2020年中考数学一轮复习 基础考点及题型 专题21 平行四边形（含解析）

专题21平行四边形考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一平行四边形平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”平行四边形的性质：1、平行四边形对边平行且相等；几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD,AD=BC;AB∥CD,AD∥BC2、平行四边形对角相等、邻角互补；几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠1=∠3，∠2=∠4，∠1+∠4=180°…（还有那组角互补？）3、平行四边形对角线互相平分；几何描述：∵四边形ABCD是平行四边形∴AO=OC=AC,BO=OD=BD4、平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心。平行线的性质：1、平行线间的距离都相等；2、两条平行线间的任何平行线段都相等；3、等底等高的平行四边形面积相等。平行四边形的判定定理（基础）：1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。2、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。4、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。平行四边形的面积公式：面积=底×高【考查题型汇总】考查题型一利用平行四边形的性质解题1．（09·海南中考真题）如图，在ABCD中，将ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若=60B，=3AB，则ADE的周长为（）A．12B．15C．18D．21【答案】C【详解】由折叠可得，90ACDACE，90BAC，又60B，30ACB，26BCAB，6AD，由折叠可得，60EDB，60DAE，ADE是等边三角形，ADE的周长为6318，故选：C．2．（08·山东中考模拟）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）A．①，②B．①，④C．③，④D．②，③【答案】D【详解】只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．故选D．3．（08·陕西师大附中中考模拟）如图，平行四边形ABCD的周长是26，对角线AC与BD交于O，AC⊥AB，E是BC的中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3，则AE的长度为（）A．3B．4C．5D．8【答案】B【详解】解：∵ABCD的周长为26cm，∴AB+AD=13cm，OB=OD，∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，∴（OA+OB+AD）﹣（OA+OD+AB）=AD﹣AB=3cm，∴AB=5cm，AD=8cm.∴BC=AD=8cm.∵AC⊥AB，E是BC中点，∴AE=12BC=4cm；故选：B.4．（03·湖北中考真题）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是A．18B．28C．36D．46【答案】C【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5.∵△OCD的周长为23，∴OD+OC=23﹣5=18.∵BD=2DO，AC=2OC，∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2（DO+OC）=36.故选C.5．（09·山东中考模拟）如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若ABD48，CFD40，则E为()A．102B．112C．122D．92【答案】B【详解】AD//BC，ADBDBC，由折叠可得ADBBDF，DBCBDF，又DFC40，DBCBDFADB20，又ABD48，ABD中，A1802048112，EA112，故选B．考查题型二平行四边形的判定1．（08·上海中考模拟）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析.【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE=∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，又∵∠FEA=∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD=FA，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形；（2）BC=2CD．证明：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE=45°，∵∠CDE=90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=DE，∵E是AD的中点，∴AD=2CD，∵AD=BC，∴BC=2CD．2．（09·甘肃中考模拟）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）4133．【解析】1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF，在△BOE和△DOF中，OBEODFOBODBOEDOF∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO=FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，设BE=x，则DE=x，AE=6-x，在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，∴x2=42+（6-x）2，解得：x=133，∵BD=22ADAB=213，∴OB=12BD=13，∵BD⊥EF，∴EO=22BEOB=2133，∴EF=2EO=4133．3．（08·柳州市龙城中学中考模拟）如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF．（1）求证：四边形ABFE是平行四边形（2）若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）EF＝5.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠BCD=90°．∴∠BCF=80°﹣∠BCD=80°﹣90°=90°．∴∠D=∠BCF．在Rt△ADE和Rt△BCF中，∴Rt△ADE≌Rt△BCF．∴∠1=∠F．∴AE∥BF．∵AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形．（2）解：∵∠D=90°，∴∠DAE+∠=90°．∵∠BEF=∠DAE，∴∠BEF+∠=90°．∵∠BEF+∠1+∠AEB=80°，∴∠AEB=90°．在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，AB=．∵四边形ABFE是平行四边形，∴EF=AB=5．考查题型三平行四边形性质与判定的综合1．（09·洞口县第九中学中考模拟）如图，在ABC中，过点C作CD//AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．1求证：四边形AFCD是平行四边形．2若GB3，BC6，3BF2，求AB的长．【答案】1证明见解析；2AB6．【详解】1E是AC的中点，AECE，AB//CD，AFECDE，在AEF和CED中，AFECDEAEFCEDAECE，AEF≌CEDAAS，AFCD，又AB//CD，即AF//CD，四边形AFCD是平行四边形；2AB//CD，GBF∽GCD，GBBFGCCD，即33236CD，解得：9CD2，四边形AFCD是平行四边形，9AFCD2，93ABAFBF622．2．（08·黑龙江中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）AB=13cm，【详解】（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，∴ED是Rt△ABC的中位线，∴ED∥FC．BC=2DE，又EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形；（2）∵四边形CDEF是平行四边形；∴DC=EF，∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB=2DC，∴四边形DCFE的周长=AB+BC，∵四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，∴BC=25﹣AB，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52，解得，AB=13cm.3．（08·江苏省如皋市外国语学校中考模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ACEF是菱形，理由见解析.【详解】试题解析：（1）∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE∥AC，AC=2DE，∵EF=2DE，∴EF∥AC，EF=AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF=CE；（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=AB=AE，∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE，又∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．考查题型四平行四边形与全等三角形综合问题1．（09·广西中考模拟）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．（1）求证：△ABC≌△DFE；（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】详解：证明：()∵𝐵𝐵=𝐵𝐵，∴𝐵𝐵=𝐵𝐵，在△𝐵𝐵𝐵和△𝐵𝐵𝐵中，{𝐵𝐵=𝐵𝐵𝐵𝐵=𝐵𝐵𝐵𝐵=𝐵𝐵，∴△𝐵𝐵𝐵≌△𝐵𝐵𝐵(𝐵𝐵𝐵)；()解：如图所示：由()知△𝐵𝐵𝐵≌△𝐵𝐵𝐵，∴∠𝐵𝐵𝐵=∠𝐵𝐵𝐵，∴𝐵𝐵//𝐵𝐵，∵𝐵𝐵=𝐵𝐵，∴四边形ABDF是平行四边形．2．（09·江苏中考模拟）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．【答案】证明见解析.【解析】如图，连接BD，AE，∵FB=CE，∴BC=EF，又∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，ABCDEFBCEFACBDFE＝＝＝，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE，又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AD与BE互相平分．3．（08·肇庆第四中学中考模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1=∠2.求证：（1）BE=DF；（2）AF∥CE.【答案】证明见解析【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠5=∠3，∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠4，在△ABE和△CDF中，4{35AEBABCD，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴BE=DF；（2）由（1）得△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵∠1=∠2，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF∥CE．知识点二三角形中位线三角形中位概念：连接三角形两边重点的线段叫做三角形中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。几何描述：∵DE是△ABC的中位线∴DE∥BC,DE=BC【考查题型汇总】考查题型五利用三角形中位线进行计算1．（09·甘肃中考模拟）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24B．18C．12D．9【答案】A【详解】∵E是AC中点，∵EF∥B