2020年高考数学一轮复习 专题10.6 椭圆双曲线抛物线的离心率与渐进线练习（含解析）

第六讲椭圆双曲线抛物线的离心率与渐进线求离心率的三种方法（1）直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．（2）构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．（3）通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．注意：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用不同曲线的离心率范围进行根的取舍，否则将产生增根．考向一椭圆的离心率【例1】（1）设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为。（2）若将（1）中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率．（3）若将（1）中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围．【套路总结】(1)若可求得a，c，则直接利用e＝ca得解(2)若已知a，b，可直接利用e＝＝1＋ba2得解(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下【答案】（1）33（2）6－22（3）22，1【解析】解法一：由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝3m，故离心率e＝ca＝2c2a＝|F1F2||PF1|＋|PF2|＝3m2m＋m＝33．解法二：由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±b2a，所以|PF2|＝b2a．又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝3|PF2|，故2c＝3·b2a，变形可得3(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得3(1－e2)＝2e，解得e＝33或e＝－3(舍去)．（2）在△PF1F2中，∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，∴∠F1PF2＝60°，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，椭圆的长轴长为2a，则在△PF1F2中，有msin75°＝nsin45°＝2csin60°，∴m＋nsin75°＋sin45°＝2csin60°，∴e＝ca＝2c2a＝sin60°sin75°＋sin45°＝6－22．（3）由题意，知cb，∴c2b2．又b2＝a2－c2，∴c2a2－c2，即2c2a2．∴e2＝c2a212，∴e22．故C的离心率的取值范围为22，1．【举一反三】1.设F1，F2是椭圆E：22221(0)xyabab的左、右焦点，P为直线32ax上一点，21FPF△是底角为30的等腰三角形，则椭圆E的离心率为___________；【答案】34【解析】如图，设直线32ax交x轴于D点，因为21FPF△是底角为30的等腰三角形，则有122FFFP，因为1230PFF，所以260PFD，230DPF，所以22121122DFFPFF，即31222accc，即322ac，即34ca，所以椭圆E的离心率34cea2.如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆22221(0)xyabab的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为___________．【答案】275【解析】设F(c，0)，则222cab由题意，易得直线A1B2，B1F的方程分别为1xyab，1xycb将上述两个方程联立，求解可得点T的坐标为T2()(,)acbacacac，则M()(,)2()acbacacac又点M在椭圆上，所以2222()1()4()cacacac，整理得221030caca两边同时除以2a，可得21030ee，解得275e或275e(舍去)3.已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为。【答案】13【解析】设M(－c，m)，则E0，ama－c，OE的中点为D，则D0，am2（a－c），又B，D，M三点共线，所以m2（a－c）＝ma＋c，所以a＝3c，所以e＝13.4.已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m，(m0)，则此椭圆的离心率为。【答案】33【解析】由题意，得椭圆的标准方程为x2m2＋y2m3＝1，∴a2＝m2，b2＝m3，∴c2＝a2－b2＝m6，∴e2＝c2a2＝13，即e＝33.．考向二双曲线的离心率【例2】（1）已知点(2，3)在双曲线C：22221xyab(a＞0，b＞0)上，若双曲线C的焦距为4，则它的离心率e_______________；（2）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率e_______________；（3）已知双曲线22221xyab(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．若双曲线上存在点P使得1221sinsinPFFaPFFc∠∠，则该双曲线的离心率e的取值范围是_______________．【答案】（1）2；（2）512；（3）(1,21)【解析】（1）由点(2，3)在双曲线C可得22491ab①．又焦距为4，所以c=2②，联立①②，解得1,3ab，，所以双曲线C的离心率2e（2）当焦点在x轴时，由题意可得201,0即bbbacca当焦点在y轴时，由题意可得201,0即cabacbb222222251,10,2又两边同时除以得解得cabcaacaeee(3)由正弦定理可得212211sinsinPFPFFaPFFPFc，即12PFePF，由e1可得点P在双曲线的右支上．