2020年中考数学一轮复习 基础考点及题型 专题19 轴对称与等腰三角形（含解析）

专题19轴对称与等腰三角形考点总结【思维导图】【知识要点】知识点1图形的轴对称轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．轴对称的性质：1、关于某条直线对称的两个图形是全等形。2、如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所在连线段的垂直平分线。轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线）轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。轴对称与轴对称图形的联系与区别画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：1.找到关键点，画出关键点的对应点，2.按照原图顺序依次连接各点。用坐标表示轴对称：1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）；2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；1．（2017·重庆中考模拟）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是()A．B．C．D．【答案】D【详解】A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选D．2．（2018·河北中考真题）图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（）A．l1B．l2C．l3D．l4【答案】C【详解】观察可知沿l1折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l1不是对称轴；沿l2折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l2不是对称轴；沿l3折叠时，直线两旁的部分能够完全重合，故l3是对称轴，所以该图形的对称轴是直线l3，故选C．3．（2019·内蒙古中考真题）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：A．是轴对称图形，故本选项错误；B．是轴对称图形，故本选项错误；C．是轴对称图形，故本选项错误；D．不是轴对称图形，故本选项正确．故选D．4．（2018·重庆中考真题）下列图形中一定是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】A、40°的直角三角形不是轴对称图形，故不符合题意；B、两个角是直角的四边形不一定是轴对称图形，故不符合题意；C平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故不符合题意；D矩形是轴对称图形，有两条对称轴，故符合题意，故选D.5．（2019·山东中考真题）下列图形：其中是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【答案】A【详解】1有两条对称轴；2有两条对称轴；3有四条对称轴；4不是对称图形故选A.考查题型一画对称轴的方法1．（2016·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．【答案】（1）答案见解析；（2）A2（﹣3，﹣1），B2（0，﹣2），C2（﹣2，﹣4）．【解析】(1)、如图所示：△A1B1C1，即为所求；(2)、如图所示：△A2B2C2，即为所求，点A2（﹣3，﹣2），B2（0，﹣3），C2（﹣2，﹣5）2．（2019·广西中考模拟）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，B的坐标分别为（－4，5），（－2，1）．（1）写出点C及点C关于y轴对称的点C′的坐标；（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；（3）求△ABC的面积．【答案】（1）点C（-1，3），点Cˊ(1,3)；（2）详见解析；（3）面积为4【详解】（1）点C（-1，3），点Cˊ(1，3)；（2）如图所示；（3）S△ABC＝3×4122×3121×2122×4＝12﹣3﹣1﹣4＝4．3．（2019·甘肃中考模拟）在33的正方形格点图中，有格点ABC和DEF，且ABC和DEF关于某直线成轴对称，请在备用图中画出4个这样的DEF．【答案】见详解.【解析】如图，①，两个三角形关于大正方形的水平对称轴对称；②，两个三角形关于过C点的水平线对称，此时C和F重合；③，两个三角形关于大正方形的竖直对称轴对称；④，两个三角形关于大正方形的过B点的对角线对称轴对称，此时B和E重合，4个DEF即为所画.考查题型二根据轴对称求坐标或字母的取值范围1．（2013·江苏中考真题）已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P1的坐标是，点P关于原点O的对称点P2的坐标是．【答案】（－3，2）；（－3，－2）【解析】试题分析：关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，从而点P（3，2）关于y轴对称的点P1的坐标是（－3，2）。关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，从而点P（3，2）关于原点O对称的点P2的坐标是（－3，－2）。2．在直角坐标系中，已知点P（-4a，7），Q（8，b+2）根据条件，求a，b值1）P,Q关于x轴对称2）P,Q关于y轴对称【答案】（－2，-9）；（2，－5）【解析】1）由题意可知-4a=8，-7=b+2，解得a=-2，b=-92）由题意可知-4a=-8，7=b+2，解得a=2，b=-5考查题型三利用轴对称解决折叠问题1．（2018·黑龙江中考模拟）如图，将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D两点分别落在点1C、1D处.若1CBA50，则ABE的度数为()A．10B．20C．30D．40【答案】B【详解】设∠ABE=x，根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x，所以50°+x+x=90°，解得x=20°．故选：B2．