2020年高考数学一轮复习 专题10.9 圆锥曲线轨迹方程求法练习（含解析）

第九讲圆锥曲线轨迹方程求法求轨迹方程的常用方法：⒈直接法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直接法。⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。⒊相关点法：用动点M的坐标x，y表示相关点P的坐标（Xo、Yo），然后代入点P的坐标（Xo、Yo）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。（用未知表示已知，带入已知求未知）⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。考向一直接法求轨迹方程【例1】已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足|𝑀𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|⋅|𝑀𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|+𝑀𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝑀𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0,则动点P(x，y)的轨迹方程为。【答案】𝑀2=−8𝑀【解析】设P（x，y），x＞0，y＞0，M（﹣2，0），N（2，0），|𝑀𝑀→|=4则𝑀𝑀→=(𝑀+2，𝑀)，𝑀𝑀→=(𝑀−2，𝑀)由|𝑀𝑀→|⋅|𝑀𝑀→|+𝑀𝑀→⋅𝑀𝑀→=0，则4√(𝑀+2)2+𝑀2+4(𝑀−2)=0，化简整理得y2＝﹣8x．【套路总结】直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简这四个步骤，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程。【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下【举一反三】1.已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【答案】y2＝x－1.【解析】设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1，0)，则S△ABF＝12|b－a|·FD＝12|b－a|x1－12，S△PQF＝|a－b|2.由题意可得|b－a|x1－12＝|a－b|2，所以x1＝1或x1＝0(舍去)．设满足条件的AB的中点为E(x，y)．当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得2a＋b＝yx－1(x≠1)．而a＋b2＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，满足方程y2＝x－1.所以所求轨迹方程为y2＝x－1.2．已知两点M(-1,0),N(1,0)，点P为坐标平面内的动点，且满足|MN⃑⃑⃑⃑|⋅|MP⃑⃑⃑⃑|+MN⃑⃑⃑⃑⋅NP⃑⃑⃑⃑=0，则动点P的轨迹方程为。【答案】y2=-4x【解析】设P（x，y），x＞0，y＞0，M(-1,0),N(1,0)，|𝑀𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|＝2则𝑀𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑＝(𝑀+1，𝑀)，𝑀𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑＝(𝑀−1，𝑀)由|MN⃑⃑⃑⃑|⋅|MP⃑⃑⃑⃑|+MN⃑⃑⃑⃑⋅NP⃑⃑⃑⃑=0，则2√(𝑀+1)2+𝑀2+2(𝑀−1)＝0，化简整理得y2=-4x．3.在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，已知△F1PF2为等腰三角形．设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足AM→·BM→＝－2，求点M的轨迹方程．【答案】18x2－163xy－15＝0(x0)．【解析】由(1)知a＝2c，b＝3c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝3(x－c)．A，B两点的坐标满足方程组3x2＋4y2＝12c2，y＝3x－c，消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝85c，代入直线方程得x1＝0，y1＝－3c，x2＝85c，y2＝335c.不妨设A85c，335c，B(0，－3c)．设点M的坐标为(x，y)，则AM→＝x－85c，y－335c，BM→＝(x，y＋3c)．由y＝3(x－c)，得c＝x－33y.于是AM→＝8315y－35x，85y－335x，BM→＝(x，3x)，由AM→·BM→＝－2，即8315y－35x·x＋85y－335x·3x＝－2.化简得18x2－163xy－15＝0.将y＝18x2－15163x代入c＝x－33y，得c＝10x2＋516x0.所以x0.因此，点M的轨迹方程是18x2－163xy－15＝0(x0)．考向二定义法求轨迹方程【例2】已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程．【答案】为x24＋y23＝1(x≠－2)．【解析】由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以PM＋PN＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝42＝MN.