2020年高考数学一轮复习 专题10.13 最值问题练习（含解析）

第十三讲最值问题一．圆锥曲线求最值或取值范围1.两种类型（1）涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；（2）求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．2.两种解法（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．3.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．考向一单变量最值问题转化为函数最值【例1】已知圆x2＋y2＝1过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，与椭圆x2a2＋y2b2＝1相交于A，B两点．记λ＝OA―→·OB―→，且23≤λ≤34.(1)求椭圆的方程；(2)求k的取值范围；(3)求△OAB的面积S的取值范围．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下【答案】（1）x22＋y2＝1.（2）－1，－22∪22，1.（3）64，23【解析】(1)由题意知2c＝2，所以c＝1.因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b＝1，故a＝2，所以所求椭圆方程为x22＋y2＝1.(2)因为直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，所以原点O到直线l的距离为|m|12＋k2＝1，即m2＝k2＋1.由y＝kx＋m，x22＋y2＝1，消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－4km1＋2k2，x1x2＝2m2－21＋2k2.λ＝OA―→·OB―→＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝k2＋11＋2k2，由23≤λ≤34，得12≤k2≤1，即k的取值范围是－1，－22∪22，1.(3)|AB|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝2－22k2＋12，由12≤k2≤1，得62≤|AB|≤43.设△OAB的AB边上的高为d，则S＝12|AB|d＝12|AB|，所以64≤S≤23，即△OAB的面积S的取值范围是64，23【举一反三】1．已知椭圆C的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，且F2到直线x－3y－9＝0的距离等于椭圆的短轴长．(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P的圆心为P(0，t)(t＞0)，且经过F1，F2，Q是椭圆C上的动点且在圆P外，过点Q作圆P的切线，切点为M，当|QM|的最大值为322时，求t的值．【答案】（1）x25＋y24＝1(2)322【答案】(1)设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．依题意可知，2b＝|1－9|2＝4，所以b＝2.又c＝1，故a2＝b2＋c2＝5，故椭圆C的方程为x25＋y24＝1.(2)由题意，圆P的方程为x2＋(y－t)2＝t2＋1.设Q(x0，y0)，因为PM⊥QM，所以|QM|＝|PQ|2－t2－1＝x20＋y0－t2－t2－1＝－14y0＋4t2＋4＋4t2.若－4t≤－2,即t≥12，当y0＝－2时，|QM|取得最大值，|QM|max＝4t＋3＝322，解得t＝38＜12(舍去)．若－4t＞－2，即0＜t＜12，当y0＝－4t时，|QM|取最大值，且|QM|max＝4＋4t2＝322，解得t＝24.综上可知，当t＝24时，|QM|的最大值为322.2．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，且半焦距为1，直线l经过点F2，当l垂直于x轴时，与椭圆C交于A1，B1两点，且|A1B1|=√2．(1)求椭圆C的方程；(2)当直线l不与x轴垂直时，与椭圆C相交于A2，B2两点，取F2A2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅F2B2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围．【答案】（1）x22+y2=1；（2）[−1,12]【解析】(1)由题意可知：c=1，由椭圆的通径公式可知：|A1B1|=2b2a=√2，即a=√2b2，a2−b2=c2=1，解得：a=√2，b=1，∴椭圆的标准方程：x22+y2=1；(2)由(1)可知椭圆的右焦点F2(1,0)，当直线l与x轴不重合时，设直线l方程x=my+1，A2(x1,y1)，B2(x2,y2)，联立直线与椭圆方程{𝑥=𝑥𝑥+1x2+2y2=2，整理得：(m2+2)y2+2my−1=0，则y1+y2=−2mm2+2，y1y2=−1m2+2，x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2，x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=2−2m2m2+2，F2A2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅F2B2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x1−1,y1)⋅(x2−1,y2)=x1x2−(x1+x2)+1+y1y2=−m2+1m2+2=−(1−1m2+2)=−1+1m2+2∈(−1,12]，当直线l与x轴重合时，则A2(−√2,0)，B2(√2,0)，则F2A2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅F2B2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−√2−1,0)(√2−1,0)=−1，∴F2A2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅F2B2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围[−1,12].3．