2020年高考数学一轮复习 专题11.2 推理练习（含解析）

11.2推理一．合情推理(1)归纳推理①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)．②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．二．演绎推理(1)演绎推理由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——一般性的原理；②小前提——特殊对象；③结论——揭示了一般原理与特殊对象的内在联系．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下考向一归纳推理【例1】（1）观察下列式子：1＋12232，1＋122＋13253，1＋122＋132＋14274，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋120192________.（2）分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n＝6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为________．【答案】（1）4037（2）364【解析】（1）由题意得，不等式右边分数的分母是左边最后一个分数的分母的底数，所以猜想的分母是2019，分子组成了一个以3为首项，2为公差的等差数列，所以a2018＝3＋(2018－1)×2＝4037.（2）由图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，所以，n＝1时，a1＝1；n＝2时，a2＝3＋1＝4；n＝3时，a3＝3×4＋1＝13；n＝4时，a4＝3×13＋1＝40；n＝5时，a5＝3×40＋1＝121；n＝6时，a6＝3×121＋1＝364.【举一反三】1．已知222233，333388，44441515，…，依此规律，若99bbaa，则2ab的值分别是（）A．79B．81C．100D．98【答案】D【解析】由222233，333388，44441515，…，依此规律2211nnnnnn，2n，则99bbaa，可得9b，29180a，故2801898ab，故选：D．2．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，已知第n行的所有数字之和为12n，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的前56项和为（）A．2060B．2038C．4084D．4108【套路总结】归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与式子有关的推理．观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．【答案】C【解析】n次二项式系数对应杨辉三角形的第1n行，例如22(1)21xxx，系数分别为1,2,1，对应杨辉三角形的第3行，令1x，就可以求出该行的系数之和，第1行为02，第2行为12，第3行为32，以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列.则杨辉三角形的前n项和为1221,12nnnS若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1,2,3,4,…,可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则(1)2nnnT，可得当12n，去除两端“1”可得782355，则此数列前55项和为12122321234072S，所以第56项为第13行去除1的第一个数11212C,所以该数列前56项和为4072124084，故选C.考向二类比推理【例2】(1)已知{an}为等差数列，a1010＝5，a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝5×2019.若{bn}为等比数列，b1010＝5，则{bn}类似的结论是________________．（2）设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c.类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体P－ABC的体积为V，则r＝________.【答案】（1）b1b2b3…b2019＝52019（2）3VS1＋S2＋S3＋S4【解析】（1）在等差数列{an}中，令S＝a1＋a2＋a3＋…＋a2019，则S＝a2019＋a2018＋a2017＋…＋a1，∴2S＝(a1＋a2019)＋(a2＋a2018)＋(a3＋a2017)＋…＋(a2019＋a1)＝2019(a1＋a2019)＝2019×2a1010＝10×2019，∴S＝a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝5×2019.在等比数列{bn}中，令T＝b1b2b3…b2019，则T＝b2019b2018b2017…b1，∴T2＝(b1b2019)(b2b2018)(b3b2017)…(b2019b1)＝(b21010)2019，∴T＝b1b2b3…b2019＝(b1010)2019＝52019.（2）由类比推理可知r＝3VS1＋S2＋S3＋S4.【举一反三】1．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，类比这些等式，若6＋ab＝6ab(a，b均为正数)，则a＋b＝________.【答案】41【解析】观察等式2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，第n个应该是n＋1＋n＋1n＋12－1＝(n＋1)n＋1n＋12－1，则第5个等式中a＝6，b＝a2－1＝35，a＋b＝41.2．平面内直角三角形两直角边长分别为,ab，则斜边长为242bbaca，直角顶点到斜边的距离为22abab.空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为1S，2S，3S，类比推理可得底面积为222123SSS，则三棱锥顶点到底面的距离为（）A．1233222123SSSSSSB．123222123SSSSSSC．1232221232SSSSSSD．1232221233SSSSSS【答案】C【解析】在这三条侧棱两两垂直的三棱锥中设三条棱长分别为,,xyz，又因为三个侧面的面积分别为1S，2S，3S112Sxy，212Syz，312Sxz，则：22231111222SSxyzSz，2312SSzS类比推理可得底面积为：222123SSS若三棱锥顶点到底面的距离为h，可知三棱锥体积：222311231221133SSVShSSSS12312322222212312322SSSSSShSSSSSS本题正确选项：C考向三演绎推理【例3】（1）正切函数是奇函数，2tan2fxx是正切函数，因此2tan2fxx是奇函数，以上推理（）A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．以上均不正确（2）今年六一儿童节，阿曾和爸爸，妈妈，妹妹小丽来到游乐园玩.一家四口走到一个抽奖台前各抽一次奖，抽奖前，爸爸，妈妈，阿曾，小丽对抽奖台结果进行了预测，预测结果如下：妈妈说：“小丽能中奖”；爸爸说：“我或妈妈能中奖”；阿曾说：“我或妈妈能中奖”；小丽说：“爸爸不能中奖”.抽奖揭晓后，一家四口只有一位家庭成员猜中，且只有一位家庭成员的预测结果是正确的，则中奖的是（）A．妈妈B．爸爸C．阿曾D．小丽【答案】（1）C（2）B【解析】（1）大前提：正切函数是奇函数，正确；小前提：2tan2fxx是正切函数，因为该函数为复合函数，故错误；结论：2tan2fxx是奇函数，该函数为偶函数，故错误；结合三段论可得小前提不正确故答案选C（2）由四人的预测可得下表：中奖人预测结果爸爸妈妈阿曾小丽爸爸✔✖✖✖妈妈✔✖✔✔阿曾✖✖✔✔小丽✖✔✖✔1）若爸爸中奖，仅有爸爸预测正确，符合题意2）若妈妈中奖，爸爸、阿曾、小丽预测均正确，不符合题意3）若阿曾中奖，阿曾、小丽预测均正确，不符合题意4）若小丽中奖，妈妈、小丽预测均正确，不符合题意故只有当爸爸中奖时，仅有爸爸一人预测正确．故选：B．【举一反三】1.某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知今天是星期________．【答案】四【解析】因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，不是周五，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周二和周六，所以今天是周四．1．已知从2开始的连续偶数构成以下数表，如图所示，在该数表中位于第m行、第n列的数记为nma，如21424,16aa.若248mna，则mn（）A．20B．21C．29D．30【答案】A【解析】由题意可得第1行有1个偶数，第2行有2个偶数，…第n行有n个偶数，则前n行共有(1)1+2+3+...+n=2nn个偶数，248在从2开始的偶数中排在第128位,【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行可得(1)1282nn，16n，可得前15行共有15161202个数，最后一个数为240，所以248在第16行，第4列，所以16420mn.2．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（16231662）是在1654年发现这一规律的．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就．如图，在“杨辉三角”中，去除所有为1的项．依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5，则此数列前151项和为（）A．192211B．182211C．192209D．182209【答案】C【解析】去除所有为1的项后，由图可知前n行共有(1)2nn个数，当17n时，17(171)1532，即前17行共有153个数，另第(n)1行的和为121CCC22nnnnn，所以前17行的和为231819(22)(22)(22)238，第17项的最后的两个数为1618C，1718C，故此数列前153项和为1919238153182209，故选：C．3．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入33的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数21,2,3,,n填入nn个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n阶幻方.记n阶幻方的对角线上的数字之和为nN，如图三阶幻方的315N，那么9N的值为（）A．369B．321C．45D．41【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列根据等差数列的性质可知对角线的两个数相加正好等于21n根据等差数列的求和公式：2(1)2n