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24＋y23＝1(x≠－2)．【举一反三】1.在△ABC中，BC＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且BD－CD＝22，则顶点A的轨迹方程为______________．【答案】x22－y22＝1(x2)【解析】以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点．则BE＝BD，CD＝CF，AE＝AF.所以AB－AC＝224，所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝2，c＝2，所以b＝2，所以轨迹方程为x22－y22＝1(x2)．2．设定点𝑀(1,0)，动圆𝑀过点𝑀且与直线𝑀=−1相切.则动圆圆心𝑀的轨迹方程为。【答案】𝑀2=4𝑀【解析】动圆𝑀过点𝑀且与直线𝑀=−1相切，根据圆的定义可得到圆心到直线𝑀=−1的距离等于圆心到点F的距离，根据抛物线的定义可得到圆心的轨迹是焦点为𝑀(1,0)的抛物线，即𝑀2=4𝑀.3.如图所示：在圆C：(x＋1)2＋y2＝16内有一点A(1，0)，点Q为圆C上一动点，线段AQ的垂直平分线与直线CQ的连线交于点M，根据椭圆定义可得点M的轨迹方程为𝑀24+𝑀23=1；利用类比推理思想：在圆C：(x＋3)2＋y2＝16外有一点A(3，0)，点Q为圆C上一动点，线段AQ的垂直平分线与直线CQ的连线交于点M，根据双曲线定义可得点M的轨迹方程为____________．【套路总结】定义法求轨迹方程1.概念：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．【答案】𝑀24−𝑀25=1(𝑀≤−2)【解析】连结𝑀𝑀，𝑀(−3,0),𝑀(3,0)，∵点𝑀在线段𝑀𝑀的垂直平分线上，∴𝑀𝑀=𝑀𝑀∴𝑀𝑀−𝑀𝑀=𝑀𝑀−𝑀𝑀=𝑀𝑀=4所以点𝑀的轨迹为双曲线的左支，2𝑀=4,𝑀=2，𝑀=3，所以𝑀=√𝑀2−𝑀2=√5所以双曲线的轨迹方程为𝑀24−𝑀25=1(𝑀≤−2)考向三相关点法求轨迹方程【例3】如图所示，抛物线E：y2＝2px(p0)与圆O：x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.(1)求p的值；(2)求动点M的轨迹方程．【答案】（1）1（2）x28－y2＝1，x∈[－4，－22]．【解析】(1)由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为(2,2)，代入y2＝2px，解得p＝1.(2)由(1)知抛物线E：y2＝2x.设Cy212，y1，Dy222，y2，y1≠0，y2≠0，切线l1的斜率为k，则切线l1：y－y1＝kx－y212，代入y2＝2x，得ky2－2y＋2y1－ky21＝0，由Δ＝0，解得k＝1y1，∴l1的方程为y＝1y1x＋y12，同理l2的方程为y＝1y2x＋y22.联立y＝1y1x＋y12，y＝1y2x＋y22，解得x＝y1·y22，y＝y1＋y22.易知CD的方程为x0x＋y0y＝8，其中x0，y0满足x20＋y20＝8，x0∈[2,22]，由y2＝2x，x0x＋y0y＝8，得x0y2＋2y0y－16＝0，∴y1,2＝－2y0±4y20＋64x02x0，则y1＋y2＝－2y0x0，y1·y2＝－16x0，代入x＝y1·y22，y＝y1＋y22，可得M(x，y)满足x＝－8x0，y＝－y0x0，可得x0＝－8x，y0＝8yx，代入x20＋y20＝8，并化简，得x28－y2＝1，考虑到x0∈[2,22]，知x∈[－4，－22]，∴动点M的轨迹方程为x28－y2＝1，x∈[－4，－22]．【举一反三】1.如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1t3与椭圆C2：x29＋y2＝1相交于A，B，C，D四点．点A1，A2分别为C2的左、【套路总结】相关点法的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式x1＝fx，y，y1＝gx，y；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．右顶点，求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．【答案】x29－y2＝1(x－3，y0)．【解析】由椭圆C2：x29＋y2＝1，知A1(－3,0)，A2(3,0)．设点A的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，得B(x0，－y0)，设点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为y＝y0x0＋3(x＋3)．①直线A2B的方程为y＝－y0x0－3(x－3)．②由①②相乘得y2＝－y20x20－9(x2－9)．③又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y20＝1－x209.④将④代入③得x29－y2＝1(x－3，y0)．因此点M的轨迹方程为x29－y2＝1(x－3，y0)．2.已知三角形𝑀𝑀𝑀的顶点𝑀(−3,0)、𝑀(3,0)，若顶点𝑀在抛物线𝑀2=6𝑀上移动，则三角形𝑀𝑀𝑀的重心的轨迹方程为______【答案】𝑀2=2𝑀(𝑀≠0)【解析】设𝑀𝑀𝑀𝑀的重心𝑀(𝑀,𝑀)，𝑀(𝑀′,𝑀′)，则有{𝑀=−3+3+𝑀′3𝑀=0+0+𝑀′3，即{𝑀′=3𝑀𝑀′=3𝑀，因为点C在曲线𝑀2=6𝑀上，所以有(3𝑀)2=6×3𝑀，即𝑀2=2𝑀，因为三角形的三个顶点不能共线，所以𝑀≠0，所以𝑀𝑀𝑀𝑀的重心的轨迹方程为：𝑀2=2𝑀(𝑀≠0)，故答案是：𝑀2=2𝑀(𝑀≠0).考向四参数法求轨迹方程【例4】在平面直角坐标系xOy中，已知两点M(1，－3)，N(5,1)，若点C的坐标满足OC→＝tOM→＋(1－t)ON→(t∈R)，且点C的轨迹与抛物线y2＝4x相交于A，B两点．(1)求证：OA⊥OB；(2)在x轴上是否存