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第3讲圆周运动1匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度(1)匀速圆周运动①定义:物体做圆周运动,若在相等的时间内通过的圆弧长相等,这种运动就是匀速圆周运动。②特点:加速度大小不变,方向始终指向圆心,是变加速运动。③条件:合力大小不变,方向始终与速度方向垂直且指向圆心。(2)非匀速圆周运动①定义:物体沿着圆周运动,但线速度大小发生变化。②合力的作用a.合力沿速度方向的分量Ft产生切向加速度,Ft=mat,它只改变速度的大小。b.合力沿半径方向的分量Fn产生向心加速度,Fn=man,它只改变速度的方向。(3)描述匀速圆周运动的物理量项目定义、意义公式、单位线速度描述做圆周运动的物体运动快慢的物理量(v)(1)v==(2)单位:m/s角速度描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω)(1)ω==(2)单位:rad/s周期物体沿圆周运动一圈的时间(T)(1)T==ω,单位:s(2)f=,单位:Hz向心加速度(1)描述速度方向变化快慢的物理量(an)(1)an==rω2(2)单位:m/s2(2)方向指向圆心1.1(2018贵州贵阳高三模拟)物体做匀速圆周运动时,下列说法中不正确．．．的是()。A.角速度、周期一定不变B.向心力一定是由物体受到的合外力提供的C.向心加速度的大小一定不变D.向心力的方向一定不变【答案】D1.2(2018湖南长沙第三次质量调研)科技馆的科普器材中常有如图所示的匀速率的传动装置:在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮。若齿轮的齿很小,大齿轮的半径(内径)是小齿轮半径的3倍,则当大齿轮沿顺时针方向匀速转动时,下列说法正确的是()。A.小齿轮逆时针转动B.小齿轮每个齿的线速度均相同C.小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍D.大齿轮每个齿的向心加速度大小是小齿轮的3倍【答案】C2匀速圆周运动的向心力(1)作用效果向心力产生向心加速度,只改变速度的方向,不改变速度的大小。(2)大小F=m=mrω2=mr=mωv=2mf2r。(3)方向始终沿半径方向指向圆心,时刻在改变,即向心力是一个变力。(4)来源向心力可以由一个力提供,也可以由几个力的合力提供,还可以由一个力的分力提供。在受力分析中要绝对避免再另外添加一个向心力。2.1(2019北京开学考试)如图所示,一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面,圆锥筒固定不动,有两个质量相等的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动,则以下说法中正确的是()。A.A球的角速度等于B球的角速度B.A球的线速度大于B球的线速度C.A球的运动周期小于B球的运动周期D.A球对筒壁的压力大于B球对筒壁的压力【答案】B3离心现象(1)定义:做圆周运动的物体,在所受合力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下,就做逐渐远离圆心的运动。(2)本质:做圆周运动的物体,由于本身的惯性,总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势。(3)受力特点(如图所示)当F=mrω2时,物体做匀速圆周运动;当F=0时,物体沿切线方向飞出;当F＜mrω2时,物体逐渐远离圆心。3.1(2018四川广元四月模拟)(多选)如图所示,光滑水平面上,质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时,拉力F发生变化,下列关于小球运动情况的说法中正确的是()。A.拉力突然变大,小球可能会沿轨迹Pb做离心运动B.拉力突然变小,小球可能会沿轨迹Pb做离心运动C.拉力突然消失,小球可能会沿轨迹Pa做离心运动D.拉力突然变小,小球可能会沿轨迹Pc做向心运动【答案】BC题型一圆周运动的运动学问题1.圆周运动各物理量间的关系2.对公式v=ωr和a==ω2r的理解(1)由v=ωr知,r一定时,v与ω成正比;ω一定时,v与r成正比;v一定时,ω与r成反比。(2)由a==ω2r知,在v一定时,a与r成反比;在ω一定时,a与r成正比。