广义积分的收敛判别法-广义积分收敛判别法

第二节广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算,在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值.对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件—积分收敛，否则其结果毫无意义。因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．定理9.1（Cauchy收敛原理）f(x)在[a,+∞）上的广义积分adxxf)(收敛的充分必要条件是：0,存在A0,使得b,bA时，恒有|)(|/bbdxxf证明：对blim0)(bdxxf使用柯西收敛原理立即得此结论．同样对瑕积分badxxf)((b为瑕点),我们有定理9.2（瑕积分的Cauchy收敛原理）设函数f(x)在[a,b)上有定义，在其任何闭子区间[a,b–]上常义可积，则瑕积分badxxf)(收敛的充要条件是:0,0,只要0/，就有|)(|/bbdxxf定义9.5如果广义积分adxxf|)(|收敛，我们称广义积分adxxf)(绝对收敛（也称f(x)在[a,+)上绝对可积];如adxxf)(收敛而非绝对收敛，则称adxxf)(条件收敛，也称f(x)在[a,+)上条件可积．由于aAA/,，均有|)(|/AAdxxf/|)(|AAdxxf因此，由Cauchy收敛原理，我们得到下列定理．定理9.3如果广义积分adxxf)(绝对收敛，则广义积分adxxf)(必收敛．它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法．比较判别法：定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a,+)上恒有),()(0xkxf（k为正常数）则当adxx)(收敛时,adxxf)(也收敛;当adxxf)(发散时,adxx)(也发散．证明：由Cauchy收敛原理马上得结论成立．对瑕积分有类似的结论判别法定理9.5设f(x),g(x)均为[a,b)上的非负函数，b为两个函数的奇点，如存在一个正常数k,使xxkgxf),()(0[a,b),则1）如badxxg)(收敛，则badxaf)(也收敛。2）如badxxf)(发散，则badxxg)(也发散．比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式．定理9.6如果f(x),g(x)是[a,+)上的非负函数,且,)()(limlxgxfx则(1)如果l0,且adxxg)(收敛,则积分adxxf)(也收敛．(2)如果l0,且adxxg)(发散，则积分adxxf)(也发散．证明：如果,0)()(limlxgxfx则对于)0(0l,存在A,当Ax时,lxgxfl)()(0即)()()()()(xglxfxgl成立.显然adxxf)(与adxxg)(同时收敛或同时发散，在l=0或l=时，可类似地讨论.使用同样的方法，我们有定理9.7对以b为唯一瑕点的两个瑕积分badxxf)(与badxxg)(如果f(x),g(x)是非负函数，且,)()(limlxgxfbx则（1）当l0,且badxxg)(收敛时，则badxxf)(也收敛．（2）当l0，且badxxg)(发散时，则badxxf)(也发散．对无限区间上的广义积分中，取apdxx1作比较标准，则得到下列Cauchy判别法：设f(x)是[a,+)的函数，在其任意闭区间上可积,那么:定理9.8若0f(x)pxc，p1,那么积分adxxf)(收敛，如f(x)pxc，p1,则积分adxxf)(发散．其极限形式为定理9.9如xlimlxfxp)((l0,p1),则积分adxxf)(收敛．如blimlxfxp)(,而l0,p1,则adxxf)(发散.例9.8判断下列广义积分的收敛性。(1)111)11ln(dxxx(2)11dxxxnm(m0,n0)解：（1）因为0xx11)11ln(xx11121)1(1xxx由121dxx收敛推出111)11ln(dxxx收敛．（2）因为xlim,11nmmnxxx所以当n－m1时，积分11dxxxnm收敛.当n－m1时，积分11dxxxnm发散．对于瑕积分，使用bapdxax)(1作为比较标准，我们有下列柯西判别法．定理9.10设x=a是f(x)在[a,b)上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么（1）如0f(x)paxc)((c0),p1,则badxxf)(收敛．（2）如f(x)paxc)((c0),p1,则badxxf)(发散．瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为定理9.11设kxfaxpax)()(lim如0k,p1,则badxxf)(收敛如0k,p1,那么badxxf)(发散．例9.9判别下列瑕积分的敛散性。(1)10222)1)(1(xkxdx(k21)(2)20cossinxxdxqp(p,q0)解：（1）1是被积函数的唯一瑕点因为1limx)1)(1()1(22221xkxdxx=)1(212k由21p知瑕积分收敛．（2）0与2都是被积函数的瑕点．