2020年中考数学考点一遍过 考点05 一元二次方程（含解析）

考点05一元二次方程一、一元二次方程的概念1．一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式20axbxc（其中,,abc为常数，0a），其中2,,axbxc分别叫做二次项、一次项和常数项，,ab分别称为二次项系数和一次项系数．注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意0a，因为当0a时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．二、一元二次方程的解法1．直接开平方法适合于2()()0xabb或22()()axbcxd形式的方程．2．配方法（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成2()()0xabb的形式；（5）运用直接开平方法解方程．3．公式法（1）把方程化为一般形式，即20axbxc；（2）确定,,abc的值；（3）求出24bac的值；（4）将,,abc的值代入242bbacxa即可．4．因式分解法基本思想是把方程化成()()0axbcxd的形式，可得0axb或0cxd．三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系1．根的判别式一元二次方程2(0)0axbxca是否有实数根，由24bac的符号来确定，我们把24bac叫做一元二次方程根的判别式．2．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240bac时，方程2(0)0axbxca有两个不相等的实数根；（2）当240bac时，方程2(0)0axbxca有1个（两个相等的）实数根；（3）当240bac时，方程2(0)0axbxca没有实数根．3．根与系数关系对于一元二次方程20axbxc（其中,,abc为常数，0a），设其两根分别为1x，2x，则12bxxa，12cxxa．四、利用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．1．增长率等量关系（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则()1namb；当m为平均下降率时，则有()1namb．2．利润等量关系（1）利润=售价－成本．（2）利润率=利润成本×100％．3．面积问题（1）类型1：如图1所示的矩形ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为()(22)axbx．（2）类型2：如图2所示的矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则空白部分的面积为()()axbx．（3）类型3：如图3所示的矩形ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和可转化为()()axbx．图1图2图3考向一一元二次方程的概念一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．典例1【江西省赣州市蓉江新区潭东中学2019–2020学年九年级上学期期中数学试题】方程2254xx的二次项系数、一次项系数、常数项分别为A．2，5，4B．2，5，4C．2，5，4D．2，5，4【答案】D【解析】2254xx可变形为：22540xx，∴二次项系数为：2，一次项系数为：5，常数项为：4，故选D．【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟记定义.1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是A．20axbxc（a是实数）B．2121xxxC．2130xxD．2210x考向二解一元二次方程一元二次方程的常见解法及适用情形：一般形式：2(00)axbxca直接开平方法形如2()(0)xmnn的方程，可直接开方求解，则1xmn，1xmn因式分解法可化为()()0axmxn的方程，用因式分解法求解，则1xm，1xn配方法若不易于使用分解因式法求解，可考虑配方为2()axhk，再直接开方求解公式法利用求根公式：224(40)2bbacxbaca典例2若2x是关于x的一元二次方程22302xaxa的一个根，则a的值为_______________．【答案】1或4【解析】因为2x是关于x的一元二次方程22302xaxa的一个根，所以2232202()()aa，即2340aa，整理得1)40()(aa，解得14a，21a．故a的值是1或4．典例3用配方法解方程2210xx时，配方结果正确的是A．2(2)2xB．2(1)2xC．2(2)3xD．2(1)3x【答案】B【解析】因为2210xx，所以2212xx，即2(1)2x．故选B．2．一元二次方程23830xx的解是_______________．3．方程()32)11(xxx的根是_______________．考向三一元二次方程根的判别式对于方程2(0)0axbxca，24bac，①若，方程有两个不相等的实数根；②若，方程有两个相等的实数根；③若，方程没有实数根．典例4【四川省成都市部分学校2019–2020学年九年级上学期期中数学试题】一元二次方程2710xx的根的情况是A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【答案】A【解析】对于方程2710xx，因为a=1，b=－7，c=－1，所以Δ=（–7）2–4×1×（–1）=530，所以方程有两个不相等的实数根.故选A.【名师点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，属于基本题型，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的个数的关系是关键.