2020年中考数学必考考点 专题12 二次函数（含解析）

专题12二次函数1．二次函数的概念：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。抛物线)0,,(2acbacbxaxy是常数，叫做二次函数的一般式。2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与性质（1）对称轴：2bxa（2）顶点坐标：24(,)24bacbaa（3）与y轴交点坐标（0，c）（4）增减性：当a0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小。3.二次函数的解析式三种形式。（1）一般式y=ax2+bx+c(a≠0).已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式2()yaxhk224()24bacbyaxaa已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。（3）交点式12()()yaxxxx专题知识回顾已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式。4．根据图像判断a,b,c的符号（1）a确定开口方向：当a0时，抛物线的开口向上；当a0时，抛物线的开口向下。（2）b——对称轴与a左同右异。（3）抛物线与y轴交点坐标（0，c）5．二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根。抛物线y=ax2+bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=024bac0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；24bac=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；24bac0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点。6．函数平移规律：左加右减、上加下减.图像平移步骤（1）配方为：2()yaxhk，确定顶点（h,k）（2）对x轴，左加右减；对y轴，上加下减。7.二次函数的对称性二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x1,x2其对应的纵坐标相等，那么对称轴122xxx【例题1】（2019湖北荆州）二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的最大值是．【答案】7【解析】y＝﹣2x2﹣4x+5＝﹣2（x+1）2+7，即二次函数y＝﹣x2﹣4x+5的最大值是7，故答案为：7．【例题2】（2019广西贺州）已知抛物线2(0)yaxbxca的对称轴是直线1x，其部分图象如图所示，下列说法中：①0abc；②0abc；③30ac；④当13x时，0y，正确的是（填写序号）．专题典型题考法及解析【答案】①③④【解析】根据图象可得：0a，0c，对称轴：12bxa，2ba，0a，0b，0abc，故①正确；把1x代入函数关系式2yaxbxc中得：yabc，由抛物线的对称轴是直线1x，且过点(3,0)，可得当1x时，0y，0abc，故②错误；2ba，(2)0aac，即：30ac，故③正确；由图形可以直接看出④正确．故答案为：①③④．【例题3】（2019贵州省毕节市）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：x（元）152030…y（袋）252010…若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：（1）日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元【答案】见解析。【解析】根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式即可；利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为y＝kx+b得25152020kbkb，解得140kb故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝﹣x+40（2）依题意，设利润为w元，得w＝（x﹣10）（﹣x+40）＝﹣x2+50x+400整理得w＝﹣（x﹣25）2+225∵﹣1＜0∴当x＝2时，w取得最大值，最大值为225故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．一、选择题1.（2019广西河池）如图，抛物线2yaxbxc的对称轴为直线1x，则下列结论中，错误的是()A．0acB．240bacC．20abD．0abc【答案】C．【解析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．A.由抛物线的开口向下知0a，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可得0c，因此0ac，故本选项正确，专题典型训练题不符合题意；B.由抛物线与x轴有两个交点，可得240bac，故本选项正确，不符合题意；C.由对称轴为12bxa，得2ab，即20ab，故本选项错误，符合题意；D.由对称轴为1x及抛物线过(3,0)，可得抛物线与x轴的另外一个交点是(1,0)，所以0abc，故本选项正确，不符合题意．故选：C．2.（2019哈尔滨）将抛物线22xy向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线为（）A．3)2(22xyB．3)2(22xyC．3)2(22xyD．3)2(22xy【答案】B【解析】将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2+3，故选B．3.（2019湖北咸宁）已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（）A．y＝xB．y=−2𝑥C．y＝x2D．