先讨论,cossin40xxdxqp由0limx1cossin1xxxqpp知:当p1时,瑕积分40cossinxxdxqp收敛;当p1时,瑕积分40cossinxxdxqp发散．再讨论24cossinxxdxqp因2limx1cossin1)2(xxxqpp所以当q1时,瑕积分24cossinxxdxqp收敛，当q1时，瑕积分24cossinxxdxqp发散．综上所述，当p1且q1时,瑕积分20cossinxxdxqp收敛;其他情况发散．例9.10求证:若瑕积分10)(dxxf收敛，且当0x时函数f(x)单调趋向于+，则0limxxf(x)=0.证明：不妨设]1,0(x,f(x)0,且f(x)在(0,1)上单调减少。已知10)(dxxf收敛，由柯西收敛准则，有0,0(1),x0有,)(2xxdttf从而0)(2xfxxxdttf2)(或0xf(x)2即0limxxf(x)=0.例9.11求证瑕积分10)]cos1([1dxxx(0),当31时收敛当31时发散.证明:∵0limx)]cos1([3xxx=0limx233cos1xxxx=0limx2cos112xx所以当31时，即31时，瑕积分收敛．当31，即31时，瑕积分发散．前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果．定理9.12（积分第二中值定理）设g(x)在[a,b]上可积，f(x)在[a,b]上单调，则存在ξ[a,b]使badxxgxf)()(=aadxxfbgdxxfag)()()()(为了证明定理9.12，我们先讨论下列特殊情况．引理9.1设f(x)在[a,b]上单调下降并且非负，函数g(x)在[a,b]上可积，则存在c[a,b]，使badxxgxf)()(=f(a)cadxxg)(证明：作辅助函数)(x=f(a),)(xadttg对[a,b]的任一分法P:a=x0x1x2…xn=b我们有badxxgxf)()(=dxxgxfnixxii)()(11由此得到|badxxgxf)()(－dxxgxfnixxiii)()(111|=|dxxgxfxfinixxii)()]()([111|dxxgxfxfinixxii|)(||)()(|111)(1fLnii△xi这里L是|g(x)|在[a,b]的上界,)(fwi是)(xf在iixx,1上的振幅，从这个估计式可知,当P0时,应当有dxxgxfnixxiii)()(111badxxgxf)()(我们来证明)(min],[xbaxdxxgxfnixxiii)()(111)(max],[xbax为此，引入记号G(x)=xadttg)(并作如下变换dxxgxfnixxiii)()(111=)]()([)(111iiniixGxGxf=)()(11iniixGxf)()(111iniixGxf=)()(11iniixGxf)()(10iniixGxf=)()(11iniixGxf)()(11iniixGxf（0)()(0aGxG）=)(])()([11iniiixGxfxf)()(nnxGxf因为0)()(1iixfxf,)(nxf0,所以dxxgxfnixxiii)()(111=)(])()([11iniiixGxfxf)()(nnxGxf{)(])()([11nniiixfxfxf})(min],[xGbax=)(min)(],[xGafbax同样可证dxxgxfnixxiii)()(111)(max)(],[xGafbax我们证明了不等式)(min)(],[xGafbaxdxxgxfnixxiii)()(111)(max)(],[xGafbax即)(min],[xbaxdxxgxfnixxiii)()(111)(max],[xbax现令|p|0,取极限，就得到)(min],[xbaxbadxxgxf)()()(max],[xbax因此，存在c[a,b]，使得)(c=badxxgxf)()(（因为)(x在［ba,］上是连续函数）也就是badxxgxf)()(=cadxxgaf)()(证毕下面我们证明定理9.12证明：如f(x)是单调下降的，则f(x)－f(b)单调下降且非负，由引理12.2.1知，存在c[a,b),使badxxgbfxf)()]()([=cadxxgbfxf)()]()([即badxxgxf)()(=,)()()()(bccadxxgbfdxxgaf对f(x)单调上升的情形，可作类似讨论.使用积分第二中值定理，我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的判别法定理9.13若下列两个条件之一满足，则adxxgxf)()(收敛（1）（Abel判别法）adxxf)(收敛，g(x)在[a,]上单调有界;（2）（Dirichlet判别法）设F(A)=Aadxxf)(在[a,]上有界，g(x)在[a,)上单调,且xlimg(x)=0.证明：（1）0,设|g(x)|M，x[a,),因adxxf)(收敛，由Cauchy收敛原理，aA0,使01,AAA时,有MdxxfAA2|)(|1由积分第二中值定理，我们得到|)()(|1AAdxxgxf|)(||)(|AdxxfAg|)(||)(|11AdxxfAg|)(|AdxxfM|)(|1AdxxfM2+2=再由Cauchy收敛原理知adxxgxf)()(收敛(2)设M为F(A)在[a,+)上的一个上界，则