2020年中考数学一轮复习 基础考点及题型 专题14 反比例函数（含解析）

专题14反比例函数单元总结【思维导图】【知识要点】知识点一反比例函数的基础反比例函数的概念：一般地，形如𝑦=𝑦𝑦（𝑦为常数，𝑦≠𝑦）的函数称为反比例函数。表现形式：𝑦=𝑦𝑦还可以写成𝑦=𝑦𝑦−1和xy=k的形式【注意】反比例函数𝑦=𝑦𝑦的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点。1．（2018·湖北襄阳七中初三月考）下列函数中，是反比例函数的是()A．y＝𝑦𝑦B．3x＋2y＝0C．xy－√2＝0D．y＝2𝑦+1【详解】解：A、k≠0时，y=𝑦𝑦是反比例函数，故此选项错误；B、3x+2y=0，可变形为y=−32x，是正比例函数，不是反比例函数，故此选项错误；C、xy-√2=0可变形为y=√2𝑦是反比例函数，故此选项正确；D、y=2𝑦−1分母是x-1，不是反比例函数，故此选项错误．故选：C．2．（2019·深圳市福田区外国语学校初三期中）下列函数是反比例函数的是（）A．𝑦=𝑦𝑦B．23xyC．𝑦=2𝑦−1D．y=-x+5【详解】A选项中，当𝑦=0时不是反比例函数，故该选项错误.B选项中，23xy是正比例函数，故该选项错误.C选项中，𝑦=2𝑦−1是反比例函数，故该选项正确.D选项中，y=-x+5是一次函数，故该选项错误.故选C反比例函数解析式的特征:1.等号左边是函数𝑦，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数𝑦（也叫做比例系数𝑦），分母中含有自变量𝑦，且指数为1.2.比例系数𝑦≠03.自变量𝑦的取值为一切非零实数。4.函数𝑦的取值是一切非零实数。考查题型一根据反比例函数概念求参数值的方法1．（2019·黑龙江八五八农场学校初二期末）函数的图象𝑦=(𝑦+1)𝑦𝑦2−2是双曲线，则m的值是（）A．－1B．0C．1D．2【详解】解：∵函数𝑦=(𝑦+1)𝑦𝑦2−2的图象是双曲线，∴{𝑦+1≠0𝑦2−2＝−1，解得m=1．故选：C．2．（2019·莱芜市寨里镇寨里中学初三期中）若函数𝑦＝（m+1）x|m|﹣2是反比例函数，则𝑦＝（）A．±1B．±3C．﹣1D．1【详解】∵函数𝑦=（m+1）x|m|﹣2是反比例函数，∴|m|﹣2=﹣1，解得：m=±1．∵m+1≠0，∴m≠－1，∴m=1．故选D．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（考点）：1）设反比例函数的解析式为𝑦=𝑦𝑦（k为常数，k≠0）2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程。3）解方程求出k值4）将k值代入所设解析式中。考查题型二待定系数法求反比例函数解析式1．（2019·明光市鲁山中学初三月考）函数𝑦=𝑦𝑦的图象经过点(2,3)，那么𝑦等于（）A．6B．16C．23D．32【详解】∵函数y=𝑦𝑦的图象经过点(2,3)，∴点(2,3)满足y=𝑦𝑦，∴3=𝑦2，解得，k=6.故选A.2．（2019·芜湖市期中）下列各点中，在函数y=-6𝑦图象上的是（）A．2,4B．(2,3)C．(−1,6)D．(−12,3)【详解】A.∵(－2)×(－4)＝8≠－6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；B．∵2×3＝6≠－6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；C．∵(－1)×6＝－6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；D．∵(−12)×3＝－32≠－6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．故选C.3．（2019·江苏初三月考）反比例函数y＝𝑦𝑦图象经过A（1，2），B（n，﹣2）两点，则n＝（）A．1B．3C．﹣1D．﹣3【详解】解：∵反比例函数y＝𝑦𝑦图象经过A（1，2），B（n，﹣2）两点，∴k＝1×2＝﹣2n．解得n＝﹣1．故选：C．4．（2019·黑龙江中考模拟）若反比例函数𝑦=𝑦+3𝑦的图像经过点(3,−2)，则𝑦的值为（）A．−9B．3C．−6D．