2020年中考数学必考考点 专题9 一元二次方程及其应用（含解析）

专题09一元二次方程及其应用1．定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。3.一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。4.一元二次方程的解法有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。（1）直接开方法。适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。（2）配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上b2，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。（3）公式法。当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：aacbbx242的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。aacbbx2421，aacbbx2422②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。abxx221专题知识回顾③b2-4ac＜0时，方程无实数根。定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。（4）因式分解法。因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。5.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02acbxax的两个实数根是21xx，，那么abxx21，acxx21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。6.解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。第6步：答。【例题1】(2019安徽)解方程：（x﹣1）2＝4．【答案】x1＝3，x2＝﹣1．【解析】此题主要考查了直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．两边直接开平方得：x﹣1＝±2，∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，解得：x1＝3，x2＝﹣1．专题典型题考法及解析【例题2】(2019山西）一元二次方程0142xx配方后可化为（）A.3)2(2xB.5)2(2xC.3)2(2xD.5)2(2x【答案】D【解析】222410,(44)410,(2)5xxxxx，故选D。【例题3】（2019年山东省威海市）一元二次方程3x2＝4﹣2x的解是．【答案】x1＝，x2＝．【解析】直接利用公式法解方程得出答案．3x2＝4﹣2x3x2+2x﹣4＝0，则b2﹣4ac＝4﹣4×3×（﹣4）＝52＞0，故x＝，解得：x1＝，x2＝．【例题4】（2019年江苏省扬州市）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是．【答案】1或2．【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．x（x﹣2）＝x﹣2，x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0，x﹣1＝0，x1＝2，x2＝1【例题5】（2019北京市）关于x的方程22210xxm有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．【答案】m=1，此方程的根为121xx【解析】先由原一元二次方程有实数根得判别式240bac进而求出m的范围；结合m的值为正整数，求出m的值，进而得到一元二次方程求解即可.∵关于x的方程22210xxm有实数根，∴22424121484880bacmmm∴1m又∵m为正整数，∴m=1，此时方程为2210xx解得根为121xx，∴m=1，此方程的根为121xx【例题6】（2019四川泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是．【答案】16【解析】考查一元二次方程根与系数的关系∵x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣4，∴（x1+4）（x2+4）＝x1x2+4x1+4x2+16＝x1x2+4（x1+x2）+16＝﹣4+4×1+16＝﹣4+4+16＝16【例题7】(2019安徽)据国家统计局数据，2018年全年国内生产总值为90.3万亿，比2017年增长6.6%．假设国内生产总值的年增长率保持不变，则国内生产总值首次突破100万亿的年份是（）A．2019年B．2020年C．2021年D．2022年【答案】B．【解析】根据题意分别求出2019年全年国内生产总值、2020年全年国内生产总值，得到答案．2019年全年国内生产总值为：90.3×（1+6.6%）＝96.2598（万亿），2020年全年国内生产总值为：96.2598×（1+6.6%）≈102.6（万亿），∴国内生产总值首次突破100万亿的年份是2020年。一、选择题1.(2019甘肃省兰州市)x＝1是关于的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝（）专题典型训练题A.－2B.－3C.4D.－6【答案】A．【解析】将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，得a+2b＝－1，2a+4b＝2（a+2b）＝2×（－1）＝－2.2.（2019•湖南怀化）一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝﹣1B．x1＝x2＝1C．x1＝x2＝﹣1D．x1＝﹣1，x2＝2【答案】C．【解析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．利用完全平方公式变形，从而得出方程的解．∵x2+2x+1＝0，∴（x+1）2＝0，则x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1，3.（2019•浙江金华）用配方法解方程x2-6x-8=0时，配方结果正确的是（）A.(x-3)2=17B.(x-3)2=14C.（x-6)2=44D.(x-3）2=1【答案】A【解析】配方法解一元二次方程∵x2-6x-8=0，∴x2-6x+9=8+9，∴（x-3）2=17.4.（2019湖北咸宁）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1B．m≤1C．m＞1D．m≥1【答案】【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0，解得：m≤1．5.(2019内蒙古包头市)已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根，则m的值是（）A.34B.30C.30或34D.30或36【答案】A.【解析】分两种情况讨论：①若4为等腰三角形底边长，则a，b是两腰，∴方程x2-12x+m+2=0有两个相等实根，∴△=(-12)2-4×1×(m+2)=136-4m=0,∴m=34.此时方程为x2-12x+36=0，解得x1=x2=6.∴三边为6，6，4，满足三边关系，符合题意.②若4为等腰三角形腰长，则a，b中有一条边也为4，∴方程x2-12x+m+2=0有一根为4.∴42-12×4+m+2=0，解得，m=30.此时方程为x2-12x+32=0，解得x1=4，x2=8.∴三边为4，4，8，不满足三边关系，故舍去.综上，m的值为34.6.（2019•山东省聊城市）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（）A．k≥0B．k≥0且k≠2C．k≥D．k≥且k≠2【答案】D．【解析】考点是一元二次方程的定义以及根的判别式。根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0，∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，∴，解得：k≥且k≠2．7.（2019湖北仙桃）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（）A．12B．10C．4D．﹣4【答案】A【解析】∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝128.（2019•江苏泰州）方程2x2+6x﹣1＝0的两根为x1、x2则x1+x2等于（）A．﹣6B．6C．﹣3D．3【答案】C．【解析】根据根与系数的关系即可求出答案．由于△＞0，∴x1+x2＝﹣3，9.（2019山东淄博）若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣3x+2＝0B．x2+3x﹣2＝0C．x2+3x+2＝0D．x2﹣3x﹣2＝0【答案】A．【解析】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．利用完全平方公式计算出x1x2＝2，然后根据根与系数的关系写出以x1，x2为根的一元二次方程．∵x12+x22＝5，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，而x1+x2＝3，∴9﹣2x1x2＝5，∴x1x2＝2，∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2﹣3x+2＝0．10.（2019•广东）已知x1.x2是一元二次方程了x2﹣2x=0的两个实数根，下列结论错误的是（）A．x1≠x2B．x12﹣2x1=0C．x1+x2=2D．x1·x2=2【答案】D【解析】因式分解x（x-2）=0，解得两个根分别为0和2，代入选项排除法.11.（2019•广西贵港）若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且+＝﹣，则m等于（）A．﹣2B．﹣3C．2D．3【答案】B．【解析】利用一元二次方程根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝m，再化简+＝，代入可求解；α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，∴α+β＝2，αβ＝m，∵+＝＝＝﹣，∴m＝﹣312．（2019•浙江宁波）能说明命题“关于x的方程x2﹣4x+m＝0一定有实数根”是假命题的反例为（）A．m＝﹣1B．m＝0C．m＝4D．m＝5【答案】D．【解析】利用m＝5使方程x2﹣4x+m＝0没有实数解，从而可把m＝5作为说明命题“关于x的方程x2﹣4x+m＝0一定有实数根”是假命题的反例．当m＝5时，方程变形为x2﹣4x+m＝5＝0，因为△＝（﹣4）2﹣4×5＜0，所以方程没有实数解，所以m＝5可作为说明命题“关于x的方程x2﹣4x+m＝0一定有实数根”是假命题的反例．13.（2019▪黑龙江哈尔滨）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（）A．20%B．40%C．18%D．36%【答案】A．【解析】本题考查了一元二次方程实际应用问题关于增长率的类型问题，按照公式a（1﹣x）2＝b对照参数位置代入值即可，公式的记忆与运用是本题的解题关键．设降价的百分率为x根据题意可