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8.1线性规划一．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分二.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题注意事项：最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解有时唯一，有时有多个．三．可行域的判断方法1.直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．2.利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于Ax＋By＋C0或Ax＋By＋C0，则有①当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；②当B(Ax＋By＋C)0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．【套路秘籍】---千里之行始于足下考向一截距型【例1】已知变量𝑥，𝑥满足约束条件{𝑥+𝑥−1≤03𝑥−𝑥+1≥0𝑥−𝑥−1≤0，则𝑥=2𝑥+𝑥的最大值为__________．【答案】2【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）由𝑥=2𝑥+𝑥得𝑥=−2𝑥+𝑥，平移直线𝑥=−2𝑥+𝑥，由图象可知当直线𝑥=−2𝑥+𝑥经过点A时，直线𝑥=−2𝑥+𝑥的截距最大，即z最大.由𝑥+𝑥−1=0𝑥−𝑥−1=0，解得𝑥=1𝑥=0，即𝑥(1,0).将𝑥(1,0)代入𝑥=2𝑥+𝑥，得𝑥=2×1+0=2，即𝑥=2𝑥+𝑥的最大值为2.故答案为：2.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【举一反三】1．若变量𝑥,𝑥满足约束条件{𝑥≤1𝑥+𝑥≥03𝑥−2𝑥+5≥0，𝑥=2𝑥−𝑥，则𝑥的最小值为_______．【答案】−3【解析】由约束条件作出可行域，如下图阴影部分𝑥𝑥𝑥𝑥，由𝑥=2𝑥−𝑥有𝑥=2𝑥−𝑥，令𝑥=0,𝑥=2𝑥是经过原点的直线，将此直线向左上方平移时，当经过B点时，直线𝑥=2𝑥−𝑥的纵截距最大，此时𝑥的值最小，由{𝑥+𝑥=03𝑥−2𝑥+5=0得𝑥(−1,1),求得𝑥=2𝑥−𝑥=−3.【套路总结】一．线性规划问题的解题方法1.几何法(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将直线平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值．二．代入法(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)求点——联立方程求交点坐标(3)求值——将交点代入目标函数，进行比较，结果最大就是最大值，结果最小就是最小值．三．截距型：形如𝑧=𝑎𝑥+𝑏𝑦，求这类目标函数的最值常将函数𝑧=𝑎𝑥+𝑏𝑦转化为直线的斜截式：𝑦=−𝑎𝑏𝑥+𝑧𝑏，通过求直线的截距𝑧𝑏的最值间接求出𝑧的最值；2．已知实数𝑥,𝑥满足{2𝑥+3𝑥−6≥0𝑥−𝑥+2≤0𝑥≤4，则𝑥=𝑥−3𝑥+2的最大值为_______.【答案】-4【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，联立{2𝑥+3𝑥−6=0𝑥−𝑥+2=0，解得𝑥(0,2)，化目标函数𝑥=𝑥−3𝑥+2为𝑥=13𝑥−13𝑥+23，由图可知，当直线𝑥=13𝑥−13𝑥+23过点𝑥(0,2)时，直线在𝑥轴上的截距最小，𝑥有最大值为𝑥=0−3×2+2=−4.