2020年中考数学一轮复习 基础考点及题型 专题16 相交线与平行线（含解析）

专题16相交线与平行线考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一相交线直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。表示方法：如图，a⊥b，垂足为Ｏ．记作：a⊥b于点Ｏ．【注意事项】1.线段与线段，线段与射线，线段与直线，射线与射线，射线与直线垂直，是特指它们所在的直线互相垂直。2.两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角；若两条直线的夹角为直角，则这两条直线互相垂直。垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂线的画法：一落、二移、三画。注意：经过一点画射线或线段的垂线，是指它们所在直线的垂线，垂足的位置不固定，可能会出现在射线的反向延长线或线段的延长线上。垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。注意：1、垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。2、经过直线外一点到这条直线的垂线段有且只有一条。点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离【典型例题】1．（2016·福建中考模拟）两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（）A．一定有一个锐角B．一定有一个钝角C．一定有一个直角D．一定有一个不是钝角【答案】D【解析】因为两条直线相交，分为垂直相交和斜交，故分两种情况讨论：①当两直线垂直相交时，四个角都是直角，故A、B错误；②当两直线斜交时，有两个角是锐角，两个角是钝角，所以C错误；综上所述，D正确．故选D．2．（2018·天津中考模拟）有下列几种说法：①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角；②两条直线相交所成的四个角相等；③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻补角相等；④两条直线相交对顶角互补．其中，能两条直线互相垂直的是（）A．①③B．①②③C．②③④D．①②③④【答案】D【解析】①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角能得到两条直线互相垂直；②两条直线相交所成的四个角相等能得到两条直线互相垂直；③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻补角相等能得到两条直线互相垂直；④两条直线相交对顶角互补能得到两条直线互相垂直．故选D.3．（2018·湖南中考模拟）在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【详解】在同一平面内，①过两点有且只有一条直线，故①正确；②两条不相同的直线相交有且只有一个公共点，平行没有公共点，故②错误；③在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③正确；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故④正确，综上所述，正确的有①③④共3个，故选C．4．（2019·贵州中考真题）如图，△ABC中，CD是AB边上的高，CM是AB边上的中线，点C到边AB所在直线的距离是()A．线段CA的长度B．线段CM的长度C．线段CD的长度D．线段CB的长度【答案】C【详解】点C到边AB所在直线的距离是点C到直线AB的垂线段的长度，而CD是点C到直线AB的垂线段，故选C.5．（2018·安徽中考模拟）下列说法正确的是()A．两点之间的距离是两点间的线段B．同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．与同一条直线垂直的两条直线也垂直D．同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【解析】试题解析：A.两点之间的距离是两点间的线段的长度，故此选项错误；B.同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项错误；C.与同一条直线垂直的两条直线平行，故此选项错误；D.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故此选项正确.故选D.考查题型一垂线性质的应用方法1．（2017·湖南中考模拟）如图，AB∥CD，EG⊥AB，垂足为G．若∠1＝50°，则∠E＝（）.A．60°B．50°C．40°D．30°【答案】C【解析】先根据对顶角相等求出∠1的对顶角，然后根据两直线平行，同位角相等，求出直角三角形的一个内角，然后可求得∠E=90°-50°=40°.故选：C2．（2018·广西中考模拟）如图，O为直线AB上一点，OE平分∠BOC，OD⊥OE于点O，若∠BOC=80°，则∠AOD的度数是（）A．70°B．50°C．40°D．35°【答案】B【解析】∵OE是∠BOC的平分线，∠BOC=80°，∴∠COE=12∠BOC=12×80°=40°，∵OD⊥OE∴∠DOE=90°，∴∠DOC=∠DOE-∠COE=90°-40°=50°，∴∠AOD=180°-∠BOC-∠DOC==180°-80°-50°=50°.故选B.3．（2015·河北中考模拟）如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C【解析】试题分析：∵∠1=145°，∴∠2=180°-145°=35°，∵CO⊥DO，∴∠COD=90°，∴∠3=90°-∠2=90°-35°=55°；故选C．4．（2019·湖南中考模拟）如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，已知∠BOE＝65°，则∠AOC的大小为（）A．25°B．35°C．65°D．115°【答案】A【详解】∵OE⊥CD，∠BOE＝65°，∴∠BOD＝90°﹣65°＝25°，∴∠AOC＝∠BOD＝25°．故选A．5．（2017·重庆中考模拟）如图，//EFGH，点A在EF上，|24xx分别交GH于点BC、，且APAQ，035PBG，则FAC的度数为（）A．045B．050C．055D．060【答案】C【解析】试题解析：∵EF∥GH，∠PBG=35°，∴∠EAP=∠PBG=35°，∵AP⊥AQ，∴∠BAC=90°，∵∠EAP+∠BAC+∠FAC=180°，∴∠FAC=180°-∠EAP-∠BAC=180°-35°-90°=55°．