专题14函数的综合问题1.一次函数与二次函数的综合。2.一次函数与反比例函数的综合。3.二次函数与反比例函数的综合。4.一次函数、二次函数和反比例函数的综合。【例题1】(2019黑龙江绥化)一次函数y1=-x+6与反比例函数y2=8x(x0)的图象如图所示.当y1y2时,自变量x的取值范围是______.第18题图【答案】2x4【解析】令-x+6=8x,解得x1=2,x2=4,∴根据图象可得,当y1y2时,自变量x的取值范围是2x4.【例题2】(2019吉林长春)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2ax+83(a>0)与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于点M,P为抛物线的顶点,若直线OP交直线AM于点B,且M为线段AB的中点,则ɑ的值为专题知识回顾专题典型题考法及解析【答案】2.【解析】本题主要考查二次函数的综合运用,首先根据二次函数的解析式可得出点A和点M的坐标,然后将二次函数的解析式配方写出y=a(x-1)2+83-a的形式,得出点P的坐标,进而得出OP的方程,进而得出点B的坐标,最后根据M为线段AB的中点,可得883a=4,进而得出答案.令x=0,可得y=83,∴点A的坐标为(0,83),∴点M的坐标为(2,83).∵y=ax2-2ax+83=a(x-1)2+83-a,∴抛物线的顶点P的坐标为(1,83-a),∴直线OP的方程为y=(83-a)x,令y=83,可得x=883a,∴点B的坐标为(883a,83).∵M为线段AB的中点,∴883a=4,解得a=2。【例题3】(2019广西省贵港市)如图,菱形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(1,0),点(4,4)D在反比例函数(0)kyxx的图象上,直线23yxb经过点C,与y轴交于点E,连接AC,AE.(1)求k,b的值;(2)求ACE的面积.【答案】将解析。【解析】由菱形的性质可知(6,0)B,(9,4)C,点(4,4)D代入反比例函数kyx,求出k;将点(9,4)C代入23yxb,求出b;求出直线223yx与x轴和y轴的交点,即可求AEC的面积;(1)由已知可得5AD,菱形ABCD,(6,0)B,(9,4)C,点(4,4)D在反比例函数(0)kyxx的图象上,16k,将点(9,4)C代入23yxb,2b;(2)(0,2)E,直线223yx与x轴交点为(3,0),12(24)62AECS1.(2019广东深圳)已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则函数y=ax+b与y=cx的图象为()【答案】C【解析】二次函数的图象与系数的关系;一次函数的图象与系数的关系;反比例函数的图象与系数的关系;符号判断。先根据二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象确定a,b,c的正负,则判断一次函数与反比例函数的图象所在的象限.由二次函数的图象可知,a0,b0,c0.当a0,b0,c0时,一次函数y=ax+b经过第一、二、四象限;反比例函数y=cx位于第二、四象限,选项C符合.故选C.专题典型训练题2.(2019四川省雅安市)已知函数22(0)(0)xxxyxx的图像如图所示,若直线y=x+m与该图像恰有三个不同的交点,则m的取值范围为___________.【答案】0m14【解析】观察图像可知,当直线y=x+m经过原点时与函数22(0)(0)xxxyxx的图像有两个不同的交点,再向上平移,有三个交点,当向上平移到直线y=x+m与22yxx的图像有一个交点时,此直线y=x+m与函数22(0)(0)xxxyxx的图像有两个不同的交点,不符合题意,从而求出m的取值范围.由y=x+m与22yxx得22xmxx,整理得20xxm,当有两个交点224(1)40bacm,解得m14,当直线y=x+m经过原点时与函数22(0)(0)xxxyxx的图像有两个不同的交点,再向上平移,有三个交点,∴m0,∴m的取值范围为0m14,故答案为0m14.3.