考向二斜率型【例2】（1）已知不等式组2x－y－2≥0，3x＋y－8≤0，x＋2y－1≥0，则z＝yx＋1的最大值与最小值的比值为。（2）已知实数𝑥，𝑥满足{𝑥−2𝑥−4≤0𝑥+1≥0𝑥−ln𝑥≤0，则𝑥=𝑥+𝑥+1𝑥的最大值是。（3）在平面直角坐标系中，不等式组x＋y≤0，x－y≤0，x2＋y2≤r2(r为常数)表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z＝x＋y＋1x＋3的最小值为。【答案】（1）－83（2）2（3）－75【解析】（1）如图所示，不等式组2x－y－2≥0，3x＋y－8≤0，x＋2y－1≥0所表示的平面区域为图中的阴影部分，易知z＝yx＋1表示平面区域内的点与定点P(－1,0)连线的斜率．由3x＋y－8＝0，2x－y－2＝0，可得x＝2，y＝2，故A(2,2)，由3x＋y－8＝0，x＋2y－1＝0，可得x＝3，y＝－1，故B(3，－1)，数形结合知AP的斜率最大，此时z＝yx＋1最大，故zmax＝23；BP的斜率最小，zmin＝－14.故z＝yx＋1的最大值与最小值的比值为－83.（2）作出可行域，如图阴影部分（含边界），𝑥=𝑥+𝑥+1𝑥=1+𝑥+1𝑥，其中𝑥+1𝑥表示可行域内的点(𝑥,𝑥)与定点𝑥(0,−1)连线的斜率，由𝑥=ln𝑥得𝑥′=1𝑥，设切点为(𝑥0,𝑥0)，则切线1𝑥0=𝑥0+1𝑥0，解得𝑥0=0，𝑥0=1，即切点为(1,0)，这P点的切线斜率为1，即𝑥+1𝑥的最大值为1，∴𝑥的最大值为1+1=2．（3）作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由题意，知14πr2＝π，解得r＝2.z＝x＋y＋1x＋3＝1＋y－2x＋3，表示可行域内的点与点P(－3,2)连线的斜率加上1，由图知当可行域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，则有|3k＋2|k2＋1＝2，解得k＝－125或k＝0(舍去)，所以zmin＝1－125＝－75.【举一反三】1．已知变量𝑥，𝑥满足{𝑥−2𝑥+4≥0𝑥≤2𝑥+𝑥−2≥0，则𝑥+1𝑥+2的取值范围是（）A.[14,1]B.[14,32]C.(−∞,14]∪[1,+∞)D.[1,32]【答案】B【解析】由约束条件{𝑥−2𝑥+4≥0𝑥≤2𝑥+𝑥−2≥0作出可行域如图所示：联立{𝑥−2𝑥+4=0𝑥+𝑥−2=0，解得{𝑥=0𝑥=2，即𝑥(0,2)；联立{𝑥=2𝑥+𝑥−2=0，解得{𝑥=2𝑥=0，即𝑥(2,0).𝑥+1𝑥+2的几何意义为可行域内的动点与定点𝑥(−2,−1)连线的斜率.∵𝑥𝑥𝑥=0−(−1)2−(−2)=14，𝑥𝑥𝑥=2−(−1)0−(−2)=32∴𝑥+1𝑥+2的取值范围是[14,32]故选B.2.已知(x，y)满足x≥0，y≥0，x＋y≤1，则k＝yx＋1的最大值为________．【套路总结】一．利用线性规划求最值，用图解法求解的步骤(1)作可行域；(2)将目标函数进行变形；(3)确定最优解；(4)求最值．二．斜率型形如,),)ybZxyabxa表示的是可行域任意一点（与定点（求斜率【答案】1【解析】画出可行域如图阴影部分(含边界)：因为k的几何意义为可行域内的点P(x，y)与定点A(－1，0)连线的斜率，则由图象可知AB的斜率最大，其中B(0,1)，此时k＝10＋1＝1.考向三距离型【例3】（1）若变量x，y满足约束条件x＋y－2≥0，x－2y＋6≥0，x≤2，则z＝(x－1)2＋y2的最大值为。（2）若𝑥，𝑥满足约束条件{𝑥+𝑥−2≤0𝑥−2𝑥+1≤02𝑥−𝑥+2≥0，则𝑥=𝑥2+𝑥2的最小值为__________．【答案】（1）17（2）15【解析】（1）z＝(x－1)2＋y2表示点(x，y)与点P(1,0)间距离的平方．