2020年高考数学一轮复习 专题10.8 椭圆双曲线抛物线的弦长练习（含解析）

第八讲椭圆双曲线抛物线的弦长1.圆锥曲线的弦长公式设斜率为k（k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），则2222121212121212221111()411()4ABkxxkxxxxyyyyyykk2.求解弦长的四种方法（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．（2）联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．（3）联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到（x1－x2）2或（y1－y2）2，代入两点间的距离公式．（4）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．【注意】利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在，可直接求交点坐标再求弦长．涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．考向一直线与椭圆的弦长【例1】（1）如图，已知斜率为1的直线l过椭圆C：22184yx的下焦点，交椭圆C于A，B两点，求弦AB的长．（2）已知点P(4,2)是直线l被椭圆x236＋y29＝1所截得的线段的中点．(1)求直线l的方程．(2)求直线l被椭圆截得的弦长．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下【答案】见解析【解析】（1）设A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)由椭圆方程知28a，24b，所以222cab所以椭圆的下焦点F的坐标为F(0，－2)，故直线l的方程为y＝x－2将其代入22184yx，化简整理得23440xx，所以1243xx，1243xx所以2222212121211282()()2()2()43ABxxyyxxxxxx＝(2)解法一根与系数关系法由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0．将直线方程代入椭圆方程有(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0．所以x1＋x2＝8k4k－24k2＋1＝8，解得k＝－12．所以直线l的方程为y－2＝－12(x－4)即x＋2y－8＝0．解法二：点差法设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x21＋4y21－36＝0，x22＋4y22－36＝0.两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)·(y1－y2)＝0．又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以y1－y2x1－x2＝－12，即k＝－12．所以直线l的方程为x＋2y－8＝0．【举一反三】1.椭圆𝑥236+𝑥29=1和点𝑥(4,2)，直线𝑥经过点𝑥且与椭圆交于𝑥,𝑥两点．（1）当直线𝑥的斜率为12时，求线段𝑥𝑥的长度；（2）当𝑥点恰好为线段𝑥𝑥的中点时，求𝑥的方程．【答案】(1)3√10;(2)𝑥+2𝑥−8=0.【解析】(1)直线l的方程为𝑥−2=12(𝑥−4)，即为𝑥=12𝑥，代入椭圆方程𝑥2+4𝑥2=36，可得𝑥=±3√2，𝑥=±3√22．即有|𝑥𝑥|=√(6√2)2+(3√2)2=3√10；【套路总结】一.解决直线与椭圆的交点问题常常利用设而不求和整体代入的方法，解题步骤为：设点：设直线与椭圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)；联立：联立直线与椭圆的方程，消元得到关于x或y的一元二次方程；韦达：利用根与系数的关系设而不求；④代入：利用题干中的条件转化为x1＋x2，x1x2或y1＋y2y1y2，进而求解二.利用“点差法”求弦长（一）前提：已知弦长中点求弦长所在直线方程斜率-----点差法（二）解题思路设点：设直线与椭圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)代入：将两个交点分别代入椭圆方程得到两道方程，两道方程相减化简：相减后整理成两点求斜率的形式，当焦点在x轴时，221212221212中中yyyyybbkxxaxxax焦点在y轴时221212221212中中yyyyyaakxxbxxbx(2)由P的坐标，可得1636+491，可得P在椭圆内，设𝑥(𝑥1,𝑥1)，𝑥(𝑥2,𝑥2)，则𝑥1236+𝑥129=1，①𝑥2236+𝑥229=1，②由中点坐标公式可得𝑥1+𝑥2=8，𝑥1+𝑥2=4，③由①−②可得，(𝑥1−𝑥2)(𝑥1+𝑥2)36+(𝑥1−𝑥2)(𝑥1+𝑥2)9=0，④将③代入④，可得𝑥𝑥𝑥=𝑥1−𝑥2𝑥1−𝑥2=−12，则所求直线的方程为𝑥−2=−12(𝑥−4)，即为𝑥+2𝑥−8=0．2．已知椭圆𝑥:𝑥23+𝑥2=1内有一条以点𝑥(1,13)为中点的弦𝑥𝑥，则直线𝑥𝑥的方程为.【答案】3𝑥+3𝑥−4=0【解析】设𝑥(𝑥1，𝑥1)，𝑥(𝑥2，𝑥2)，则𝑥1+𝑥22=1，𝑥1+𝑥22=1由𝑥，𝑥在椭圆上可得𝑥123+𝑥12=1，𝑥223+𝑥22=1,两式相减可得，(𝑥1−𝑥2)(𝑥1+𝑥2)3+(𝑥1−𝑥2)(𝑥1+𝑥2)1=0∴𝑥𝑥𝑥=𝑥1−𝑥2𝑥1−𝑥2=−(𝑥1+𝑥2)3（𝑥1+𝑥2）=−23⋅23=−1直线𝑥𝑥的方程为𝑥−13=−1(𝑥−1)即3𝑥+3𝑥−4=0.考向二直线与双曲线的弦长【例2】已知双曲线C：2212xy.（1）已知直线0xym与双曲线C交于不同的两点,AB，且43AB，求实数m的值；（2）过点1,2P作直线l与双曲线C交于不同的两点,MN，若弦MN恰被点P平分，求直线l的方程.