在平面直角坐标系𝑥𝑥𝑥内，有一动点𝑥到直线𝑥=4√33的距离和到点(√3,0)的距离比值是2√33.（I）求动点𝑥的轨迹𝑥的方程；（II）已知点𝑥(2,0)，若𝑥不在𝑥轴上，过点𝑥作线段𝑥𝑥的垂线𝑥交曲线𝑥于点𝑥，𝑥，求|𝑥𝑥||𝑥𝑥|的取值范围.【答案】（I）𝑥24+𝑥2=1；（II）(12,+∞)【解析】（I）设动点𝑥的坐标为(𝑥,𝑥)，根据题意得|𝑥−4√33|√(𝑥−√3)2+𝑥2=2√33，化简得曲线𝑥的方程为：𝑥24+𝑥2=1.（II）因为𝑥不在𝑥轴上，故直线𝑥𝑥的斜率不为0，设直线𝑥𝑥的方程为𝑥=𝑥(𝑥−2)，则直线𝑥𝑥的方程为𝑥=−1𝑥𝑥.由{𝑥=𝑥(𝑥−2)𝑥24+𝑥2=1得(1+4𝑥2)𝑥2−16𝑥2𝑥+16𝑥2−4=0.设𝑥(𝑥0,𝑥0)，所以2+𝑥0=16𝑥24𝑥2+1，即𝑥0=8𝑥2−24𝑥2+1.故|𝑥𝑥=√(𝑥0−2)2+(𝑥0−0)2=√(1+𝑥2)(𝑥0−2)2.得|𝑥𝑥|=4√1+𝑥24𝑥2+1.设𝑥(𝑥1,𝑥1)，由椭圆对称性可知|𝑥𝑥|=2|𝑥𝑥|.由{𝑥=−1𝑥𝑥𝑥24+𝑥2=1解得𝑥12=4𝑥24+𝑥2，𝑥12=44+𝑥2，|𝑥𝑥|=√𝑥12+𝑥12=2√1+𝑥2𝑥2+4，所以|𝑥𝑥|=4√1+𝑥2𝑥2+4.所以|𝑥𝑥||𝑥𝑥|=4√1+𝑥2𝑥2+44√1+𝑥24𝑥2+1=4𝑥2+1√𝑥2+4.设𝑥=√𝑥2+4，则𝑥2=𝑥2−4，𝑥2.|𝑥𝑥||𝑥𝑥|=4(𝑥2−4)+1𝑥=4𝑥2−15𝑥(𝑥2).令𝑥(𝑥)=4𝑥2−15𝑥(𝑥2)，则𝑥′(𝑥)=4𝑥2+15𝑥20.所以𝑥(𝑥)是一个增函数，所以|𝑥𝑥||𝑥𝑥|=4𝑥2−15𝑥4×4−152=12.综上，|𝑥𝑥||𝑥𝑥|的取值范围是(12,+∞).考向二二元变量最值问题转化为二次函数最值【例3】已知椭圆𝑥:𝑥2𝑥2+𝑥2𝑥2=1(𝑥𝑥0)的短轴长为2√3，且离心率为12，圆𝑥:𝑥2+𝑥2=𝑥2+𝑥2．(1)求椭圆C的方程，(2)点P在圆D上，F为椭圆右焦点，线段PF与椭圆C相交于Q，若𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，求𝑥的取值范围．【答案】（1）𝑥24+𝑥23=1（2）[√7+13,53]【解析】（1）由题可知{2𝑥=2√3𝑥=𝑥𝑥=12，又𝑥2=𝑥2+𝑥2，解得{𝑥=√3𝑥=2∴椭圆𝑥的方程为𝑥24+𝑥23=1（2）由（1）知圆𝑥:𝑥2+𝑥2=7𝑥:𝑥2+𝑥2=7，点𝑥坐标为(1,0)设𝑥(𝑥1,𝑥1)，𝑥(𝑥0,𝑥0)，由𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥𝑥𝑥⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗可得：(1−𝑥1,−𝑥1)=𝑥(1−𝑥0,−𝑥0)，(𝑥0)所以1010(1)xxyy，由𝑥12+𝑥12=7可得：2200[(1)]()7xy又𝑥02=3−34𝑥02，代入，消去𝑥0，整理成关于𝑥0的等式为：2220012(1)42604xx则此方程在[−2,2]上必须有解2221()2(1)4264令fxxx22(2)966,(2)26则ff，𝑥=𝑥2(10−6𝑥)【套路总结】求动点的轨迹方程，一般有如下几种方法：①几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；②动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；③参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.直线与圆锥曲线的位置关系，一般可通过联立方程组并消元得到关于𝑥或𝑦的一元二次方程，利用直线过已知点（在椭圆上）可求直线与椭圆的另一个交点坐标（用斜率表示），再由距离公式得到目标函数后利用换元法可求函数的值域.若𝑥(−2)=0，则𝑥=1−√73（舍去）或𝑥=1+√73若𝑥(2)=0，则𝑥=−1−√7（舍去）或𝑥=−1+√7若𝑥(𝑥)=0在(−2,2)上有且仅有一实根则由𝑥(−2)𝑥(2)0得：1+√73𝑥√7−1若𝑥(𝑥)=0在(−2,2)上有两实根（包括两相等实根）2(2)0(2)0571034(1)22解得-ff综上可得：𝑥的取值范围是[√7+13,53]【举一反三】1.已知椭圆)0(1:2222babyaxC经过点)221(，M,其离心率为22,设直线mkxyl：与椭圆C相交于BA、两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线l与圆3222yx相切,求证：OBOA（O为坐标原点）；（Ⅲ）以线段OAOB，为邻边作平行四边形OAPB,若点Q在椭圆C上,且满足OPOQ（O为坐标原点）,求实数的取值范围．【解析】（Ⅰ）22222ceabca离心率，,222ab222212xybb椭圆方程为,将点2(1)2M，代入,得21b,22a所求椭圆方程为2212xy．（Ⅲ）由（Ⅱ）可得121222()212myykxxmk,由向量加法平行四边形法则得OAOBOP,OPOQ,OAOBOQ（ⅰ）当m=0时,点A、B关于原点对称,则0此时不构成平行四边形,不合题意．（ⅱ）当0m时,点A、B不关于原点对称,则0,由OAOBOQ,得12121(),1().QQxxxyyy即224,(12)2.(12)Q