9【详解】把点(3,−2)代入𝑦=𝑦+3𝑦，可得−2=𝑦+33，解得：k=-9.故选：A知识点二反比例函数的图像和性质（基础）图像的画法：描点法1.列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）2.描点（由小到大的顺序）3.连线（从左到右光滑的曲线）图像的特征：1.函数的图像是双曲线．2.图像的对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线y=x或y=-x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．3.k的取值与函数图象弧度之间的关系：|k|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．|k|越小，图象的弯曲度越大．反比例函数的性质：𝑦的取值图像所在象限函数的增减性k0一、三象限在每个象限内，𝑦值随𝑦的增大而减小k0二、四象限在每个象限内，𝑦值随𝑦的增大而增大【注意】双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论考查题型三反比例函数图形特征与性质1．（2018·安岳县期中）反比例函数𝑦=−𝑦2𝑦（𝑦为常数，𝑦≠0）的图象位于（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限【解析】∵k≠0，∴k2＞0，∴﹣k2＜0，∴反比例函数𝑦=−𝑦2𝑦（k为常数，k≠0）的图象位于第二、四象限．故选C．2．（2018·深圳市龙岗区百合外国语学校初三期中）已知反比例函数1yx，下列结论正确的是（）A．𝑦值随着𝑦值的增大而减小B．图象是双曲线，是中心对称图形C．当𝑦＞1时，0＜𝑦＜1D．图象可能与坐标轴相交【详解】A、因为反比例函数的图象在二、四象限内，所以在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误；B、反比例函数1yx的图象是双曲线，是中心对称图形，故本选项正确；C、当𝑦＞1时，y0，故本选项错误；D、因为x、y都不等于0，所以图象不可能与坐标轴相交，故本选项错误.故选：B.3．（2015·浙江中考真题）若反比例函数y＝𝑦𝑦的图象经过点(2，－1)，则该反比例函数的图象在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限【解析】反比例函数𝑦=𝑦𝑦的图象经过点（2，−1），求出k=-2，当k0时反比例函数的图象在第一、三象限，当k0时反比例函数的图象在第二、四象限，因为-2〈0，D正确．故选D4．（2019·秀屿区期末）当k＞0，x＜0时，反比例函数y=𝑦𝑦的图象在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【详解】根据反比例函数的性质，k＞0时，图象在第一三象限，又因为x＜0，所以图象在第三象限．故选：C．5．（2019·太原市期末）已知反比例函数𝑦=−8𝑦,下列结论中不正确的是（）A．其图像分别位于第二、四象限B．其图像关于原点对称C．其图像经过点(2，-4)D．若点1122,,,AxyBxy都在图像上，且12xx,则𝑦1𝑦2【详解】A.∵反比例函数𝑦=−8𝑦中，𝑦=−8＜0，∴此函数的图象在二、四象限，故本选项说法正确，不合题意；B.反比例函数的图像是关于原点的中心对称，故本选项说法正确，不合题意；C.∵2×(−4)=−8，∴图象必经过点(2，-4)，故本选项说法正确，不合题意；D.∵反比例函数𝑦=−8𝑦中，𝑦=−8＜0，∴此函数的图象在每一象限内𝑦随𝑦的增大而增大，∴当12xx,在同一象限时则𝑦1𝑦2，在不同象限时则12yy＞，故本选项错误，符合题意.故选：D．6．（2019·南宁市期中）若反比例函数𝑦=𝑦+1𝑦的图象在其所在的每一象限内，𝑦随𝑦的增大而增大，则（）A．𝑦−1B．𝑦−1C．𝑦1D．𝑦1【详解】∵函数𝑦=𝑦+1𝑦的图象在其所在的每一象限内，𝑦随𝑦的增大而增大，∴𝑦+10解得：𝑦−1故选：A7．