2020年中考数学考点一遍过 考点11 二次函数（含解析）

考点11二次函数一、二次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．三、二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）对称轴x=–2ba顶点（–2ba，244acba）a的符号a0a0图象开口方向开口向上开口向下最值当x=–2ba时，y最小值=244acba当x=–2ba时，y最大值=244acba最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x–2ba时，y随x的增大而减小；当x–2ba时，y随x的增大而增大当x–2ba时，y随x的增大而增大；当x–2ba时，y随x的增大而减小2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系字母的符号图象的特征aa0开口向上a0开口向下bb=0对称轴为y轴ab0（a与b同号）对称轴在y轴左侧ab0（a与b异号）对称轴在y轴右侧cc=0经过原点c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交b2–4acb2–4ac=0与x轴有唯一交点（顶点）b2–4ac0与x轴有两个交点b2–4ac0与x轴没有交点四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h）2+k，顶点坐标为（h，k）．2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．五、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3．（1）b2–4ac0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．六、二次函数的综合1、函数存在性问题解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．考向一二次函数的有关概念1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零．2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．典例1（2019·北京临川学校初三月考）如果y=（m–2）x2mm是关于x的二次函数，则m=A．–1B．2C．–1或2D．m不存在【答案】A【解析】依题意²220mmm，解得m=–1，故选A.【名师点睛】此题主要考察二次函数的定义，需要注意a0.典例2（2019·河北初三期中）下列函数是二次函数的是A．y=2x+2B．y=﹣2xC．y=x2+2D．y=x﹣2【答案】C【解析】直接根据二次函数的定义判定即可．A、y=2x+2，是一次函数，故此选项错误；B、y=﹣2x，是正比例函数，故此选项错误；C、y=x2+2是二次函数，故此选项正确；D、y=x﹣2，是一次函数，故此选项错误．故选C．1．（2019·上饶市广信区第七中学初三月考）二次函数223yx（）的图像的顶点坐标是A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）2．（2019·湖北初三期中）将一元二次方程2316xx化为一般形式后，常数项为1，二次项系数和一次项系数分别为A．3，–6B．3，6C．3，1D．2 3x，6x考向二二次函数的图象二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.典例3函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）的图象可能是A．B．C．D．【答案】C【解析】A，由图象可知，开口向下，则a0，又因为顶点在y轴左侧，则b0，则a+b0，而图象与y轴交点为（0，a+b）在y轴正半轴，与a+b0矛盾，故此选项错误；B，由图象可知，开口向下，则a0，又因为顶点在y轴左侧，则b0，则a+b0，而图象与y轴交点为（0，1）在y轴正半轴，可知a+b=1与a+b0矛盾，故此选项错误；C，由图象可知，开口向上，则a0，顶点在y轴右侧，则b0，a+b=1可能成立，故此选项正确；D，由图象可知，开口向上，则a0，顶点在y轴右侧，则b0，与y轴交于正半轴，则a+b0，而图象与x轴的交点为（1，0），则a+b+a+b=0，显然a+b=0与a+b0矛盾，故此选项错误．故选C．典例4如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是A．a0B．b0C．ac0D．bc0【答案】C【解析】∵抛物线开口向下，∴a0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=–2ba0，∴b0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c0，∴ac0，bc0．故选C．3．如果a、b同号，那么二次函数y=ax2+bx+1的大致图象是A．B．C．D．4．已知函数y=ax+b的大致图象如图所示，那么二次函数y=ax2+bx+1的图象可能是A．B．C．D．5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是A．a0B．c0C．a+b+c0D．b2–4ac0考向三二次函数的性质二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．