又12||||2PFPFa，则22||||2ePFPFa，即2222||1aaPFeca，因为点P不在x轴上，所以22acaca，即2220caca，即2210ee，结合1e解得121e【举一反三】1.设F1、F2分别是双曲线22221(0,0)xyabab的左、右焦点.若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90°,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率等于.【答案】102【解析】由12112223,3AFAFaAFaAFAFAFa解得,由∠F1AF2=90°,得2221212AFAFFF,即(3a)2+a2=(2c)2,得e=102.2.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF1⊥x轴，直线AB与y轴交于点P，其中AP→＝2PB→，则椭圆的离心率为.【答案】12【解析】如图，△ABF1∽△APO，则|AP||AB|＝|AO||AF1|，即23＝aa＋c.所以a＝2c.，所以e＝ca＝12.考向三双曲线的渐近线【例3】已知ab0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为()A．x±2y＝0B.2x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0【答案】A【解析】椭圆C1的离心率e1＝a2－b2a，双曲线C2的离心率e2＝a2＋b2a.由e1e2＝a2－b2a·a2＋b2a＝1－ba2·1＋ba2＝32，解得ba2＝12，所以ba＝22，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±22x，即x±2y＝0.【举一反三】1.下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是()A．x2－y24＝1B.x24－y2＝1C.y24－x2＝1D．y2－x24＝1【答案】C【解析】A、B选项中双曲线的焦点在x轴上，可排除；C、D选项中双曲线的焦点在y轴上，令y24－x2＝0，得y＝±2x；令y2－x24＝0，得y＝±12x.故选C.2.若双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±2xC．y＝±12xD．y＝±22x【答案】B【解析】在双曲线中，离心率e＝ca＝1＋ba2＝3，可得ba＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y＝±2x.3.若双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A.73B.54C.43D.53【答案】D【解析】(1)由题意知ba＝43，则e2＝1＋b2a2＝259，所以e＝53.4.已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A.5B．2C.3D.2【答案】D【解析】设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，AB＝BM＝2a，∠MBA＝120°，作MH⊥x轴于H，则∠MBH＝60°，BH＝a，MH＝3a，所以M(2a，3a)．将点M的坐标代入双曲线方程x2a2－y2b2＝1，得a＝b，所以e＝2.故选D.1.设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝94ab，则该双曲线的离心率为。【答案】53【解析】考虑双曲线的对称性，不妨设P在右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a，而|PF1|＋|PF2|＝3b，两式等号左右两边平方后相减，得|PF1|·|PF2|＝9b2－4a24.又已知|PF1|·|PF2|＝94ab，∴94ab＝9b2－4a24，得ba＝43(负值舍去)．∴该双曲线的离心率e＝ca＝1＋ba2＝1＋432＝53.2.过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．【答案】2＋3【解析】如图，F1，F2为双曲线C的左，右焦点，将点P的横坐标2a代入x2a2－y2b2＝1中，得y2＝3b2，不妨令点P的坐标为(2a，－3b)，此时kPF2＝3bc－2a＝ba，得到c＝(2＋3)a，即双曲线C的离心率e＝ca＝2＋3.]3.已知双曲线22221xyab(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支一定有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是。【答案】(1,2)【解析】过点F且倾斜角为45°的直线的斜率为1，一条渐近线方程为byxa，由题意可得1ba，即【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行2221caa，结合cea及1e，解得12e．故选C4．设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为。【答案】17【解析】由双曲线的定义知，(|PF1|－|PF2|)2＝4a2，所以4a2＝b2－3ab，即b2a2－3·ba＝4，解得ba＝4(－1舍去)．因为双曲线的离心率e＝ca＝1＋b2a2，所以e＝17.5．已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点，以线段F1F2为边作等边三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e＝________．【答案】3＋1【解析】依题意知，F1(－c，0)，F2(c，0)，不妨设M在x轴上方，则M(0，3c)，所以MF1的中点为－c2，32c，