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8.3真题再现1．（2017•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是（）A．﹣15B．﹣9C．1D．9【答案】A【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：z＝2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A（﹣6，﹣3），则z＝2x+y的最小值是：﹣15．故选：A．2．（2017•新课标Ⅲ）设x，y满足约束条件则z＝x﹣y的取值范围是（）A．[﹣3，0]B．[﹣3，2]C．[0，2]D．[0，3]【答案】B【解析】x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z＝x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，由解得A（0，3），由解得B（2，0），目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3，目标函数的取值范围：[﹣3，2]．故选：B．3．（2017•新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】x，y满足约束条件的可行域如图：，则z＝x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由解得A（3，0），所以z＝x+y的最大值为：3．故选：D．4．（2017•新课标Ⅰ）设x、y、z为正数，且2x＝3y＝5z，则（）A．2x＜3y＜5zB．5z＜2x＜3yC．3y＜5z＜2xD．3y＜2x＜5z【答案】D【解析】x、y、z为正数，令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．则x＝，y＝，z＝．∴3y＝，2x＝，5z＝．∵＝＝，＞＝．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．则x＝，y＝，z＝．∴＝＝＞1，可得2x＞3y，＝＝＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．5．（2014•新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件且z＝x+ay的最小值为7，则a＝（）A．﹣5B．3C．﹣5或3D．5或﹣3【答案】B【解析】如图所示，当a≥1时，由，解得，y＝．∴．当直线z＝x+ay经过A点时取得最小值为7，∴，化为a2+2a﹣15＝0，解得a＝3，a＝﹣5舍去．当a＜1时，不符合条件．故选：B．6．（2014•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．1【答案】B【解析】作出不等式对应的平面区域，由z＝x+2y，得y＝﹣，平移直线y＝﹣，由图象可知当直线y＝﹣经过点A时，直线y＝﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（3，2），此时z的最大值为z＝3+2×2＝7，故选：B．7．（2019•天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣4x+y的最大值为（）A．2B．3C．5D．6【答案】C【解析】由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（﹣1，1），化目标函数z＝﹣4x+y为y＝4x+z，由图可知，当直线y＝4x+z过A时，z有最大值为5．故选：C．8．（2019•浙江）若实数x，y满足约束条件则z＝3x+2y的最大值是（）A．﹣1B．1C．10D．12【答案】C【解析】由实数x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z＝3x+2y为y＝﹣x﹣z，由图可知，当直线y＝﹣x﹣z过A（2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值：10．故选：C．9．（2019•北京）若x，y满足|x|≤1﹣y，且y≥﹣1，则3x+y的最大值为（）A．﹣7B．1C．5D．7【答案】C【解析】由作出可行域如图，联立，解得A（2，﹣1），令z＝3x+y，化为y＝﹣3x+z，由图可知，当直线y＝﹣3x+z过点A时，z有最大值为3×2﹣1＝5．故选：C．10．（2017•山东）若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜【答案】B【解析】∵a＞b＞0，且ab＝1，∴可取a＝2，b＝．则＝4，＝＝，log2（a+b）＝＝∈（1，2），∴＜log2（a+b）＜a+．故选：B．11．（2016•浙江）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y﹣2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝（）A．2B．4C．3D．6【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），区域内的点在直线x+y﹣2＝0上的投影构成线段R′Q′，即SAB，而R′Q′＝RQ，由得，即Q（﹣1，1）由得，即R（2，﹣2），则|AB|＝|QR|＝＝＝3，故选：C．12．（2015•福建）若直线＝1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】∵直线＝1（a＞0，b＞0）过点（1，1），∴+＝1（a＞0，b＞0），所以a+b＝（+）（a+b）＝2++≥2+2＝4，当且仅当＝即a＝b＝2时取等号，∴a+b最小值是4，故选：C．13．（2015•湖南）若实数a，b满足+＝，则ab的最小值为（）A．B．2C．2D．4【答案】C【解析】∵+＝，∴a＞0，b＞0，∵（当且仅当b＝2a时取等号），∴，解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C．14．（2014•重庆）若log4（3a+4b）＝log2，则a+b的最小值是（）A．6+2B．7+2C．6+4D．7+4【答案】D【解析】∵3a+4b＞0，ab＞0，∴a＞0．b＞0∵log4（3a+4b）＝log2，∴log4（3a+4b）＝log4（ab）∴3a+4b＝ab，a≠4，a＞0．b＞0∴＞0，∴a＞4，则a+b＝a+＝a+＝a+3+＝（a﹣4）++7+7＝4+7，当且仅当a＝4+2取等号．故选：D．15．（2013•福建）若2x+2y＝1，则x+y的取值范围是（）A．[0，2]B．