(2019湖北仙桃)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(12,0),B(8,6),C(0,6).动点P从点O出发,以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动;动点Q从点B同时出发,以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动.设运动的时间为t秒,PQ2=y.(1)直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围:;(2)当PQ=3√5时,求t的值;(3)连接OB交PQ于点D,若双曲线y=𝑘𝑘(k≠0)经过点D,问k的值是否变化?若不变化,请求出k的值;若变化,请说明理由.xy00O【答案】见解析。【解析】(1)过点P作PE⊥BC于点E,如图1所示.当运动时间为t秒时(0≤t≤4)时,点P的坐标为(3t,0),点Q的坐标为(8﹣2t,6),∴PE=6,EQ=|8﹣2t﹣3t|=|8﹣5t|,∴PQ2=PE2+EQ2=62+|8﹣5t|2=25t2﹣80t+100,∴y=25t2﹣80t+100(0≤t≤4).故答案为:y=25t2﹣80t+100(0≤t≤4).(2)当PQ=3√5时,25t2﹣80t+100=(3√5)2,整理,得:5t2﹣16t+11=0,解得:t1=1,t2=115.(3)经过点D的双曲线y=𝑘𝑘(k≠0)的k值不变.连接OB,交PQ于点D,过点D作DF⊥OA于点F,如图2所示.∵OC=6,BC=8,∴OB=√𝑘𝑘2+𝑘𝑘2=10.∵BQ∥OP,∴△BDQ∽△ODP,∴𝑘𝑘𝑘𝑘=𝑘𝑘𝑘𝑘=2𝑘3𝑘=23,∴OD=6.∵CB∥OA,∴∠DOF=∠OBC.在Rt△OBC中,sin∠OBC=𝑘𝑘𝑘𝑘=610=34,cos∠OBC=𝑘𝑘𝑘𝑘=810=45,∴OF=OD•cos∠OBC=6×45=245,DF=OD•sin∠OBC=6×35=185,∴点D的坐标为(245,185),∴经过点D的双曲线y=𝑘𝑘(k≠0)的k值为245×185=43225.4.(2019湖南湘西)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=𝑘𝑘的图象在第一象限交于点A(3,2),与y轴的负半轴交于点B,且OB=4.(1)求函数y=𝑘𝑘和y=kx+b的解析式;(2)结合图象直接写出不等式组0<𝑘𝑘<kx+b的解集.【答案】见解析。【解析】(1)把点A(3,2)代入反比例函数y=𝑘𝑘,可得m=3×2=6,∴反比例函数解析式为y=6𝑘,∵OB=4,∴B(0,﹣4),把点A(3,2),B(0,﹣4)代入一次函数y=kx+b,可得{3𝑘+𝑘=2𝑘=−4,解得{𝑘=2𝑘=−4,∴一次函数解析式为y=2x﹣4;(2)不等式组0<𝑘𝑘<kx+b的解集为:x>3.5.(2019山东东营)如图,在平面直角坐标系中,直线y=mx与双曲线y=nx相交于A(-2,a)、B两点,BC⊥x轴,垂足为C,△AOC的面积是2.(1)求m、n的值;(2)求直线AC的解析式.【答案】见解析。【解析】根据反比例函数的对称性可得点A与点B关于原点中心对称,则B(2,a),由于BC⊥x轴,所以C(2,0),先利用三角形面积公式得到12×2×a=2,解得a=2,则可确定A(﹣2,2),然后把A点坐标代入y=mxy=mx和y=中即可求出m,n;根据待定系数法即可得到直线AC的解析式.(1)∵直线y=mx与双曲线y=相交于A(﹣2,a)、B两点,∴点A与点B关于原点中心对称,∴B(2,﹣a),∴C(2,0);∵S△AOC=2,∴12×2×a=2,解得a=2,∴A(﹣2,2),把A(﹣2,2)代入y=mx和y=得﹣2m=2,2=,解得m=﹣1,n=﹣4;(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,∵直线AC经过A、C,∴,解得∴直线AC的解析式为y=﹣12x+1.6.