典例5（2019·安徽初三月考）由二次函数y=3（x﹣4）2﹣2可知A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线x=4C．其顶点坐标为（4，2）D．当x3时，y随x的增大而增大【答案】B【解析】23(4)2yx，a=30，抛物线开口向上，故A不正确；对称轴为4x，故B正确；顶点坐标为（4，–2），故C不正确；当4x时，y随x的增大而增大，故D不正确；故选B．【名师点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在2()yaxhk中，顶点坐标为(,)hk，对称轴xh．a决定了开口方向.典例6（2019·福建厦门外国语学校初三期中）在函数2(1)3yx中，当y随x的增大而减小时，则x的取值范围是A．1xB．0xC．3xD．1x【答案】D【解析】二次函数2(1)3yx的对称轴为直线1x，∵0a，∴1x时，y随x的增大而减小.故选D.【名师点睛】本题考查了二次函数的单调性．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小6．（2019·南通市启秀中学初三期中）关于下列说法：（1）反比例函数13ymx，在每个象限内y随x的增大而减小；（2）函数13yx，y随x的增大减小；（3）函数213yx，当0x时，y随x的增大而减小，其中正确的有A．0个B．1个C．2个D．3个7．（2019·福建初三期中）若二次函数2yaxbxc的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3–m，n）、D（2，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是A．231yyy＜＜B．132yyy＜＜C．321yyy＜＜D．123yyy＜＜考向四二次函数的平移1．抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．2．涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a（x–h）2+k的形式．3．抛物线的移动主要看顶点的移动，y=ax2的顶点是（0，0），y=a（x–h）2的顶点是（h，0），y=a（x–h）2+k的顶点是（h，k）．4．抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．典例7如果将抛物线y=–x2–2向右平移3个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是A．y=–x2–5B．y=–x2+1C．y=–（x–3）2–2D．y=–（x+3）2–2【答案】C【解析】y=–x2–2的顶点坐标为（0，–2），∵向右平移3个单位长度，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，–2），∴所得到的新抛物线的表达式是y=–（x–3）2–2．故选C．【名师点睛】牢记抛物线的平移口诀可轻松解决此类问题．典例8如图，如果把抛物线y=x2沿直线y=x向上方平移22个单位后，其顶点在直线y=x上的A处，那么平移后的抛物线解析式是A．y=（x+22）2+22B．y=（x+2）2+2C．y=（x–22）2+22D．y=（x–2）2+2【答案】D【解析】如图，过点A作AB⊥x轴于B，∵直线y=x与x轴夹角为45°，OA=22，∴OB=AB=22×22=2，∴点A的坐标为（2，2），∴平移后的抛物线解析式是y=（x–2）2+2．故选D．8．已知抛物线C：y=x2+2x–3，将抛物线C平移得到抛物线C′，如果两条抛物线，关于直线x=1对称，那么下列说法正确的是A．将抛物线C沿x轴向右平移52个单位得到抛物线C′B．将抛物线C沿x轴向右平移4个单位得到抛物线C′C．将抛物线C沿x轴向右平移72个单位得到抛物线C′D．将抛物线C沿x轴向右平移6个单位得到抛物线C′9．把抛物线y=12x2–1先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为A．y=12（x+1）2–3B．y=12（x–1）2–3C．y=12（x+1）2+1D．y=12（x–1）2+1考向五二次函数与一元二次方程、不等式的综合抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点个数及相应的一元二次方程根的情况都由Δ=b2–4ac决定.1．当Δ0，即抛物线与x轴有两个交点时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，这两个交点的横坐标即为一元二次方程的两个根．2．当Δ=0，即抛物线与x轴有一个交点（即顶点）时，方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，此时一元二次方程的根即为抛物线顶点的横坐标．3．当Δ0，即抛物线与x轴无交点时，方程ax2+bx+c=0无实数根，此时抛物线在x轴的上方（a0时）或在x轴的下方（a0时）．典例9二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则方程ax2+bx+c=0的一个解的范围是x6.176.186.19y–0.03–0.010.02A．–0.03x–0.01B．–0.01x0.02C．6.18x6.19D．6.17x6.18【答案】C【解析】由表格中的数据看出–0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围为：6.18x6.19，故选C．典例10如图是二次函数y=a（x+1）2+2图象