2020年高考数学一轮复习 专题10.3 直线与圆的综合运用练习（含解析）

第三讲直线与圆的综合运用(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr相交；d＝r相切；dr相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ0相交；Δ＝0相切；Δ0相离.考向一直线与圆的位置关系【例1】（1）4．圆(𝑥−1)2+(𝑥+2)2=6与直线2𝑥+𝑥−5=0的位置关系是（）A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心D．相离（2）在△ABC中，若asinA＋bsinB－csinC＝0，则圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0的位置关系是________．（3）若直线3x＋4y－m＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0始终有公共点，则实数m的取值范围是________．【答案】（1）B（2）相切（3）[0,10]【解析】（1）由题意知圆心(1,−2)到直线2𝑥+𝑥−5=0的距离𝑥=|2×1−2−5|√22+12=√5√6且2×1+(−2)−5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．（2）因为asinA＋bsinB－csinC＝0，所以由正弦定理，得a2＋b2－c2＝0.故圆心C(0,0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离d＝|c|a2＋b2＝1＝r，故圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0相切．（3）圆的方程x2＋y2＋2x－4y＋4＝0化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，所以圆心为(－1,2)，半径r＝1，圆心到直线3x＋4y－m＝0的距离d＝|－3＋8－m|9＋16＝|5－m|5，∵直线3x＋4y－m＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0始终有公共点，∴0≤|5－m|5≤1，解得0≤m≤10，∴实数m的取值范围是[0,10]．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下【举一反三】1．若直线2𝑥+𝑥−2=0与圆(𝑥-1)2+(𝑥−𝑥)2=1相切，则a=______．【答案】±√5【解析】由题意，直线2𝑥+𝑥−2=0与圆(𝑥−1)2+(𝑥−𝑥)2=1相切，所以d=|2×1+𝑥−2|√22+12=1，解得𝑥=±√5．故答案为：±√5．2．若曲线𝑥=√1−𝑥2与直线𝑥=𝑥+𝑥始终有公共点，则实数𝑥的取值范围是（）A．[−1,√2]B．[−1,√2)C．[−√2,√2]D．[1,√2]【答案】A【解析】∵y=√1−𝑥2表示x2+y2=1在x轴上方的部分（包括x轴上的点），作出函数y=√1−𝑥2与y＝x+b图象，由图可知：当直线与圆相切时，d=|𝑥|√2=1，即得b=±√2,结合图像可知b=√2，又当直线过（1，0）时，b=-1，若曲线𝑥=√1−𝑥2与直线𝑥=𝑥+𝑥始终有公共点，则﹣1≤𝑥≤√2.故选：A．3．已知圆𝑥过点𝑥(2,1)，圆心为𝑥(5,−3)．【套路总结】直线与圆位置关系（或交点个数）的解题思路（1）把圆化成圆的标准方程22200()()xxyyr找出圆心00,xy和半径r（2）利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离0022AxByCdAB（3）d与r比较大小drdrdr相离，没有交点相切，一个交点相交，两个交点（1）求圆𝑥的标准方程；（2）如果过点𝑥(0,1)且斜率为𝑥的直线𝑥与圆𝑥没有公共点，求实数𝑥的取值范围．