2020年高考数学一轮复习 专题10.1 直线方程及位置关系练习（含解析）

第一讲直线方程与位置关系一．直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角①定义．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴的正方向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.②范围：倾斜角的范围为．2．直线的斜率①定义．一条直线的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线与x轴平行或重合时,,.②过两点的直线的斜率公式．经过两点的直线的斜率公式为.3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．4.直线的倾斜角、斜率k之间的大小变化关系：（1）当时，越大，斜率越大；（2）当时，越大，斜率越大.二.直线的方程1.直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为：.这个方程就叫做直线点斜式方程.特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的斜截式方程.2.直线的两点式方程直线过两点其中，则直线的方程为：.这个方程叫做直线的两点式方程.0(90)tank＝l0tan00k11122212()()()PxyPxyxx，，，2121yykxx＝[0,)20,k(,)20,kl000(,)Pxykl)(00xxkyyl),0(blbkxyl),(),,(222211yxPxxP),(2121yyxxl),(2121121121yyxxxxxxyyyy【套路秘籍】---千里之行始于足下当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：.特别地，若直线过两点，则直线的方程为：，这个方程叫做直线的截距式方程.3.直线的一般式方程关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程.由一般式方程可得，B不为0时，斜率，截距三.两条直线平行与垂直1．两直线的平行关系(1)对于两条不重合的直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.2．两条直线的垂直关系(1)对于两条直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.四.距离问题1．两点间的距离公式设两点，则.2．点到直线的距离公式设点，直线，则点到直线的距离.3．两平行线间的距离公式设两条平行直线，则这两条平行线之间的距离.五.两条直线的交点21xxx1xx21yyy1yyl12(,0),(0,)(0)PaPbabl1xyabyx,0CByAxAkBCbB12,ll12,kk1212//llkk11112222:0,:0lAxByClAxByC1212211221//0,0llABABACAC12,ll12,kk12121llkk11112222:0,:0lAxByClAxByC1211220llABAB111222(,),(,)PxyPxy22122121()()PPxxyy000(,)Pxy:0lAxByC000(,)Pxy:0lAxByC0022AxByCdAB1122:0,:0lAxByClAxByC1222CCdAB1.两条直线相交：对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标.2.两条直线，联立方程组，若方程组有无数组解，则重合．六.对称问题1.中点坐标公式2．两条直线的垂直关系(1)对于两条直线，其斜率为，有.(2)对于两条直线，有.考向一直线的斜率和倾斜角【例1】（1）已知点𝐴(1,√3)，𝐴(−1,3√3)，则直线𝐴𝐴的倾斜角为。（2）已知直线的倾斜角α的余弦值为12，则此直线的斜率是。（3）已知点、、三点共线，则实数的值是。（4）已知两点，直线过点且与线段相交，直线的斜率的取值范围是.【答案】（1）120∘（2）3（3）-3（4）【解析】（1）因为直线𝐴𝐴的斜率为3√3−√3−1−1=−√3，所以倾斜角为120∘（3）根据三点共线，可以确定，即，解得．（4）如下图，直线的斜率为，直线的斜率为.由图可知直线的斜率的取值范围是.11112222:0,:0lAxByClAxByC12210ABAB11122200AxByCAxByC11112222:0,:0lAxByClAxByC11122200AxByCAxByC12,ll12,ll12,kk12121llkk11112222:0,:0lAxByClAxByC1211220llABAB3,5A4,7B1,Cxx(2,4),(1,1)ABl(0,2)CABlk[1,1]ABACkk7554313x3xAC42120ACkBC12110BCklk[1,1]【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【举一反三】1.若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是。【答案】（-2,1）【解析】∵过点和的直线的倾斜角为钝角∴直线的斜率小于0，即.∴∴2.已知直线方程为则直线的倾斜角为。3.直线的倾斜角的取值范围是_______.【答案】考向二直线的方程【例2】（1）过点P（﹣1，2），倾斜角为135°的直线方程为。（2）过点3,4P，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是.