2020年中考数学必考考点 专题33 最值问题（含解析）

专题33最值问题在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种：1.二次函数的最值公式二次函数yaxbxc2（a、b、c为常数且a0）其性质中有①若a0当xba2时，y有最小值。yacbamin442；②若a0当xba2时，y有最大值。yacbamax442。2.一次函数的增减性一次函数ykxbk()0的自变量x的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当mxn时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。3.判别式法根据题意构造一个关于未知数x的一元二次方程；再根据x是实数，推得0，进而求出y的取值范围，并由此得出y的最值。4.构造函数法“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。5.利用非负数的性质在实数范围内，显然有abkk22，当且仅当ab0时，等号成立，即abk22的最小值为k。6.零点区间讨论法用“零点区间讨论法”消去函数y中绝对值符号，然后求出y在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。7.利用不等式与判别式求解在不等式xa中，xa是最大值，在不等式xb中，xb是最小值。8.“夹逼法”求最值在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题1】（经典题）二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为．【答案】﹣4．【解析】题中所给的解析式为顶点式，可直接得到顶点坐标，从而得出解答．二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的开口向上，顶点坐标为（3，﹣4），所以最小值为﹣4．【例题2】（2018江西）如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是．【答案】．【解析】根据中位线定理得到MN的最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．如图，∵点M，N分别是AB，AC的中点，∴MN=BC，∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，∵BC′是⊙O的直径，∴∠BAC′=90°．∵∠ACB=45°，AB=5，∴∠AC′B=45°，∴BC′===5，∴MN最大=．【例题3】（2019湖南张家界）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过点A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求P点坐标及最大面积的值；（4）若点Q为线段OC上的一动点，问AQ＋12QC是否存在最小值?若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．【思路分析】（1）将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式即可求出a、b、c的值（当然用两根式做更方便）；（2）先证四边形AMBD为矩形，再证该矩形有一组邻边相等，即可证明该四边形为正方形；（3）如答图2，过点P作PF⊥AB于点F，交BC于点E，令P(m，m2－4m＋3)，易知直线BC的解析式为y＝－x＋3，则E(m，－m＋3)，PE＝(－m＋3)－(m2－4m＋3)＝－m2＋3m．再由S△PBC＝S△PBE＋S△CPE，转化为12PE•OB＝12×3×(－m2＋3m)，最后将二次函数化为顶点式即可锁定S△PBC的最大值与点P坐标；（4）解决本问按两步走：一找（如答图3，设OQ＝t，则CQ＝3－t，AQ＋12QC＝211(3)2tt，取CQ的中点G，以点Q为圆心，QG的长为半径作⊙Q，则当⊙Q过点A时，AQ＋12QC＝⊙Q的直径最小）、二求（由AQ＝12QC，解关于t的方程即可）．【解题过程】（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过点A(1，0)，B(3，0)两点，-2-1-1321321yxOMDCBA∴令抛物线解析为y＝a(x－1)(x－3)．∵该抛物线过点C(0，3)，∴3＝a×(0－1)×(0－3)，解得a＝1．∴抛物线的解析式为y＝(x－1)(x－3)，即y＝x2－4x＋3．∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴抛物线的顶点D的坐标为(2，－1)．综上，所求抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3，顶点坐标为(2，－1)．（2）如答图1，连接AD、BD，易知DA＝DB．∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴∠MBA＝45°．∵D(2，－1)，A(3，0)，∴∠DBA＝45°．∴∠DBM＝90°．同理，∠DAM＝90°．又∵AM⊥BC，∴四边形ADBM为矩形．又∵DA＝DB，∴四边形ADBM为正方形．（3）如答图2，过点P作PF⊥AB于点F，交BC于点E，令P(m，m2－4m＋3)，易知直线BC的解析式为y＝－x＋3，则E(m，－m＋3)，PE＝(－m＋3)－(m2－4m＋3)＝－m2＋3m．-2-1-1321321yxOMDCBA∵S△PBC＝S△PBE＋S△CPE＝12PE•BF＋12PE•OF＝12PE•OB＝12×3×(－m2＋3m)＝－32(m－32)2＋278，∴当m＝32时，S△PBC有最大值为278，此时P点的坐标为(32，－34)．（4）如答图3，设OQ＝t，则CQ＝3－t，AQ＋12QC＝211(3)2tt，取CQ的中点G，以点Q为圆心，QG的长为半径作⊙Q，则当⊙Q过点A时，AQ＋12QC＝⊙Q的直径最小，此时，√𝑡2+1=12(3−𝑡)，解得t＝2√63－1，于是AQ＋12QC的最小值为3－t＝3－(2√63－1)＝4－2√63．