[﹣2，0]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]【答案】D【解析】∵1＝2x+2y≥2•（2x2y），变形为2x+y≤，即x+y≤﹣2，当且仅当x＝y时取等号．则x+y的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故选：D．16．（2018•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x+5y的最大值为（）A．6B．19C．21D．45【答案】C【解析】由变量x，y满足约束条件，得如图所示的可行域，由解得A（2，3）．当目标函数z＝3x+5y经过A时，直线的截距最大，z取得最大值．将其代入得z的值为21，故选：C．17．（2018•新课标Ⅲ）若变量x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值是．【答案】3【解析】画出变量x，y满足约束条件表示的平面区域如图：由解得A（2，3）．z＝x+y变形为y＝﹣3x+3z，作出目标函数对应的直线，当直线过A（2，3）时，直线的纵截距最小，z最大，最大值为2+3×＝3，故答案为：3．18．（2018•新课标Ⅰ）若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为6．【答案】6【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝3x+2y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象知当直线y＝﹣x+z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大，最大值为z＝3×2＝6，故答案为：619．（2017•新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件，则z＝3x﹣2y的最小值为．【答案】-5【解析】由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z＝3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1＝﹣5．故答案为：﹣5．20．（2017•新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣4y的最小值为．【答案】-1【解析】由z＝3x﹣4y，得y＝x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y＝x﹣，由平移可知当直线y＝x﹣，经过点B（1，1）时，直线y＝x﹣的截距最大，此时z取得最小值，将B的坐标代入z＝3x﹣4y＝3﹣4＝﹣1，即目标函数z＝3x﹣4y的最小值为﹣1．故答案为：﹣1．21．（2016•新课标Ⅲ）设x，y满足约束条件，则z＝2x+3y﹣5的最小值为．【答案】-10【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，即A（﹣1，﹣1）．化目标函数z＝2x+3y﹣5为．由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（﹣1）+3×（﹣1）﹣5＝﹣10．故答案为：﹣10．22．（2016•新课标Ⅰ）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．【答案】216000【解析】（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z＝2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z＝2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100＝216000元．故答案为：216000．23．（2016•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最小值为．【答案】-5【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，4）．化目标函数z＝x﹣2y为y＝x﹣z，由图可知，当直线y＝x﹣z过B（3，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：3﹣2×4＝﹣5．故答案为：﹣5．24．（2016•新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件，则z＝x+y的最大值为．【答案】32【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z＝x+y的最大值为1+；故答案为：．25．（2015•新课标Ⅰ）若x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最大值为．【答案】4【解析】由约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝3x+y为y＝﹣3x+z，由图可知，当直线y＝﹣3x+z过B（1，1）时，直线在y轴上的截距最大，此时z有最大值为3×1+1＝4．故答案为：4．26．（2015•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．【答案】8【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，2）将A（3，2）的坐标代入目标函数z＝2x+y，得z＝2×3+2＝8．即z＝2x+y的最大值为8．故答案为：8．27．（2019•天津）设x＞0，y＞0，x+2y＝4，则的最小值为．【答案】92【解析】x＞0，y＞0，x+2y＝4，则＝＝＝2+；x＞0，y＞0，x+2y＝4，由基本不等式有：4＝x+2y≥2，∴0＜xy≤2，≥，故：2+≥2+＝；（当且仅当x＝2y＝2时，即：x＝2，y＝1时，等号成立），故的最小值为；故答案为：．28．（2019•北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为．【答案】(1)130(2)15【解析】①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60+80＝140（元），即有顾客需要支付140﹣10＝130（元）；②在促销活动中，设订单总金额为m元，可得（m﹣x）×80%≥m×70%，即有x≤，由题意可得m≥120，可得x≤＝15，则x的最大值为15元．故答案为：130，1529．（2018•北京）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是．【答案】3【解析】作出不等式组对应的平面区域如