（3）求过点𝐴(1,3)，斜率是直线𝐴=−4𝐴的斜率的13的直线方程；（4）求经过点𝐴(−5,2)，且在𝐴轴上的截距等于在𝐴轴上截距的2倍的直线方程。.【答案】（1）𝐴+𝐴−1=0（2）4x﹣3y=0或x+y﹣7=0．（3）4𝐴+3𝐴−13=0.xyl1231234OABCDxyl1231234OABCD,3300sin300cosyxsin30xyR3,44（4）𝐴+2𝐴+1=0或2𝐴+5𝐴=0.【解析】（1）𝐴+𝐴−1=0。由题意，直线的倾斜角为1350，所以𝐴=tan1350=−1，由直线的点斜式方程可得过点𝐴(−1,2)直线方程为𝐴−2=−1×(𝐴+1)，即所求直线为𝐴+𝐴−1=0。(2)4x﹣3y=0或x+y﹣7=0．当直线过原点时，直线方程为y=43x，即4x﹣3y=0；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a．则3+4=a，得a=7．∴直线方程为x+y﹣7=0．∴过点M（3，4）且在坐标轴上截距相等的直线方程为4x﹣3y=0或x+y﹣7=0．（3）4𝐴+3𝐴−13=0所设求直线的斜率为𝐴，依题意𝐴=(−4)×13=−43∵直线经过点𝐴(1,3)∴所求直线方程为𝐴−3=−43(𝐴−1)，即4𝐴+3𝐴−13=0.（4）𝐴+2𝐴+1=0或2𝐴+5𝐴=0当直线不过原点时，设所求直线方程为𝐴2𝐴+𝐴𝐴=1(𝐴≠0)将（-5,2）代入所设方程，解得𝐴=12，所求直线方程为𝐴+2𝐴+1=0；当直线过原点时，设所求直线方程为𝐴=𝐴𝐴，将（-5,2）代入所设方程，解得𝐴=−25，所求直线方程为𝐴=−25𝐴，即2𝐴+5𝐴=0；综上：所求直线方程为𝐴+2𝐴+1=0或2𝐴+5𝐴=0.【举一反三】1.将直线绕点按逆时针方向旋转，求所得直线的方程.【答案】【解析】。直线的倾斜角为，点直线上，绕点按逆时针方向旋转，所得直线的倾斜角为，其斜率为，所以由点斜式方程得，.即为所求.3y=-(x-1)3A10（，）o603y=(x-1)33y=(x-1)33y=-(x-1)3o150A10（，）3y=-(x-1)3A10（，）o60o30333y=(x-1)32.已知直线l过点（1，2）且在x，y轴上的截距相等（1）求直线l的一般方程；（2）若直线l在x，y轴上的截距不为0，点,Pab在直线上，求33ab的最小值．【解析】（1）20xy或30xy（2）63（1）①截距为0时，②截距不为0时，综上l的一般方程：20xy或30xy由题意得:30lxy，3ab，332332363ababab33ab的最小值时63，当32ab时，等号成立考向三直线过定点【例3】直线𝐴𝐴+𝐴−𝐴+2=0恒经过定点。【答案】（1，-2）【解析】直线mx+y﹣m+2=0，化为：m（x﹣1）+y+2=0，可知直线经过（1，﹣2）．【举一反三】1．直线2𝐴𝐴+𝐴−6𝐴+1=0(𝐴∈𝐴)经过定点𝐴，则点𝐴为。【答案】（3，-1）【解析】∵直线2𝐴𝐴+𝐴−6𝐴+1=0(𝐴∈𝐴)的方程可化为𝐴+1=−2𝐴(𝐴−3)当𝐴=3，𝐴=−1时方程恒成立，∴直线过定点(3，−1)2．已知实数m,n满足2𝐴−𝐴=1，则直线𝐴𝐴−3𝐴+𝐴=0必过定点___________.【答案】(−2,−13)【解析】由已知得𝐴=2𝐴−1，代入直线𝐴𝐴−3𝐴+𝐴=0得𝐴𝐴−3𝐴+2𝐴−1=0，即(𝐴+2)𝐴+(−3𝐴−1)=0，由{𝐴+2=0−3𝐴−1=0，解得{𝐴=−2𝐴=−13，∴直线必过定点(−2,−13)，故答案为(−2,−13).3.若k、-1、b三个数成等差数列，则直线y=kx+b必经过定点。【答案】（1，-2）【解析】因为三个数成等差数列，所以k+b=2，所以当x=1时，y=k+b=-2，即直线过定点(1,-2)，考向四直线的位置关系【例4】已知直线.若，则实数的值是。【答案】0或-3.【解析】，则即经检验都符合题意【举一反三】1.设，分别是两条直线，的斜率，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C。【解析】因为是两条不同的直线，所以若，则，反之，若，则.故选择C.2.已知命题：“”，命题：“直线与直线互相垂直”，则命题是命题的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要【答案】A。【解析】命题中，直线的斜率是所以命题是命题成立的充分不必要条件.选A3.“”是“直线与直线垂直”的（）．A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】D4.已知直线：，直线：，若，则（）12:210,:20laxaylaxy12//lla12//ll12aaa230aa03aa或1k2k1l2l12//ll12kk12,ll12//ll12kk12kk12//llp1mq0xy20xmypqq20xmy1,211,1.mmpq2a210xay320axy1lsin10xy2l3cos10xy12llsin2A．B．C．D．【答案】D考向五距离【例5】（1）点到直线的距离是__________．（2）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是．【答案】（1）32(2)22【解析】（1）点到直线的距离是（2）由题意，，所以直线方程为，即，【举一反三】1.点到直线的距离是。【答案】2.【解析】由得，2．两条平行线12𝐴−5𝐴+10=0与12𝐴−5𝐴−16=0的距离是。【答案】2【解析】由两条平行线12𝐴−5𝐴+10=0与12𝐴−5𝐴−16=0，由两条平行线之间的距离公式可得𝐴=|10−(−16)|√122+(−5)2=23．当点3,2P到直线120mxym的距离最大时，m的值为。【答案】-1.233535351,1P10xy3430xy6140xmy1,1P10xy1113222346m8m68140xy3470xy2237234d4,23542yx542xyx34100xy