【答案】(1)m=±2(2)4x﹣y﹣2=0【解析】（Ⅰ）分别设A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2）由22120xyxym，消y可得，x2﹣4mx+2（m2﹣1）=0，∴x1+x2=4m，x1•x2=2（m2﹣1），∴|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=16m2﹣8（m2﹣1）=8（m2+1），∴|AB|=43，解得m=±2，（Ⅱ）分别设M，N的坐标为（x3，y3），（x4，y4），可得y32﹣12x32=1，y42﹣12x42=1，两式相减，可得（y3﹣y4）（y3+y4）=12（x3﹣x4）（x3+x4），由点P（1，2）为MN的中点，可得x3+x4=2，y3+y4=4，∴4（y3﹣y4）=12×2（x3﹣x4），∴kMN=4经检验0即直线l的方程为y﹣2=4（x﹣1），即为4x﹣y﹣2=0【举一反三】1.已知双曲线x24－y2＝1，求过点A(3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程.【答案】3x＋4y－5＝0.【解析】解法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，由y＝kx－3k－1，x24－y2＝1，消去y，整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝8k3k＋14k2－1.∵A(3，－1)为MN的中点，∴x1＋x22＝3，即8k3k＋124k2－1＝3，解得k＝－34.当k＝－34时，满足Δ0，符合题意，∴所求直线MN的方程为y＝－34x＋54，即3x＋4y－5＝0.解法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上，∴x214－y21＝1，x224－y22＝1，两式相减，得x22－x214＝y22－y21，∴y2－y1x2－x1＝x2＋x14y2＋y1.∵点A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.∴kMN＝y2－y1x2－x1＝x2＋x14y2＋y1＝－34.经验证，该直线MN存在．∴所求直线MN的方程为y＋1＝－34(x－3)，即3x＋4y－5＝0.2.过双曲线𝑥2−𝑥23=1的左焦点𝑥1，作倾斜角为𝑥6的直线𝑥𝑥，其中𝑥,𝑥分别为直线与双曲线的交点，则|𝑥𝑥|的长为________．【答案】3【解析】因为双曲线方程为𝑥2−𝑥23=1，所以左焦点𝑥1（−2，0），因为直线𝑥𝑥的倾斜角为𝑥6，所以直线斜率为√33，直线𝑥𝑥的方程为𝑥=√33(𝑥+2)，代入𝑥2−𝑥23=1可得8𝑥2−4𝑥−13=0,𝑥1+𝑥2=12,𝑥1𝑥2=−138所以|𝑥𝑥|=√1+13|𝑥1−𝑥2|=2√33√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=2√33√(12)2−4(−138)=3，故答案为3.3．已知双曲线2𝑥2−𝑥2=2，则以点𝑥(2,3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为______.【答案】4𝑥−3𝑥+1=0【解析】设以A（2，3）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2＝4，y1+y2＝6．又2𝑥12−𝑥12=2，①2𝑥22−𝑥22=2，②①﹣②得：2（x1+x2）（x1﹣x2）＝（y1+y2）（y1﹣y2），又由对称性知x1≠x2，∴A（2，3）为中点的弦所在直线的斜率k=𝑥1−𝑥2𝑥1−𝑥2=2（𝑥1+𝑥2）𝑥1+𝑥2=2×46=43，所以中点弦所在直线方程为y﹣3＝43（x﹣2），即4𝑥−3𝑥+1=0．故答案为：4𝑥−3𝑥+1=0．考向三抛物线与直线的弦长【例3】（1）斜率为12的直线经过抛物线28xy的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则||AB_______；（2）过抛物线22yx的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若2512AB，AFBF，则AF____．【答案】（1）10；（2）56【解析】（1）设A（x1,y1）,B(x2,y2),则对于抛物线x2=8y,焦点弦长12()ABpyy因为抛物线的焦点坐标为（0,2），12ABk，所以直线AB的方程为12,242即yxxy将24xy代入抛物线方程，得212640,6,4610从而所以=+=yyyyAB（2）设11(,)Axy，22(,)Bxy，12xx，显然直线AB的斜率存在，设为1()(0)2ykxk将直线方程与抛物线方程联立，消去y得22221(2)04kxkxk①，则21222=kxxk因为2122225||()112kABpxxk，所以224k，方程①即2121330xx解得113x，234x，故11152326pAFx【举一反三】1．已知抛物线y2＝6x，过点P(4，1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.【答案】3x－y－11＝022303【解析】设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．∵P1，P2在抛物线上，∴y21＝6x1，y22＝6x2.两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．∵y1＋y2＝2，∴k＝y1－y2x1－x2＝6y1＋y2＝3，∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.由y2＝6x，y＝3x－11得y2－2y－22＝0，∴y1＋y2＝2，y1·y2＝－22.∴|P1P2|＝1＋19·22－4×（－22）＝22303.2．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．【答案】（1）8（2）92【解析】(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝3.又F32，0.所以直线l的方程为y＝3x－32.联立y2＝6x，y＝3x－32，消去y，得x2－5x＋94＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