故选C.．考查题型二判断两条直线是否垂直1．（2018·广东正德中学中考模拟）如图，已知DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，试说明：CD⊥AB．【答案】证明见解析.【解析】∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知），∴∠DGB=∠ACB=90°（垂直的定义），∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行）.∴∠2=∠ACD（两直线平行，内错角相等）.∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠ACD（等量代换），∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）.∴∠AEF=∠ADC（两直线平行，同位角相等）.∵EF⊥AB（已知），∴∠AEF=90°（垂直的定义），∴∠ADC=90°（等量代换）.∴CD⊥AB（垂直的定义）．考察题型三利用垂线段最短，解决实际问题1．（2018·贵州中考模拟）如图，计划把河水l引到水池A中，先作AB⊥l，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是（）A．两点之间线段最短B．垂线段最短C．过一点只能作一条直线D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】B【详解】计划把河水l引到水池A中，先作AB⊥l，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是垂线段最短，故选B．考查题型四相交线交点的判断1．（2013·湖北中考真题）两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，…那么六条直线最多有()A．21个交点B．18个交点C．15个交点D．10个交点【答案】C【解析】由题意两条直线最多有个交点，三条直线最多有个交点，四条直线最多有个交点，根据这个规律即可求得结果.由题意得六条直线最多有个交点，故选C.2．观察如图图形，并阅读相关文字：那么10条直线相交，最多交点的个数是()A．10B．20C．36D．45【答案】D【详解】2条直线相交，只有1个交点，3条直线相交，最多有3个交点，4条直线相交，最多有6个交点，…，n条直线相交，最多有12nn（）个交点，n=10时，109245．故选D．3．（2017·温江区期末）三条互不重合的直线的交点个数可能是（）A．0，1，3B．0，2，3C．0，1，2，3D．0，1，2【答案】C【解析】分四种情况：①三条直线平行，有0个交点；②三条直线相交于同一点，有1个交点；③一条直线截两条平行线有2个交点；④三条直线两两相交有3个交点．故选C．知识点二相交线中的角邻补角与对顶角的知识点两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角∠1与∠2有公共顶点∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线对顶角相等即∠1=∠2邻补角∠3与∠4有公共顶点∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线.∠3+∠4=180°注意点：（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；（3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角；（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.同位角、内错角与同旁内角的知识点同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。（同旁同侧）如：∠1和∠5。内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。（内部异侧）如：∠3和∠5。同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。（同旁内侧）如：∠3和∠6。三线八角:指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对，同旁内角有2对。考查题型五同位角、内错角与同旁内角的判断1．（2019·浙江中考模拟）两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内错角．（1）画出示意图，标出∠1，∠2，∠3．（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠3的度数．【答案】(1)见解析；(2)36°【详解】解：（1）如图所示：（2）∵∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，∴设∠3＝x，则∠2＝2x，∠1＝4x，故x+4x＝180°，解得：x＝36°，故∠3的度数为36°．2．（2019·福建中考模拟）如图，与∠1是同旁内角的是()A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5【答案】D【解析】解：A．∠1和∠2是对顶角，不是同旁内角，故本选项错误；B．∠1和∠3是同位角，不是同旁内角，故本选项错误；C．∠1和∠4是内错角，不是同旁内角，故本选项错误；D．∠1和∠5是同旁内角，故本选项正确．故选D．3．（2019·甘肃中考模拟）如图，下列四个选项中，1与2是内错角的是()A．B．C．D．【答案】B【详解】根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．只有B符合条件．故选B．考查题型六利用对顶角的性质求角的度数1．（2019·余干县瑞洪中学中考模拟）如图，已知直线AB与CD相交于点O，EO⊥CO，OF平分∠AOE，且OF在∠COE的内部．(1)若∠COF＝15°，求∠BOD的度数．(2)若∠BOD＝x°，则∠COF＝__________°(用含x的代数式表示)．【答案】（1）∠BOD＝60°；（2）075x0.【详解】解：(1)∵CO⊥EO，∴∠COE＝90°．∴∠EOF＝∠COE－∠COF＝90°－15°＝75°．∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝75°，∴∠AOC＝∠AOF－∠COF＝75°－15°＝60°，∴∠BOD＝∠AOC＝60°．(2)由（1）可知道∠AOF=75°，∠BOD＝∠AOC，∴∠COF=∠AOF－∠BOD=75°－x°．2．（2017·河南中考模拟）如图，直线AB、CD相