1.（2018河南）要使代数式√2−3𝑡有意义，则x的（）A.最大值为23B.最小值为23C.最大值为32D.最大值为32【答案】A.【解析】要使代数式√2−3𝑡有意义，必须使2-3x≥0，即x≤23，所以x的最大值为23。2.（2018四川绵阳）不等边三角形ABC的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。【答案】5【解析】设a、b、c三边上高分别为4、12、hGQ-2-1-1321321yxODCBAFEP-2-1-1321321yxOMDCBA专题典型训练题因为2412SabchABC，所以ab3又因为cabb4，代入12bch得124bbh，所以h3又因为cabb2，代入12bch得122bbh，所以h6所以3h6，故整数h的最大值为5。3.（2018齐齐哈尔）设a、b为实数，那么aabbab222的最小值为_______。【答案】-1【解析】aabbab222ababbabbbabb22222212123432141234111()()()()当ab120，b10，即ab01，时，上式等号成立。故所求的最小值为－1。4.（2018云南）如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为．【答案】2．【解析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知=，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股定理即可求解．过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，连接OB，OA′，AA′，∵AA′关于直线MN对称，∴=，∵∠AMN=40°，∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，∴∠A′OB=120°，过O作OQ⊥A′B于Q，在Rt△A′OQ中，OA′=2，∴A′B=2A′Q=2，即PA+PB的最小值2．5.（2018海南）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天(x为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天)的利润为y(元)，求y与x(1≤x＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？时间(天)1≤x＜99≤x＜15x≥15售价(元/斤)第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤)80－3x120－x储存和损耗费用(元)40＋3x3x2－64x＋400（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？【答案】看解析。【解析】（1）设该种水果每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为10(1－x)，第二次降价后的价格为10(1－x)2，进而可得方程；（2）分两种情况考虑，先利用“利润＝(售价－进价)×销量－储存和损耗费用”，再分别求利润的最大值，比较大小确定结论；（3）设第15天在第14天的价格基础上降a元，利用不等关系“（2）中最大利润－[(8.1－a－4.1)×销量－储存和损耗费用]≤127.5”求解．解答：（1）设该种水果每次降价的百分率为x，依题意得：10(1－x)2＝8.1．解方程得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)答：该种水果每次降价的百分率为10%．（2）第一次降价后的销售价格为：10×(1－10%)＝9(元/斤)，当1≤x＜9时，y＝(9－4.1)(80－3x)－(40＋3x)＝－17.7x＋352；当9≤x＜15时，y＝(8.1－4.1)(120－x)－(3x2－64x＋400)＝－3x2＋60x＋80，综上，y与x的函数关系式为：y＝－17.7x＋352(1≤x＜9，x为整数)，－3x2＋60x＋80(9≤x＜15，x为整数)．当1≤x＜9时，y＝－17.7x＋352，∴当x＝1时，y最大＝334.3(元)；当9≤x＜15时，y＝－3x2＋60x＋80＝－3(x－10)2＋380，∴当x＝10时，y最大＝380(元)；∵334.3＜380，∴在第10天时销售利润最大．（3）设第15天在第14天的价格上最多可降a元，依题意得：380－[(8.1－a－4.1)(120－15)－(3×152－64×15＋400)]≤127.5，解得：a≤0.5，则第15天在第14天的价格上最多可降0.5元．6.（2018湖北荆州）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），售价每只为P（元），且R、P与x的关系式分别为Rx50030，Px1702。（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？【答案】看解析。【解析】（1）根据题意得：()()1702500301750xxx整理得xx27011250解得x125，x245（不合题意，舍去）（2）由题意知，利润为PxRxxx2140500235195022()所以当x35时，最大利润为1950元。7.（2018吉林）某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？【答案】看解析。【解析】设招聘甲种工种的工人为x人，则乙种工种的工人为()150x人，由题意得：1502xx所以050x设所招聘的工人共需付月工资y元，则有：yxxx6001000150400150000()（050x）因为y随x的增大而减小所以当x50时，ymin130000（元）8.（经典题）求xxxx2211的最大值与最小值。【答