2020年高考数学一轮复习 专题5.3 平面向量的数量积及运用练习（含解析）

5.3平面向量数量积1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积拓展：向量数量积不满足：①消去律，即a·b＝a·c⇏b＝c；②结合律，即(a·b)·c⇏a·(b·c)．3．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)＝λa·b.(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示【套路秘籍】---千里之行始于足下模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y225．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ＝a·b|a||b|(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|＝a2＝x2＋y2，其中a＝(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题．6．向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．考向一数量积基本运算【例1】（1）平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1,1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于()A．13＋62B．25C.30D.34（2）已知向量a，b满足(2a－b)·(a＋b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b的夹角为______．（3）已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|PA→＋PB→＋PC→|的最大值为()A．6B．7C．8D．9【答案】（1）D（2）2π3（3）B【解析】（1）依题意得|a|＝2，a·b＝2×2×cos45°＝2，∴|3a＋b|＝3a＋b2＝9a2＋6a·b＋b2＝18＋12＋4＝34，故选D.（2）∵(2a－b)·(a＋b)＝6，∴2a2＋a·b－b2＝6，又|a|＝2，|b|＝1，∴a·b＝－1，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－12，又〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为2π3.（3）解法一：由圆周角定理及AB⊥BC，知AC为圆的直径．故PA→＋PC→＝2PO→＝(－4,0)(O为坐标原点)．设B(cosα，sinα)，∴PB→＝(cosα－2，sinα)，∴PA→＋PB→＋PC→＝(cosα－6，sinα)，|PA→＋PB→＋PC→|＝cosα－62＋sin2α＝37－12cosα≤37＋12＝7，当且仅当cosα＝－1时取等号，此时B(－1,0)，故|PA→＋PB→＋PC→|的最大值为7.故选B.解法二：同解法一得PA→＋PC→＝2PO→(O为坐标原点)，又PB→＝PO→＋OB→，∴|PA→＋PB→＋PC→|＝|3PO→＋OB→|≤3|PO→|＋|OB→|＝3×2＋1＝7，当且仅当PO→与OB→同向时取等号，此时B点坐标为(－1,0)，故|PA→＋PB→＋PC→|max＝7.故选B.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【举一反三】1.设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·(a－b)＝3，则a与b的夹角为________．【答案】π3【解析】由题意得a·(a－b)＝a2－a·b＝4－2×1×cosα＝4－2cosα＝3，【套路总结】一．平面向量数量积的类型及求法：1.平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式ab||||cosab；二是坐标公式ab1212xxyy.2.求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.二．求解平面向量模的方法1.写出有关向量的坐标，利用公式|a|＝x2＋y2即可．2.当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，|a|＝a2.三．求平面向量的夹角的方法1.定义法：cosθ＝a·b|a||b|，注意θ的取值范围为[0，π]．2.坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.3.解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解．四．求向量模及最值(范围)的方法1．代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解2．几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解3．利用绝对值三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求模的取值范围∴cosα＝12，∵0≤α≤π，∴α＝π3.2．已知向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|＝3，|AC→|＝2.若AP→＝λAB→＋AC→，且AP→⊥BC→，则实数λ的值为______．[答案]712【解析】∵AP→⊥BC→，∴AP→·BC→＝0，∴(λAB→＋AC→)·BC→＝0，即(λAB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝λAB→·AC→－λAB→2＋AC→2－AC→·AB→＝0.