2020年高考数学一轮复习 专题10.4 椭圆双曲线抛物线的定义及其运用练习（含解析）

第四讲椭圆双曲线抛物线的定义及其运用一．椭圆的定义1.平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆．(2)若a＝c，则集合P为线段．(3)若ac，则集合P为空集．2.椭圆的焦点三角形问题（1）椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．（2）以椭圆x2a2＋y2b2＝1（ab0）上一点P（x0，y0）（y0≠0）和焦点F1（－c,0），F2（c,0）为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则①|PF1|＋|PF2|＝2a.②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.③S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sinθ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值为bc.④焦点三角形的周长为2（a＋c）．二．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0.（1）当2a|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；（2）当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；（3）当2a|F1F2|时，P点不存在．三.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线【套路秘籍】---千里之行始于足下的焦点，直线l叫做抛物线的准线．考向一椭圆的定义及其运用【例1】已知F1，F2是椭圆22143xy的两个焦点，点P在椭圆上．（1）若点P到焦点F1的距离等于1，则点P到焦点F2的距离为__________（2）过F1作直线与椭圆交于A，B两点，则2ABF△的周长为__________；（3）若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．（4）设P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．6132(3)5【答案】（）；（）8；【解析】（1）由椭圆的标准方程可知：24a，23b，故2a，3b，22431cab由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，又|PF1|＝1，所以|PF2|＝4－1＝3222211221212||||||||||||||(||||)(||||)2248ABFABFLABAFBFAFBFAFBFAFAFBFBFaaa△(2)△的周长（3）由已知得a＝2，b＝3，所以c＝a2－b2＝4－3＝1，|F1F2|＝2c＝2．在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|．①由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|．②将②代入①解得|PF1|＝65．所以S△PF1F2＝12|PF1|·|F1F2|·sin120°＝12×65×2×32＝335，（4）由椭圆方程知，a2＝4，b2＝3，∴c2＝1，∴c＝1，2c＝2.在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即4＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①由椭圆的定义得4＝|PF1|＋|PF2|，即4＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始②－①，得3|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|·|PF2|＝4，所以S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin60°＝3【举一反三】1．如图所示，F为双曲线C：221916xy=1的左焦点，双曲线C上的点Pi与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|的值是（）A．9B．16C．18D．27【答案】C【解析】设右焦点为F′，∵双曲线C上的点Pi与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称∴P1和P6，P2和P5，P3和P4分别关于y轴对称∴|FP1|=|F/P6|，|FP2|=|F′P5|，|FP3|=|F/P4|，∵|F/P6|﹣|P6F|=2a=6，|F/P5|﹣|P5F|=2a=6，|F′P4|﹣|P4F|=2a=6，【套路总结】1.善于利用椭圆的定义进行灵活运用，看到焦点可以考虑用定义，条件不够，定义来凑。2.求双曲线、椭圆中的焦点三角形△PF1F2面积的方法类型一：当已知角是1221PFFPFF或、12FPF①根据双曲线、椭圆的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a、|PF1|+|PF2|＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想方法求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式S△PF1F2＝12×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积类型二：当有一边垂直于x轴时：利用公式S△PF1F2＝12×|F1F2|×|yP|求得面积∴|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|=（|F′P6|﹣|P6F|）+（|F′P5|﹣|P5F|）+（|F′P4|﹣|P4F|）=182．已知椭圆C：2213627xy的右焦点为F，点P(1,3)，若点Q是椭圆C上的动点，则PQF周长的最大值为A．23B．17C．30D．17+13【答案】D【解析】设椭圆C的左焦点为F/，则△PQF的周长//22125131713lQFQPPFaQFQPPFaPFPF,当点Q为PF/的延长线与椭圆C的交点时取等号，故选D.考向二双曲线的定义及其运用【例2】若F1，F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离．(2)若点P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．【答案】（1）10或22（2）163【解析】(1)设|MF1|＝16，根据双曲线的定义知||MF2|－16|＝6，即|MF2|－16＝±6.解得|MF2|＝10或|MF2|＝22.(2)由x29－y216＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝12×64×32＝163.【举一反三】1.如图，若F1，F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．【答案】（1）10或22（2）16【解析】双曲线的标准方程为x29－y216＝1，故a＝3，b＝4，c＝a2＋b2＝5.(1)由双曲线的定义得|||MF1|－|MF2|＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将|||PF2|－|PF1|＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.2．已知双曲线22221(0,0)xyCabab：的左右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为13yx，动点M在双曲线左支上，点N为圆22:(6)1Exy上一点，则2MNMF的最小值为()A．8B．9C．10D．11【答案】B【解析】由题意可得2a＝6，即a＝3，渐近线方程为13yx，即有13ba，即b＝1，可得双曲线方程为2219xy焦点为F1（-10，0），F2，（10，0），由双曲线的定义可得|MF2|＝2a+|MF1|＝6+|MF1|，由圆E：22:(6)1Exy可得E（0，6），半径r＝1，|MN|+|MF2|＝6+|MN|+|MF1|，连接EF1，交双曲线于M，交圆于N，可得|MN|+|MF1|取得最小值，且为|EF1|=4，则则|MN|+|MF2|的最小值为6+4﹣1＝9．3．设双曲线22143xy的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于A、B两点，则11AFBF的最小值为（）A．16B．12C．11D．192【答案】C【解析】由双曲线的定义，得121211234,4,+=8+8112AFAFBFBFAFBFAB且则考向三抛物线的定义及其运用【例3】（1）已知抛物线22(0)ypxp上一点M，其横坐标为8，它到焦点F的距离为10，则点M的坐标为_____________；（2）已知点P在抛物线28xy上，点(2,4)A，F是焦点，则||||PFPA的最小值为_____________．【答案】（1）（-8,8）或（-8,8）（2）6200(1)=(8)10,=82-8)8,-8,8-8-8pMFxyyM【解析】由焦半径公式可得解得p4，故y由点（，在抛物线上，可得所以的坐标为（）或（，）。（2）因为2(2)84，所以点A在抛物线内部．如图，过点P，A分别作准线l的垂线，垂足分别为Q，B，则||||PFPQ，易知当A，P，Q三点共线时，||||PFPA最小，即||AB．易得点A到准线l的距离为4()4(2)62p【举一反三】1．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．【答案】172【解析】由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，当点P，A(0，【套路总结】1.抛物线中经常把点到焦点的距离转化为点到准线的距离，或者把点到准线的距离转化为点到焦点的距离，然后根据平面几何的有关知识求解．2.有关抛物线上一点P到抛物线焦点F与到已知点M（M在抛物线内）的距离之和的最小值问题，只要点P到抛物线准线l的距离与到点M的距离之和最小即可．由抛物线的图形可知，过点M作准线l的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F与到已知点M的距离之和最小．解题时注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短、点与直线上的点的连线中垂线段最短等．3.解决与抛物线焦点、准线距离有关的最值、定值问题时，首先要注意应用抛物线的定义进行转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短；三角形中三边间的不等关系；点与直线上点的连线中，垂线段最短等.2)，和抛物线的焦点F12，0三点共线时距离之和最小．所以最小距离d＝0－122＋（2－0）2＝172.2.已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标．【答案】72（2,2）【解析】如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|