（2019·山东中考真题）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙)，AOB的度数是________.【答案】45°【详解】在折叠过程中角一直是轴对称的折叠，22.5245AOB故答案为：45°3．（2017·内蒙古中考模拟）把一张长方形纸条按如图所示折叠后，若∠AOB′＝70°，则∠B′OG＝_____．【答案】55°【详解】解：由翻折性质得，∠BOG＝∠B′OG，∵∠AOB′+∠BOG+∠B′OG＝180°，∴∠B′OG＝12（180°﹣∠AOB′）＝12（180°﹣70°）＝55°．故答案为55°．4．（2012·江苏中考模拟）如图，△ABC中，AC＝BC，把△ABC沿AC翻折，点B落在点D处，连接BD，若∠ACB＝100°，则∠CBD＝_________°【答案】10°【解析】三角形纸片ABC，沿着AC翻折，∴AB=AD，AC=BC，∠ACB＝100°，∴∠BAC=CAD=40°，∴∠ABC=40°，∴∠BCD=160°，∴∠CBD=∠CDB=10°考查题型四利用轴对称解决几何最值问题1．（2019·吉林东北师大附中中考模拟）图①、图②均是66的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点。点A、B、M、N均落在格点上.在图①、图②给定的网格中按要求作图.（1）在图①中的格线MN上确定一点P，使PA与PB的长度之和最小;（2）在图②中的格线MN上确定一点Q，使AQMBQM.要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出做法.【答案】如图①所示见解析，如图②所示见解析.【详解】(1)如图①所示；(2)如图②所示.图①图②2．（2019·余干县瑞洪中学中考模拟）如图,根据要求画图(保留画图的痕迹,可以不写结论)(1)画线段AB；(2)画射线BC；(3)在线段AB上找一点P，使点P到A．B．C三点的距离和最小,并简要说明理由．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）作CP⊥AB于P,此时P到A.B.C三点的距离和最短，图见解析【详解】(1)(2)如图所示:(3)如图所示:作CP⊥AB于P,此时P到A.B.C三点的距离和最理由是:根据两点之间线段最短,PA+PB此时最小,根据垂线段最短,得出PC最短,即PA+PB+PC的值最小,即点P到A.B.C三点的距离和最小。3．（2019·天津中考模拟）如图，△𝐴𝐴𝐴是等边三角形，𝐴𝐴是𝐴𝐴边上的高，点E是𝐴𝐴边的中点，点P是𝐴𝐴上的一个动点，当𝐴𝐴+𝐴𝐴最小时，∠𝐴𝐴𝐴的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【详解】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴点B与点D关于AD对称，∴PC=PB，∴PE+PC=PB+PE=BE，∴BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE=60°，∵BA=BC，AE=EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠EBC=30°，∵PB=PC，∴∠PCB=∠PBC=30°，∴∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°，故选：C．知识点2线段的垂直平分线概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边垂直平分线相交于一点，这点到三个顶点的距离相等。交点叫做三角形的外心。考查题型五利用线段的垂直平分线性质解题1．（2019·北京市通州区姚村中学中考模拟）已知如图，在△ABC中，∠B＝45°，点D是BC边的中点，DE⊥BC于点D，交AB于点E，连接CE．（1）求∠AEC的度数；（2）请你判断AE、BE、AC三条线段之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】（1）90°；（2）AE2+EB2＝AC2，证明见解析．（2）根据勾股定理解答．【详解】解：（1）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，∴DE是线段BC的垂直平分线，∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠B＝45°，∴∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°；（2）AE2+EB2＝AC2．∵∠AEC＝90°，∴AE2+EC2＝AC2，∵EB＝EC，∴AE2+EB2＝AC2．2．（2017·福建中考模拟）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB延长线于点E,连接CE。求证：∠BCE=∠A+∠ACB．【答案】证明见解析.【详解】∵BC的垂直平分线交BC于点D，交AB延长线于点E，∴CE=BE，∴∠ECB=∠EBC，∵∠EBC=∠A+∠ACB，∴∠BCE=∠A+∠ACB．3．（2014·福建中考模拟）如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，则△ABD的周长为__cm．【答案】21【解析】∵DE垂直平分，∴AD=CD，∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm，又∵AB=10cm，∴△ABD的周长=AB+BC=10+11=21（cm）．考查题型六证明某直线是一条线段的垂直平分线1．（2019·上饶市第二中学初二期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【答案】（1）65°（2）证明见解析【详解】（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=50°，∴∠EAD=12∠BAC=25°，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°；（2）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，又∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，DE=DC∴点A在线段CE的垂直平分线上，点D在线段