y＝﹣x2【答案】D【解析】∵A（﹣1，m），B（1，m），∴点A与点B关于y轴对称；由于y＝x，y=−2𝑥的图象关于原点对称，因此选项A、B错误；∵n＞0，∴m﹣n＜m；由B（1，m），C（2，m﹣n）可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，对于二次函数只有a＜0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∴D选项正确。4.（2019年陕西省）已知抛物线2(1)yxmxm，当1x时，0y，且当2x时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（）．A．1mB．3mC．13mD．34m【答案】C【解析】根据“当1x时，0y”，得到一个关于m不等式，在根据抛物线2(1)yxmxm，可知抛物线开口向上，再在根据“当2x时，y的值随x值的增大而减小”，可知抛物线的对称轴在直线2x的右侧或者是直线2x，从而列出第二个关于m的不等式，两个不等式联立，即可解得答案．因为抛物线2(1)yxmxm，所以抛物线开口向上．因为当1x时，0y，所以21(1)10mm①，因为当2x时，y的值随x值的增大而减小，所以可知抛物线的对称轴在直线2x的右侧或者是直线2x，所以1221m②，联立不等式①，②，解得13m．5.（2019广西梧州）已知0m，关于x的一元二次方程(1)(2)0xxm的解为1x，212()xxx，则下列结论正确的是()A．1212xxB．1212xxC．1212xxD．1212xx【答案】A【解析】关于x的一元二次方程(1)(2)0xxm的解为1x，2x，可以看作二次函数(1)(2)mxx与x轴交点的横坐标，二次函数(1)(2)mxx与x轴交点坐标为(1,0)，(2,0)，如图：当0m时，就是抛物线位于x轴上方的部分，此时1x，或2x；又12xx11x，22x；1212xx，故选：A．6.（2019四川泸州）已知二次函数y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（）A．a＜2B．a＞﹣1C．﹣1＜a≤2D．﹣1≤a＜2【答案】D【解析】y＝（x﹣a﹣1）（x﹣a+1）﹣3a+7＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6，∵抛物线与x轴没有公共点，∴△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得a＜2，∵抛物线的对称轴为直线x=−−2𝑥2=a，抛物线开口向上，而当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，∴a≥﹣1，∴实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．7.（2019四川省雅安市）在平面直角坐标系中，对于二次函数y=(x-2)2+1，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1B．图像顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x=2C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D．它的图像可以由y=x2的图像向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到【答案】C【解析】根据二次函数的性质进行判断，由二次函数y=(x-2)2+1，得它的顶点是（2，1），对称轴为直线x=2，当x=2时，函数的最小值是1，图像开口向上，当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小，可由y=x2的图像向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，所以C是错误的，故选C．二、填空题8.（2019黑龙江哈尔滨）二次函数8)6(2xy的最大值是．【答案】8【解析】∵a＝﹣1＜0，∴y有最大值，当x＝6时，y有最大值8．故答案为8．9.(2019黑龙江大庆)如图抛物线y＝214xp(p0),点F(0,p),直线l:y＝－p,已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,AA1⊥l,BB1⊥l,垂足分别为A1,B1,连接A1F,B1F,A1O,B1O,若A1F＝a,B1F＝b,则△A1OB1的面积＝______(只用a,b表示).【答案】4ab【解析】先由边相等得到∠A1FB1＝90°,进而得到A1B1的长度,由等面积法得到点F到A1B1的距离,进而得到△A1OB1的高,求出三角形面积.设∠A＝x,则∠B＝180°－x,由题可知,AA1＝AF,BB1＝BF,所以∠AFA1＝1802x,∠BFB1＝2x,所以∠A1FB1＝90°,所以△A1FB1是直角三角形,A1B1＝22ab,所以点F到A1B1的距离为22abab,因为点F(0,p),直线l:y＝－p,△A1OB1的高为222abab,所以△A1OB1的面积＝12·22ab·222abab＝4ab10.（2019江苏镇江）已知抛物线y＝ax2＋4ax＋4a＋1（a≠0）过点A(m，3)，B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2＋a＋1的最小值是．【答案】74．【解析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据线段AB的长不大于4，求出a的取值范围，再利用二次函数的增减性求代数式a2＋a＋1的最小值．∵y＝ax2＋4ax＋4a＋1＝a(x＋2)2＋1，∴该抛物线的顶点坐标为(－2，1)，对称轴为直线x＝－2．∵抛物线过点A(m，3)，B(n，3)两点，∴当y＝3时，a(x＋2)2＋1＝3，(x＋2)2＝2a，当a＞0时，x＝－2±2a．∴A(－2－2a，3)，B(－2＋2a，3)．∴AB＝22a．∵线段AB的长不大于4，∴22a≤4．∴a≥12．∵a2＋a＋1＝(a＋12)2＋34，∴当a＝12，(a2＋a＋1)min＝(a＋12)2＋34＝74．11.（2019江苏镇江）已知抛物线2441(0)yaxaxaa过点(,3)Am，(,3)Bn两点，若线段AB的长不大于4，则代数式21aa的