【例1】图示为一陀螺的上表面,a、b、c为在陀螺上表面上选取的三个质点,它们的质量之比为1∶2∶3,它们到转轴的距离之比为3∶2∶1,当陀螺以角速度ω高速旋转时,下列说法正确的是()。A.a、b、c的线速度之比为1∶2∶3B.a、b、c的周期之比为3∶2∶1C.a、b、c的向心加速度大小之比为3∶2∶1D.a、b、c的向心力大小之比为1∶1∶1【解析】在同一平面上各点的角速度相等,由v=ωr和质点到转轴的距离之比为3∶2∶1,可得a、b、c的线速度之比为3∶2∶1,A项错误;由T=可知a、b、c的周期之比为1∶1∶1,B项错误;由a=ωv可知a、b、c的向心加速度大小之比为3∶2∶1,C项正确;由F=ma可得a、b、c的向心力大小之比为3∶4∶3,D项错误。【答案】C分析传动装置问题应掌握以下传动方式及特征:传动类型图示特征共轴传动(1)运动特征:转动方向相同(2)定量关系:A点和B点转动的周期相同、角速度相同,A点和B点的线速度与其半径成正比皮带(链条)传(1)运动特征:两轮的转动方向与皮带的绕行方式有关,可同向转动,也可反向转动(2)定量关系:由于A、B两点相当于皮带上不同位置的点,它们的线动速度大小相同,二者角速度与其半径成反比,周期与其半径成正比摩擦传动(1)运动特征:转动方向相反(2)定量关系:两轮边缘接触,接触点无打滑现象时,两轮边缘线速度大小相等齿轮传动(1)运动特征点:转动方向相反(2)定量关系:vA=vB;==;==(z1、z2分别表示两齿轮的齿数)【变式训练1】(2018湖北武汉调研)如图所示为一皮带传动装置,右轮的半径为r,e是它边缘上的一点;左侧是一轮轴,大轮半径为4r,小轮半径为2r,b点在小轮上,到小轮中心距离为r,c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上,若在传动过程中皮带不打滑,则()。A.e点与c点线速度大小相等B.e点与d点角速度大小相等C.e点与b点向心加速度大小相等D.四点中,向心加速度最大的是b点【解析】e、c两点的线速度大小相等,A项正确。d、c两点的角速度相等,根据v=rω,c点的角速度小于e的角速度,则e点的角速度大于d点的角速度,B项错误。e、b两点的线速度不相等,转动半径相等,根据a=可知,向心加速度不相等,故C项错误。b、c、d三点的角速度相等,根据a=ω2r可知,d点的向心加速度最大;e、c两点的线速度大小相等,根据a=可知e点的向心加速度大于c点的,故四点中,向心加速度最大的不是b点,D项错误。【答案】A题型二圆周运动中的动力学问题1.向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的,可以是重力、弹力、摩擦力等各种力,也可以是几个力的合力或某个力的分力,因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。2.向心力的确定(1)确定圆周运动的轨道所在的平面,确定圆心的位置。(2)分析物体的受力情况,所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。下面给出几种常见圆周运动向心力的来源图示,供参考。运动模型飞机水平面内圆周运动火车转弯圆锥摆向心力的来源图示运动模型飞车走壁水平路面汽车转弯水平转台向心力的来源图示【例2】如图甲所示,光滑杆AB长为L,B端固定一根劲度系数为k、原长为l0的轻弹簧,质量为m的小球套在光滑杆上并与弹簧的上端连接。OO'为过B点的竖直轴,杆与水平面间的夹角始终为θ。当球随杆一起绕OO'轴匀速转动时,弹簧伸长量为l2,求匀速转动的角速度ω。甲【解析】小球做圆周运动的半径r=(l0+l2)cosθ设弹簧伸长l2时,球受力如图乙所示水平方向上有FNsinθ+F2cosθ=mω2r竖直方向上有FNcosθ=F2sinθ+mgF2=kl2解得ω=√。乙【答案】√θ在求解圆周运动问题时必须进行的三类分析(1)几何分析:目的是确定圆周运动的圆心、半径等。(2)运动分析:目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等。(3)受力分析:目的是通过力的合成与分解,表示出物体做圆周运动时,外界所提供的向心力。【变式训练2】(2018湖北孝感高三模拟)(多选)如图甲所示,一根细线下端拴一个金属小球P,细线的上端固定在金属块Q上,Q放在带小孔(小孔光滑)的水平桌面上,小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)。