【答案】（1）(𝑥−5)2+(𝑥+3)2=25（2）(940,+∞)【解析】（1）由已知可得圆的半径为|𝑥𝑥|=√(5−2)2+(−3−1)2=5．∴圆𝑥的标准方程(𝑥−5)2+(𝑥+3)2=25；（2）由题意可知，直线方程为𝑥=𝑥𝑥+1，即𝑥𝑥−𝑥+1=0．由|5𝑥+3+1|√𝑥2+15，解得𝑥940．∴实数𝑥的取值范围是(940,+∞)．考向二直线与圆的弦长【例2】（1）直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长为________．（2）已知直线𝑥𝑥+𝑥−3=0与圆𝑥:𝑥2+𝑥2=3交于𝑥,𝑥两点（𝑥为坐标原点），且|𝑥𝑥|=√3，则𝑥=。【答案】（1）23（2）±√3【解析】（1）∵圆x2＋y2＝4的圆心为点(0,0)，半径r＝2，∴圆心到直线x＋3y－2＝0的距离d＝|－2|2＝1，∴弦长AB＝24－1＝23.（2）因为直线𝑥𝑥+𝑥−3=0与圆𝑥:𝑥2+𝑥2=3交于𝑥,𝑥两点，且|𝑥𝑥|=√3所以圆的半径为𝑥=√3，|𝑥𝑥|2=√32由点到直线距离公式，可得圆心到直线的距离为𝑥=|−3|√𝑥2+12=3√𝑥2+1由垂径定理可得𝑥2+(|𝑥𝑥|2)2=𝑥2代入可得9𝑥2+1+34=3解方程可得𝑥=±√3【举一反三】1．圆𝑥：𝑥2+𝑥2−2𝑥=0被直线𝑥=√3𝑥截得的线段长为（）A．2B．√3C．1D．√2【套路总结】直线与圆弦长解题思路---垂定定理（1）把圆化成圆的标准方程22200()()xxyyr找出圆心00,xy和半径r（2）利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离0022AxByCdAB（3）利用弦长公式222lrd【答案】C【解析】圆𝑥：𝑥2+𝑥2−2𝑥=0的圆心为(1,0)，半径为1圆心到直线𝑥=√3𝑥的距离为𝑥=|√3|√3+1=√32，弦长为2•√1−(√32)2=1，故选C。2.圆𝑥：𝑥2+𝑥2−2𝑥=0被直线𝑥=𝑥截得的线段长为（）A．2B．√3C．1D．√2【答案】D【解析】因为圆𝑥：𝑥2+𝑥2−2𝑥=0的圆心为(1,0)，半径𝑥=1；所以圆心(1,0)到直线𝑥=𝑥的距离为𝑥=|1−0|√2=√22，因此，弦长=2√𝑥2−𝑥2=2√1−12=√2.故选D3．直线(𝑥+1)𝑥−𝑥𝑥+3𝑥+2=0被圆C:𝑥2+𝑥2=16所截的弦长的最小值为（）A．2√5B．6C．2√11D．8【答案】C【解析】直线(𝑥+1)𝑥−𝑥𝑥+3𝑥+2=0过定点M(−2,1)，当直线与CM垂直时弦长最短，圆的半径为4，圆心到定点M(−2,1)的距离为√5，所以弦长的最小值为2√𝑥2−𝑥2=2√16−5=2√11，故选:C.考向三切线问题【例3】已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；(3)过切点A(4，－1)．【答案】见解析【解析】(1)设切线方程为x＋y＋b＝0，则|1－2＋b|2＝10，∴b＝1±25，∴切线方程为x＋y＋1±25＝0.(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，则|2－2＋m|5＝10，∴m＝±52，∴切线方程为2x＋y±52＝0.(3)∵kAC＝－2＋11－4＝13，∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.【举一反三】1.已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是________．【答案】22【解析】如图，由题意知，圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心是C(1,1)，半径为1，由PA＝PB易知，四边形PACB的面积为12(PA＋PB)＝PA，故PA最小时，四边形PACB的面积最小．由于PA＝PC2－1，故PC最小时PA最小，此时CP垂直于直线3x＋4y＋8＝0，P为垂足，PC＝|3＋4＋8|5＝3，PA＝PC2－1＝22，所以四边形PACB面积的最小值是22.2．已知圆的方程为𝑥2+𝑥2=1，则在𝑥轴上截距为√2的圆的切线方程为（）A．𝑥=𝑥+√2B．