典例5有两个一元二次方程：①20axbxc，②20cxbxa，其中0ac，以下四个结论中，错误的是A．如果方程①有两个相等的实数根，那么方程②也有两个相等的实数根B．如果方程①和方程②有一个相同的实数根，那么这个根必定是1xC．如果4是方程①的一个根，那么14是方程②的一个根D．方程①的两个根的符号相异，方程②的两个根的符号也相异【答案】B【解析】选项A，214bac，224bac，12，所以A正确；选项B，因为将1分别代入方程，值相等，结合0ac，可知B不正确；选项C，因为1640abc，110164cba，即1640abc，故C正确；选项D，由根与系数关系可知D正确．故选B．4．下列方程中，没有实数根的是A．20xxB．220xxC．220xxD．220xx5．【安徽省芜湖市部分学校2019–2020学年九年级上学期期中数学试题】已知关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+k=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．考向四根与系数关系设一元二次方程20(0)axbxca的两根分别为1x，2x，则12bxxa，12cxxa．典例6若13是方程220xxc的一个根，则c的值为A．2B．432C．33D．13【答案】A【解析】由根与系数的关系可得另一个根为2(13)13，所以(13)(13)2c.故选A．典例7如果1x，2x是一元二次方程2650xx的两个实根，那么2212xx_______________．【答案】46【解析】由根与系数关系，可得126xx，125xx，则222121212()2365246xxxxxx．6．若方程2410xx-+=的两根是1x，2x，则122(1)xxx++的值为_______________．7．关于x的方程022nmxx的两个根是2和1，则mn的值为A．8B．8C．16D．16考向五一元二次方程在实际问题中的应用列一元二次方程解实际问题的关键是找出题中的等量关系，利用等量关系列出方程．其中分析实际问题是解决问题的前提和基础，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合实际问题．典例8【山东省滨州市博兴县2019–2020学年九年级上学期期中数学试题】某地区2018年投入教育经费5000万元，预计2020年投入7200万元，设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，由题意可列方程为_________．【答案】2500017200x【解析】由题意得2500017200x，故答案为2500017200x.【名师点睛】本题考查一元二次方程的应用，掌握增长率问题的方程形式是关键.典例9经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是_______________．【答案】203(512)x【解析】由题意可得203(512)x．8．某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是A．20%B．25%C．50%D．62.5%9．【湖北省孝感市云梦县2019–2020学年九年级上学期期中数学试题】如图是一张长12dm，宽6dm的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为xdm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒．（1）无盖方盒盒底的长为__________dm，宽为__________dm（用含x的式子表示）．（2）若要制作一个底面积是40dm2的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长x．1．关于x的一元二次方程（a2–1）2–3x+a2+3a–4=0的一个根为0，则a的值是A．4B．1C．4或1D．4或12．方程x2=x的根是A．1B．±1C．0和1D．03．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是A．k≥﹣2B．k≥﹣2且k≠﹣1C．k≥2D．k≤﹣24．用“配方法”解一元二次方程x2﹣16x+24=0，下列变形结果，正确的是A．（x﹣4）2=8B．（x﹣4）2=40C．（x﹣8）2=8D．（x﹣8）2=405．同学聚会，每两人都握手一次，共握手45次，设x人参加聚会，列方程为A．x（x–1）=45B．x（x–1）=452C．12x（x–1）=45D．x（x+1）=456．制造某种产品成本100元，计划经过两年成本降低为64元，则平均每年降低A．18%B．20%C．36%D．以上答案均错7．一个大正方形内放入两个同样大小的小正方形纸片，按如图1放置，两个小正方形纸片的重叠部分面积为4；按如图2放置（其中一小张正方形居大正方形的正中），大正方形中没有被小正方形覆盖的部分（阴影部分）的面积为44，则把两张小正方形按如图3放置时，两个小正方形重叠部分的面积为A．11B．12C．20D．248．已知,mn是方程x2+x﹣3=0的两个实数根，则22019mn的值是A．2023B．2021C．2020D．20199．若关于x的方程2(4)80xxxm的三个根恰好可以成为某直角三角形的三边长，则m的值为A．24B．15C．15或24D．无解10．关于x的一元二次方程280xxq有两个不相等的实数根，则q的取值范围是A．16qB．16qC．4qD．4q11．已知cba,,为常数，点),(caP在第二象限，则关于x的方程02cbxax根的情况是A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断12．关于x的一元二次方程22(2)10xaaxa的两个实数根互为相反数，则a的值为A．2B．0C．1D．2或013．如果2是方程230