2020年高考数学一轮复习 专题6.4 古典概型练习（含解析）

6.4古典概型1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型．(1)所有的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件的发生都是等可能的．3．如果1次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n.如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝mn.4．古典概型的概率公式P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.考向一古典概型【例1】(1)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为________．(2)袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为________．【答案】（1）25（2）56【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下【解析】（1）从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，∴所求概率P＝1025＝25.（2）设取出的2个球颜色不同为事件A，基本事件有：(白，红)，(白，黄)，(白，黄)，(红，黄)，(红，黄)，(黄，黄)，共6种，事件A包含5种，故P(A)＝56.【举一反三】1.某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为________．【答案】14【解析】记两个食堂为A，B，则甲、乙、丙在两个食堂用餐的所有情况有(A，A，A)，(A，A，B)，(A，B，A)，(A，B，B)，(B，A，A)，(B，A，B)，(B，B，A)，(B，B，B)，共8种，其中他们在同一个食堂用餐有2种情形，概率为28＝14.2．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（）A．12B．13C．14D．15【答案】C【解析】（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁，乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都送给丁）共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，【套路总结】求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种，概率是：14，故选：C．3．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如835，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为（）A．16B．112C．114D．115【答案】D【解析】不超过14的素数有2，3，5，7，11，13共6个，从这6个素数中任取2个，有2与3，2与5，2与7，2与11，2与13，3与5，3与7，3与11，3与13，5与7，5与11，5与13，7与11，7与13，11与13共15种结果，其中和等于14的只有一组3与11，所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为115,故选D.考向二古典概型与统计的综合应用【例2】某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数；(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数；(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率．【答案】（1）12（2)30(3)815【解析】(1)由题意知，样本数据的平均数x＝4＋6＋12＋12＋18＋206＝12.(2)样本中优秀服务网点有2个，概率为26＝13，由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有90×13＝30(个)．(3)样本中优秀服务网点有2个，分别记为a1，a2，非优秀服务网点有4个，分别记为b1，b2，b3，b4，从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15种，记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M，则事件M包含的可能情况有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8种，故所求概率P(M)＝815.【举一反三】1．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．【答案】（1）1、3、2（2）415.【解析】(1)A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为6300＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．所以P(D)＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为4151．一个袋中有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为（）.A．132B．164C．364D．332【答案】D【解析】基本事件为(1,1),(1,2),…,(1,8),(2,1),(2,2),…,(8,8),共64种.两球编号之和不小于15的情况有三种,分别为(7,8),(8,7),(8,8),∴所求概率为364.故选D.2．从含有3个元素的集合,,abc的所有子集中任取一个，所取得子集是含有2个元素的集合的概率（）A．310B．112C．4564D．38【答案】D【解析】因为含有3个元素的集合,,abc共有子集个数328，含有2个元素的子集有3个，所以38P,故选D.3．已知等差数列na中，nS为其前n项和，4S（其中为圆周率），422aa，现从此数列的前30项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率为()【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行A．1430B．1530C．1630D．1730【答案】A【解析】∵等差数列na中，nS为其前n项和，4S（其中为圆周率），422aa，∴4111434 232Sadadad，解得110ad，∴1101010nnan，∴前30项中，第6至14项和第26项至第30项的余弦值是负数，∴现从此数列的前30项中随机选取一个元素，则该元素的余弦值为负数的概率为1430p，故选A．4．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A．110B．15C．310D．25【答案】D【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的基本事件总数n=55=25；抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)共有10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率102255P,故选D5．现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是.A．13B．14C．15D．16【答案】D【解析】把这三张卡片排序有“中国梦”，“中梦国”，“国中梦”，“国梦中”，“梦中国”，“梦国中”，共有6种能组成“中国梦”的只有1种，故所求概率为16本题正确选项：D6．盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为__________.【答案】23【解析】由题可知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有15种结果，满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有10种结果，所以根据等可能事件的概率得到102153P7．为了检验学习情况，某培训机构于近期举办一场竞赛活动，分别从甲、乙两班各抽取10名学员的成绩进行统计分析，其成绩的茎叶图如图所示（单位：分），假设成绩不低于90分者命名为“优秀学员”.（1）分别求甲、乙两班学员成绩的平均分（结果保留一位小数）；（2）从甲班4名优秀学员中抽取两人，从乙班2名80分以下的学员中抽取一人，求三人平均分不低于90分的概率.【答案】（1）见解析（2）56【解析】（1）甲组的平均分为88.1；乙组的平均分为89.0（2）抽取情况为：92，94，78；92，94，79；92，106，78；92，106，79；92，108，78；92，108，79；94，106，78；94，106，79；94，108，78；94，108，79；106，108，78；106，108，79．总共有12种．这12种平均分不低于90分的情况有10种．所以三人平均分不低于90分的概率为56．8．工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标𝑌进行检测，一共抽取了48件产品，并得到如下统计表．该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标𝑌有关，具体见下表.质量指标𝑌[9.4,9.8)[9.8,10.2](10.2,10.6]频数82416一年内所需维护次数201（1）以每个区间的中点值作为每组指标的代表，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标𝑌的平均值（保留两位小数）；（2）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标𝑌都在[9.8，10.2]内的概率；（3）已知该厂产品的维护费用为300元/次，工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加100元，该产品即可一年内免费维护一次.将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用.假设这48件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？【答案】（1）10．07；（2）15；（3）该服务值得购买【解析】（1）指标𝑌的平均值＝9．6×16+10×36+10．4×26≈10．07（2）由分层抽样法知，先抽取的6件产品中，指标𝑌在[9.4，9.8）内的有3件，记为𝑌1、𝑌2、𝑌3；指标𝑌在（10.2，10.6]内的有2