案】A【解析】试题解析：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD=12∠AOC，∴∠COD=∠B=60°；在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°，∴CD=√32OC=2√3，∴AC=2CD=4√3．故选A．5．（2019·云南中考模拟）如图，已知：在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数为（）A．70°B．45°C．35°D．30°【答案】C【详解】解：∵OA⊥BC，∠AOB=70°，∴AB=𝑂𝑂̂，∴∠ADC=12∠AOB=35°．故选C．6．（2019·广西中考模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（A、B除外），∠AOD＝136°，则∠C的度数是（）A．44°B．22°C．46°D．36°【答案】B【详解】∵∠AOD＝136°，∴∠BOD＝44°，∴∠C＝22°，故选：B．考查题型二圆心角与圆周角的关系解题1．（2019·武汉市第四十六中学中考模拟）如图，BE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，点D为垂足，连AE、EC．（1）若∠AEC＝28°，求∠AOB的度数；（2）若∠BEA＝∠B，EC＝3，求⊙O的半径．【答案】（1）56∘．（2）3.【详解】解：(1)连接OC．∵半径OA⊥弦BC，∴𝑂𝑂̂=𝑂𝑂̂，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOC=2∠AEC=56∘，∴∠AOB=56∘．(2)∵BE是⊙𝑂的直径，∴∠ECB=90∘，∵𝑂𝑂̂=𝑂𝑂̂∴∠AEC=∠BEA，∵∠BEA=∠𝑂，∴∠𝑂=∠AEB=∠AEC∵∠𝑂+∠AEB+∠AEC=180∘，∴∠𝑂=∠AEB=∠AEC=30∘，∵EC=3，∴EB=2EC=6，∴⊙𝑂的半径为3．2．（2018·吉林中考模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的点，CD与⊙O相切于点D，连结BD、AD．（1）求证；∠BDC＝∠A．（2）若∠C＝45°，⊙O的半径为1，直接写出AC的长．【答案】（1）详见解析；（2）1+√2【详解】(1)证明：连结OD．如图，∵CD与⊙𝑂相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠2+∠BDC＝90°，∵AB是⊙𝑂的直径，∴∠ADB＝90°，即∠1+∠2＝90°，∴∠1＝∠BDC，∵OA＝OD，∴∠1＝∠𝑂，∴∠BDC＝∠𝑂；（2）解：在Rt△ODC中，∵∠𝑂＝45°，∴𝑂𝑂=√2𝑂𝑂=√2∴𝑂𝑂=𝑂𝑂+𝑂𝑂=1+√23．（2019·苏州高新区实验初级中学中考模拟）已知：如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果∠BAD＝30°，且BE＝2，求弦CD的长．【答案】4√3【详解】解：连接OD，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，∵∠BAD＝30°，∴∠DOE＝60°，∵CD⊥AB，∴CD＝2DE，∠ODE＝30°，∴OD＝2OE，即r＝2（r﹣2），解得r＝4；∴OE＝4﹣2＝2，∴DE＝√𝑂𝑂2−𝑂𝑂2＝√42−22＝2√3，∴CD＝2DE＝4√3．知识点二圆的基本性质对称性1.圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线2.圆是中心对称图形。垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造𝑂𝑂△，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等圆周角定理（考点）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．【考查题型汇总】考查题型三运用垂径定理进行相关计算1．（2019·苏州高新区第四中学校中考模拟）如图，等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，AB＝AC，tan∠ABC＝13．求BC的长．【答案】BC＝6．【详解】连接AO，交BC于点E，连接BO，∵AB＝AC，∴𝑂𝑂⏜=𝑂𝑂⏜，又∵OA是半径，∴OA⊥BC，BC＝2BE，在Rt△ABE中，∵tan∠ABC＝13，∴𝑂𝑂𝑂𝑂=13，设AE＝x，则BE＝3x，OE＝5﹣x，在Rt△BEO中，BE2+OE2＝OB2，∴(3x)2+(5﹣x)2＝52，解得：x1＝0(舍去)，x2＝1，∴BE＝3x＝3，∴BC＝2BE＝6．2．（2019·四川省平昌中学中考模拟）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2．（1）求OD的长．（2）求EC的长．【答案】（1）5（2）2√13【详解】解：(1)设⊙O半径为r，则OA＝OD＝r，OC＝r﹣2，∵OD⊥AB，∴∠ACO＝90°，AC＝BC＝12AB＝4，在Rt△ACO中，由勾股定理得：r2＝42+（r﹣2）2，r＝5，∴OD＝r＝5；(2)连接BE，如图：由(1)得：AE＝2r＝10，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，由勾股定理得：BE＝6，在Rt△ECB中，EC＝√𝑂𝑂2+𝑂𝑂2＝√62+42＝2√13．故答案为：(1)5；(2)2√13.13．（2019