（2018·河南中考模拟）若点A（﹣6，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函数y=2𝑦2+3𝑦（k为常数）的图象上，则y1，y2，y3大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2【详解】∵2𝑦2+3≻0，∴反比例函数y=2𝑦2+3𝑦的图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，∴A（﹣6，y1），B（﹣2，y2）在第三象限，C（3，y3）在第一象限，∴y2＜y1＜0，y3＞0，∴y3＞y1＞y2.故选D.8．（2019·芜湖市期中）若反比例函数y＝1−2𝑦𝑦（k为常数）的图象在第一、三象限，则k的取值范围是（）A．k＜﹣12B．k＜12C．k＞﹣12D．k＞12【详解】∵反比例函数y＝1−2𝑦𝑦（k为常数）的图象在第一、三象限，∴1﹣2k＞0，解得k＜12．故选：B．知识点三k值的意义（难点）1）设点P（a，b）是双曲线上𝑦=𝑦𝑦任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是|𝑦|2）．2）由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|．考查题型四计算反比例函数有关图形面积的方法1．（2019·四平市期末）如图，A、B是曲线𝑦=3𝑦(𝑦0)上的点，经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若𝑦阴影=1，则S1+S2的值为（）A．3B．4C．5D．6【详解】解：∵A、B是曲线𝑦=3𝑦上的点，经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，∴S矩形ACOD=S矩形BEOF=3，又∵S阴影=1，∴S1=S2=3-1=2，∴S1+S2=4．故选：B．2．（2018·南京市期中）在反比例函数𝑦=4𝑦的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）A．B．C．D．【详解】解：A、图形面积为|k|=4；B、阴影是梯形，面积为6；C、D面积均为两个三角形面积之和，为2×（12|k|）=4．故选B．3)直线y=k1x与双曲线的关系：当k1•k20时，两图象没有交点；当k1•k20时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．考察题型五一次函数与反比例函数综合1．（2018·射阳县期末）关于x的函数y＝kx＋k和y＝𝑦𝑦(k≠0)在同一坐标系中的图象大致是()A．B．C．D．【详解】当k＞0时，函数y=kx+k的图象在第一、二、三象限，反比例函数y=𝑦𝑦的图象在第一、三象限，故选项A错误，选项D正确，当k＜0时，函数y=kx+k的图象在第二、三、四象限，反比例函数y=𝑦𝑦的图象在第二、四象限，故选项B错误，选项C错误，故选D．2．（2018·自贡市期中）反比例函数y=𝑦𝑦和一次函数y=kx-k在同一坐标系中的图象大致是()A．B．C．D．【详解】（1）当k＞0时，一次函数y=kx-k经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示：（2）当k＜0时，一次函数y=kx-k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示：故选C．3．（2018邵阳市中考模拟）在同一直角坐标系中，函数𝑦=𝑦𝑦(𝑦≠0)与𝑦=𝑦𝑦+𝑦(𝑦≠0)的图象大致是（）A．B．C．D．【详解】A、由反比例函数的图像可知k＞0，这时一次函数的图像是与y轴交于正半轴，y随x增大而增大，故不正确；B、由反比例函数的图像可知k＜0，这时一次函数的图像是与y轴交于负半轴，y随x增大而减小，故不正确；C、由反比例函数的图像可知k＞0，这时一次函数的图像是与y轴交于正半轴，y随x增大而增大，故正确；D、由反比例函数的图像可知k＜0，这时一次函数的图像是与y轴交于负半轴，y随x增大而减小，故不正确.故选：C.4．（2018·湖北中考模拟）如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数𝑦=𝑦𝑦的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；（3）求方程𝑦𝑦+𝑦−𝑦𝑦≺0的