(2019湖北咸宁)某工厂用50天时间生产一款新型节能产品,每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购,在生产过程中,由于技术的不断更新,该产品第x天的生产成本y(元/件)与x(天)之间的关系如图所示,第x天该产品的生产量z(件)与x(天)满足关系式z=﹣2x+120.(1)第40天,该厂生产该产品的利润是元;(2)设第x天该厂生产该产品的利润为w元.①求w与x之间的函数关系式,并指出第几天的利润最大,最大利润是多少?②在生产该产品的过程中,当天利润不低于2400元的共有多少天?【答案】见解析。【解析】由图象可知,第40天时的成本为40元,此时的产量为z=﹣2×40+120=40,则可求得第40天的利润.利用每件利润×总销量=总利润,进而求出二次函数最值即可.(1)由图象可知,第40天时的成本为40元,此时的产量为z=﹣2×40+120=40则第40天的利润为:(80﹣40)×40=1600元故答案为1600(2)①设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),把(0,70)(30,40)代入得{𝑘=7030𝑘+𝑘=40,解得{𝑘=70𝑘=−1∴直线AB的解析式为y=﹣x+70(Ⅰ)当0<x≤30时w=[80﹣(﹣x+70)](﹣2x+120)=﹣2x2+100x+1200=﹣2(x﹣25)2+2450∴当x=25时,w最大值=2450(Ⅱ)当30<x≤50时,w=(80﹣40)×(﹣2x+120)=﹣80x+4800∵w随x的增大而减小∴当x=31时,w最大值=2320∴𝑘={−2𝑘2+100𝑘+1200,(0<𝑘≤30)−80𝑘+4800,(30<𝑘≤50)第25天的利润最大,最大利润为2450元②(Ⅰ)当0<x≤30时,令﹣2(x﹣25)2+2450=2400元解得x1=20,x2=30∵抛物线w=﹣2(x﹣25)2+2450开口向下由其图象可知,当20≤x≤30时,w≥2400此时,当天利润不低于2400元的天数为:30﹣20+1=11天(Ⅱ)当30<x≤50时,由①可知当天利润均低于2400元综上所述,当天利润不低于2400元的共有11天.7.(2019贵州省毕节市)已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(﹣3,0),与y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上的动点.(1)抛物线的解析式为,抛物线的顶点坐标为;(2)如图1,连接OP交BC于点D,当S△CPD:S△BPD=1:2时,请求出点D的坐标;(3)如图2,点E的坐标为(0,﹣1),点G为x轴负半轴上的一点,∠OGE=15°,连接PE,若∠PEG=2∠OGE,请求出点P的坐标;(4)如图3,是否存在点P,使四边形BOCP的面积为8?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】见解析。【解析】函数的表达式为:y=a(x﹣1)(x+3)=a(x2+2x﹣3),即可求解;S△CPD:S△BPD=1:2,则BD=23BC=23×32=22,即可求解;∠OGE=15°,∠PEG=2∠OGE=30°,则∠OHE=45°,故OH=OE=1,即可求解;利用S四边形BOCP=S△OBC+S△PBC=8,即可求解.(1)函数的表达式为:y=a(x﹣1)(x+3)=a(x2+2x﹣3),即:﹣3a=3,解得:a=﹣1,故抛物线的表达式为:y=﹣x2﹣2x+3…①,顶点坐标为(﹣1,4);(2)∵OB=OC,∴∠CBO=45°,∵S△CPD:S△BPD=1:2,∴BD=23BC=23×32=22,yD=BDsin∠CBO=2,则点D(﹣1,2);(3)如图2,设直线PE交x轴于点H,∵∠OGE=15°,∠PEG=2∠OGE=30°,∴∠OHE=45°,∴OH=OE=1,则直线HE的表达式为:y=﹣x﹣1…②,联立①②并解得:x=1172(舍去正值),故点P(1172,1172);(4)不存在,理由:连接BC,过点P作y轴的平行线交BC于点H,直线BC的表达式为:y