𝑥=−𝑥+√2C．𝑥=𝑥+√2或𝑥=−𝑥+√2D．𝑥=1或𝑥=𝑥+√2【答案】C【解析】在𝑥轴上截距为√2且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为𝑥=𝑥𝑥+√2，则|√2|√𝑥2+1=1，所以𝑥=±1，故所求切线方程为𝑥=𝑥+√2或𝑥=−𝑥+√2.3．已知圆：𝑥2+(𝑥−1)2=2，则过点（1，2）作该圆的切线方程为（）A．x+4y-4=0B．2x+y-5=0C．x=2D．x+y-3=0【答案】D【解析】根据题意，设圆：𝑥2+(𝑥−1)2=2的圆心为M，且M（0，1），点N（1，2），有12+(2−1)2=2，则点N在圆上，则过点N的切线有且只有1条；则𝑥𝑥𝑥=2−12−0=1，则过点（1，2）作该圆的切线的斜率k=-1，切线的方程为y-2=-（x-1），变形可得x+y-3=0，故选：D．考向四圆上的点到直线距离最值【例4】圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－8＝0的最大距离与最小距离的差是________．【答案】52【解析】圆的方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝(32)2，圆心到直线的距离为|2＋2－8|2＝2232，故直线与圆相交，最小距离为0，最大距离为32＋22＝52.综上可得，圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－8＝0的最大距离与最小距离的差是52－0＝52.【举一反三】1．设A为圆𝑥2+𝑥2−4𝑥−4𝑥−10=0上一动点，则A到直线𝑥+𝑥−14=0的最大距离为________________．【答案】8√2.【解析】A为圆𝑥2+𝑥2−4𝑥−4𝑥−10=0上一动点,将圆化简得到(𝑥−2)2+(𝑥−2)2=18，圆心为（2，2），点到直线的距离最大时，就是圆心到直线的距离再加上半径即可，根据点到直线的距离公式得到|2+2−14|√2=5√2,𝑥=3√2,距离的最大值为3√2+5√2=8√2.故答案为：8√2.1．“33k”是“直线)2(:xkyl与圆221xy相切”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行【套路总结】圆上的点到直接距离最值的解题思路（1）把圆化成圆的标准方程22200()()xxyyr找出圆心00,xy和半径r（2）利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离0022AxByCdAB（3）判断位置关系maxminmaxminmaxmin200ddrdrddrddrrdrdddrdrd相离，相切，相交，【答案】A【解析】因为直线)2(:xkyl与圆221xy相切，所以2|2|31,31kkk.所以“33k”是“直线)2(:xkyl与圆221xy相切”的充分不必要条件.故选：A2．直线𝑥cos𝑥+𝑥sin𝑥=1与圆(𝑥−1)2+(𝑥−1)2=9的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不能确定【答案】C【解析】圆心到直线的距离𝑥=|cos𝑥+sin𝑥−1|√cos2𝑥+sin2𝑥=|√2sin(𝑥+𝑥)−1|，圆的半径为3，0⩽𝑥⩽√2+13，即直线与圆相交，故选：C.3．若直线𝑥=√33𝑥+2与圆𝑥:𝑥2+𝑥2=4相交于𝑥,𝑥两点，则线段𝑥𝑥中点的坐标为A．(−√32,32)B．(−√32,−32)C．(√32,32)D．(√32,−32)【答案】A【解析】根据题意，设AB的中点为M，圆C：x2+y2＝4的圆心为O，（0，0），直线𝑥：𝑥=√33𝑥+2与圆C：x2+y2＝4相交于A，B两点，则直线OM与直线AB垂直，则直线OM的方程为y=−√3x，M为直线AB与直线OM的交点，则有{𝑥=−√3𝑥𝑥=√3𝑥3+2，解可得：{𝑥=−√32𝑥=32，则M的坐标为（−√32，32）；故选：A．4．直线l与双曲线2212yx交于A，B两点，以AB为直径的圆C的方程为22240xyxym，则m（）A．