∵向量AB→与AC→的夹角为120°，|AB→|＝3，|AC→|＝2，∴(λ－1)|AB→||AC→|·cos120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712.3.设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值为________．【答案】4【解析】因为|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－12，〈a，b〉＝120°.如图所示，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则CA→＝a－c，CB→＝b－c，∠AOB＝120°.所以∠ACB＝60°，所以∠AOB＋∠ACB＝180°，所以A，O，B，C四点共圆．不妨设为圆M，因为AB→＝b－a，所以AB→2＝a2－2a·b＋b2＝12.所以|AB→|＝23，由正弦定理可得△AOB的外接圆即圆M的直径为2R＝|AB→|sin∠AOB＝4.所以当|OC→|为圆M的直径时，|c|取得最大值4.4.已知向量a，b，c，满足|a|＝2，|b|＝a·b＝3，若(c－2a)·c－23b＝0，则|b－c|的最小值是()A．2－3B．2＋3C．1D．2【答案】A【解析根据条件，设a＝(1,3)，b＝(3,0)，设c＝(x，y)，则(c－2a)·c－23b＝(x－2，y－23)·(x－2，y)＝0；∴(x－2)2＋(y－3)2＝3；∴c的终点在以(2，3)为圆心，3为半径的圆上，如图所示：∴|b－c|的最小值为2－32＋3－02－3＝2－3.故选A.5.在△ABC中，已知AB→＝(2,3)，AC→＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，则实数k的值为________．【答案】－23或113或3±132【解析】①若∠A＝90°，则有AB→·AC→＝0，即2＋3k＝0，解得k＝－23.②若∠B＝90°，则有AB→·BC→＝0，因为BC→＝AC→－AB→＝(－1，k－3)，所以－2＋3(k－3)＝0，解得k＝113.③若∠C＝90°，则有AC→·BC→＝0，即－1＋k(k－3)＝0，解得k＝3±132.综上所述，得k＝－23或113或3±132.考向二平面向量与其他知识的综合【例2】如图，在△ABC中，已知点D，E分别在边AB，BC上，且AB＝3AD，BC＝2BE.(1)用向量AB→，AC→表示DE→；(2)设AB＝9，AC＝6，A＝60°，求线段DE的长．【答案】372【解析】(1)∵AB＝3AD，BC＝2BE，∴DB→＝23AB→，BE→＝12BC→＝12(AC→－AB→)，∴DE→＝DB→＋BE→＝23AB→＋12AC→－12AB→＝16AB→＋12AC→.(2)AB→2＝81，AC→2＝36，AB→·AC→＝9×6×cos60°＝27，∴DE→2＝136AB→2＋16AB→·AC→＋14AC→2＝634，∴DE＝|DE→|＝634＝372.【举一反三】1.已知O是△ABC内部一点，OA→＋OB→＋OC→＝0，AB→·AC→＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为()A.33B.12C.32D.23【答案】A【套路总结】向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔b＝λa(a≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．【解析】∵OA→＋OB→＋OC→＝0，∴OA→＋OB→＝－OC→，∴O为三角形的重心，∴△OBC的面积为△ABC面积的13.∵AB→·AC→＝2，∴|AB→|·|AC→|cos∠BAC＝2.∵∠BAC＝60°，∴|AB→|·|AC→|＝4，△ABC面积为12|AB→|·|AC→|sin∠BAC＝3，∴△OBC的面积为33.故选A.2．过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若AF→＝FB→，BA→·BC→＝48，则抛物线的方程为()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝16xD．y2＝42x【答案】B【解析】如图所示，AF→＝FB→⇒F为线段AB中点，∵AF＝AC，∴∠ABC＝30°.由BA→·BC→＝48，得BC＝43，得AC＝4.∴由中位线的性质有p＝12AC＝2.故抛物线的方程为y2＝4x.故选B.3.已知O是坐标原点，点A(－1,2)，若点M(x，y)为平面区域x＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则OA→·OM→的取值范围是________．【答案】[1,4]【解析】作出点M(x，y)满足的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，设z＝OA→·OM→，因为A(－1,2)，M(x，y)，所以z＝OA→·OM→＝－x＋2y，即y＝12x＋12z.平移直线y＝12x，由图象可知，当直线y＝12x＋12z经过点C(0,2)时，截距最大，此时z最大，最大值为4，当直线y＝12x＋12z经过点B时，截距最小，此时z最小，最小值为1，故1≤z≤4，即1≤OA→·OM→≤4.1．向量,ab的夹角为120，1ab，2c，则2abc的最大值为（）A．23B．2C．23D．4【答案】C【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行【解析】22224414cos12043abaabb222222222222cos2,abcababccababcabcc343cos2,4743cos2,abcabc又cos2,1,1abc22274323abcmax223abc本题正确选项：