画出约束条件所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知P(1,0)与A(2,4)间的距离最大，因此zmax＝(2－1)2＋42＝17.（2）作可行域，则𝑥=𝑥2+𝑥2的最小值为O到直线x-2y+1=0距离的平方，即为(1√1+22)2=15.1．若𝑥,𝑥满足约束条件{𝑥−𝑥+2≥0𝑥+𝑥−4≤0𝑥≥2，则𝑥2+(𝑥−3)2的最小值__________．【答案】12【解析】作出不等式组对应的平面区域，𝑥2+(𝑥−3)2的几何意义是区域内的点到点D（0，3）的距离的平方，则由图象知D到直线BC：𝑥−𝑥+2=的距离最小，此时最小值d=|−0−3+2|√2=1√2，则（x+2）2+（y+3）2的最小值为d2=（1√2）2=12，故答案为：12．2．设变量𝑥，𝑥满足约束条件{𝑥+𝑥≤4,3𝑥−2𝑥≥6,𝑥≥−1,则(𝑥−1)2+𝑥2的取值范围是__________．【答案】[913,17]【套路总结】形如Z=（z-a)2+（y-b)2表示的是可行域中的任意一点（x,y)与（a,b)两点间距离的平方【解析】由约束条件作出可行域，(𝑥−1)2+𝑥2的取值范围就是可行域里面的点与点（1，0）的距离的平方的取值范围，最小值为点（1，0）到直线3𝑥−2𝑥=6的距离的平方等于913，最大值为直线𝑥+𝑥=4与直线𝑥=−1的交点（5，-1）与（1，0）的距离平方等于17.考向四含有绝对值型【例4】已知实数x，y满足条件3x＋y－7≥0，x＋3y－13≤0，x－y－1≤0，则z＝|2x－3y＋4|的最大值为。【答案】6【解析】不等式组3x＋y－7≥0，x＋3y－13≤0，x－y－1≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(2,1)，B(1，4)．设t＝2x－3y，平移直线y＝23x，则直线经过点B时，t＝2x－3y取得最小值－10，直线经过点A时，t＝2x－3y取得最大值1，所以－6≤t＋4≤5，所以0≤z≤6.所以z的最大值为6.【举一反三】1．已知实数𝑥、𝑥满足条件{𝑥−𝑥+2≥0𝑥+𝑥−4≥02𝑥−𝑥−5≥0，则𝑥=|𝑥−5𝑥+2|的最大值为（）【套路总结】线性规划中的目标函数中若含有绝对值，则解题时可根据点到直线的距离公式求解，在求解过程中需要注意对目标函数进行相应的变形，使之变为距离的形式，如|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐|=√𝑎2+𝑏2⋅|𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐|√𝑎2+𝑏2，然后再根据数形结合求解．A.45B.49C.23D.1【答案】A【解析】可行域如图,B(3,1),C(7,9)，则𝑥−5𝑥+2表示可行域内的点与A（-2，5）连线斜率，其范围为[𝑥𝑥𝑥,𝑥𝑥𝑥]=[1−53+2,9−57+2]=[−45,49]，因此|𝑥−5𝑥+2|的最大值为45，选A.2．已知点𝑥(𝑥,𝑥)满足{𝑥−𝑥+1≥0𝑥+𝑥−1≤0𝑥≥0，|2𝑥+𝑥−6|+|𝑥−2𝑥+8|的取值范围是__________．【答案】[2,+∞).【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．∵|2𝑥+𝑥−6|+|𝑥−2𝑥+8|=√5(|2𝑥+𝑥−6|√5+|𝑥−2𝑥+8|√5)=√5(|2𝑥+𝑥−6|√5+|2𝑥−𝑥−8|√5)，∴|2𝑥+𝑥−6|+|𝑥−2𝑥+8|表示可行域内的点到直线2𝑥+𝑥−6=0和2𝑥−𝑥−8=0的距离之和的√5倍，结合图形可得|2𝑥+𝑥−6|+|𝑥−2𝑥+8|无最大值．由{2𝑥−𝑥−8=0𝑥+𝑥−1=0解得{𝑥=3𝑥=−2，所以点A的坐标为(3,−2)．此时|2𝑥+𝑥−6|+|𝑥−2𝑥+8|=2．由{2𝑥+𝑥−6=