现使小球到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图中P'位置),两次金属块Q都静止在桌面上的同一点,细线在桌面上方的部分始终保持水平,则后一种情况与原来相比较,下面的判断中正确的是()。甲A.细线所受的拉力变大B.小球P运动的角速度变小C.Q受到桌面的静摩擦力变大D.Q受到桌面的支持力变大【解析】金属块Q在桌面上保持静止,根据平衡条件知,Q受到桌面的支持力等于其重力,保持不变,故D项错误。设细线与竖直方向的夹角为θ,细线的拉力大小为FT,细线的长度为L,P球做匀速圆周运动时,由重力和细线拉力的合力提供向心力,如图乙所示,则有FT=,Fn=mgtanθ=mω2Lsinθ,得角速度ω=√,使小球到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动时,θ增大,cosθ减小,则得到细线拉力FT增大,角速度增大,A项正确,B项错误。对Q,由平衡条件知,Q受到桌面的静摩擦力变大,C项正确。乙【答案】AC题型竖直面内的圆周运动问题三竖直平面内两类典型模型分析轻绳模型轻杆模型实例如球与绳连接、沿内轨道运动的球等如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等图示最高点无支撑最高点有支撑最高点受力特征重力、弹力,弹力方向指向圆心重力、弹力,弹力方向指向圆心或背离圆心受力示意图力学方程mg+FN=mmg±FN=m临界特征FN=0,vmin=√竖直向上的FN=mg,v=0过最高v≥√v≥点条件速度和弹力关系讨论分析①能过最高点时,v≥√gr,FN+mg=mr,绳、轨道对球产生弹力FN②不能过最高点时,v√,在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动①当v=0时,FN=mg,FN为支持力,沿半径背离圆心②当0v√时,-FN+mg=mvr,FN背离圆心,随v的增大而减小③当v=√时,FN=0④当v√时,FN+mg=mvr,FN指向圆心并随v的增大而增大【例3】(多选)如图甲所示,我国男子体操运动员在里约奥运会上个人全能中完成“单臂大回环”的高难度动作:用一只手抓住单杠,伸展身体,以单杠为轴做圆周运动,运动到最高点时,与单杠间弹力大小为F,运动员在最高点的速度大小为v,其F-v2图象如图乙所示。取g=10m/s2,则下列说法中正确的是()。A.此运动员的质量为55kgB.此运动员的重心到单杠的距离为0.9mC.运动员在最高点速度为4m/s时,其受单杠的弹力方向向上D.在完成“单臂大回环”的过程中,他的单臂至少要承受2750N的力【解析】对运动员在最高点进行受力分析,速度为零时,F-mg=0,结合图象解得质量m=55kg,所以A项正确;当F=0时,由向心力公式可得mg=,结合图象可知R=0.9m,即运动员的重心到单杠的距离为0.9m,B项正确;在最高点速度为4m/s时,运动员受单杆的拉力,所以C项错误;经过最低点时,受力最大,由牛顿第二定律得F-mg=m,根据机械能守恒得mg·R=mv2,由以上两式得F=5mg,代入数据得F=2750N,即运动员的单臂至少要承受的力为2750N,所以D项正确。【答案】ABD竖直面内圆周运动的求解思路(1)定模型:首先判断是轻绳模型还是轻杆模型,两种模型过最高点的临界条件不同,其原因主要是“绳”不能支持物体,而“杆”既能支持物体,也能拉物体。(2)确定临界点:v临=√对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点,而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点。(3)研究状态:通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。(4)受力分析:对物体在最高点或最低点时进行受力分析,根据牛顿第二定律列出方程F合=F向。(5)过程分析:应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程。【变式训练3】(2018江西南昌10月模拟)如图所示,一质量为M的光滑大圆环,用一细轻杆固定在竖直平面内。套在大环上质量为m的小环(可视为质点)从大环的最高处由静止滑下,重力加速度大小为g。当小环滑到大环的最低点时,大环对轻杆拉力的大小为()。A.Mg-5mgB.Mg+mgC.