2020年高考数学一轮复习 专题5.1 平面向量的概念及线性运算练习（含解析）

5.1平面向量的概念及线性运算一．向量的有关概念名称定义表示方法注意事项向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)向量AB或a；模||AB或||a平面向量是自由向量零向量长度等于0的向量，方向是任意的记作0零向量方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量常用e表示非零向量a的单位向量是||aa平行向量方向相同或相反的非零向量a与b共线可记为ab0与任一向量平行或共线共线向量平行向量又叫共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量ab两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量ab0的相反向量为0二．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)【套路秘籍】---千里之行始于足下减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ0时，λa与a的方向相同；当λ0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾；(加法平行四边形)起点相同连对角；(减法三角形)共起点，连终点，指向被减．三．向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.四．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．考向一概念辨析【例1】判断下列各命题正确的是：(1)单位向量都相等；(2)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关；(3)若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；(4)若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始(5)两向量a，b相等的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.【答案】（2）（3)【解析】(1)不正确．(2)正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．(3)正确，∵AB→＝DC→，∴|AB→|＝|DC→|且AB∥DC.又∵A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD是平行四边形．反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC，且AB→与DC→方向相同．因此AB→＝DC→.(4)不正确，当b＝0时，a与c可以不共线．(5)不正确，当a∥b，但方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b.【举一反三】1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；③若A，B，C，D是不共线的四点，且AB→＝DC→，则四边形ABCD为平行四边形；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；【套路总结】1．相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．2．共线向量即平行向量，它们均与起点无关．相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量．3．向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．4．非零向量a与a|a|的关系：a|a|是a方向上的单位向量．5．向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．6.零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中真命题的序号是________．【答案】③【解析】①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b＝0，则a与c不一定共线；③正确，因为AB→＝DC→，所以|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；④错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．考向二平面向量的线性运算【例2】在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b，若点D满足BD→＝2DC→，则AD→等于()A.23b＋13cB.53c－23bC.23b－13cD.13b＋23c(2)在△ABC中，点M，N满足AM→＝2MC→，BN→＝NC→.若MN→＝xAB→＋yAC→，则x＝________，y＝______.(3)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC→＝3CD→，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若AO→＝xAB→＋(1－x)AC→，则x的取值范围是()A.0，12B.0，13C.－12，0D.－13，0【答案】（1）A（2）12－16（3）D【解析】（1）∵BD→＝2DC→，∴AD→－AB→＝BD→＝2DC→＝2(AC→－AD→)，∴3AD→＝2AC→＋AB→，∴AD→＝23AC→＋13AB→＝23b＋13c.（2）MN→＝MC→＋CN→＝13AC→＋12CB→＝13AC→＋12(AB→－AC→)＝12AB→－16AC→＝xAB→＋yAC→，∴x＝12，y＝－16.（3）设CO→＝yBC→，∵AO→＝AC→＋CO→＝AC→＋yBC→＝AC→＋y(AC→－AB→)＝－yAB→＋(1＋y)AC→.∵BC→＝3CD→，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，∴y∈0，13，∵AO→＝xAB→＋(1－x)AC→，∴x＝－y，∴x∈－13，0.【举一反三】1.如图，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在AD边上，且AD＝3AE，则用向量AB→，AC→表示CE→为()A.29AB→＋89AC→B.29AB→－89AC→C.29AB→＋79AC→D.29AB→－79AC→【答案】B【解析】由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得CE→＝AE→－AC→＝13AD→－AC→＝13(AB→＋13BC→)－AC→【套路总结】平面向量的线性运算1.进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．3.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.＝13AB→＋13AC→－AB→－AC→＝29AB→－89AC→.2.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若BE→＝λBA→＋μBD→(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.【答案】34【解析】∵E为线段AO的中点，∴BE→＝12BA→＋12BO→＝12BA→＋1212BD→＝12BA→＋14BD→＝λBA→＋μBD→，∴λ＋μ＝12＋14＝34.3.在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝23，BC＝2，点E在线段CD上，若AE→＝AD→＋μAB→，则μ的取值范围是________．【答案】0，12【解析】由题意可求得AD＝1，CD＝3，∴AB→＝2DC→.∵点E在线段CD上，∴DE→＝λDC→(0≤λ≤1)．∵AE→＝AD→＋DE→＝AD→＋λDC→，又AE→＝AD→＋μAB→＝AD→＋2μDC→，∴2μ＝λ，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.4.在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若AB→＝xAE→＋yAF→(x，y∈R)，则x－y＝________.【答案】2【解析】由题意得AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋12AD→，AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋12AB→，因为AB→＝xAE→＋yAF→，所以AB→＝x＋y2AB→＋x2＋yAD→，所以x＋y2＝1，x2＋y＝0，解得x＝43，y＝－23，所以x－y＝2.考向三共线定理及其运用【例3-1】已知O，A，B是不共线的三点，且OP→＝mOA→＋nOB→(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.【答案】见解析【解析】(1)若m＋n＝1，则OP→＝mOA→＋(1－m)OB→＝OB→＋m(OA→－OB→)，∴OP→－OB→＝m(OA→－OB→)，即BP→＝mBA→，∴BP→与BA→共线．又∵BP→与BA→有公共点B，∴A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，存在实数λ，使BP→＝λBA→，∴OP→－OB→＝λ(OA→－OB→)．又OP→＝mOA→＋nOB→.故有mOA→＋(n－1)OB→＝λOA→－λOB→，即(m－λ)OA→＋(n＋λ－1)OB→＝0.∵O，A，B不共线，∴OA→，OB→不共线，∴m－λ＝0，n＋λ－1＝0，∴m＋n＝1.【例3-2】(1)已知D为△ABC的边AB的中点．点M在DC上且满足5AM→＝AB→＋3AC→，则△ABM与△ABC的面积比为________．（2）已知ABC的重心为O，过O任做一直线分别交边,ABAC于,PQ两点，设,APmABAQnAC，则49mn的最小值是________．（3）已知数列na为等差数列，且满足12107OAaOBaOC，若ABAC（R），点O为直线BC外一点，则1009a（）【答案】（1）3∶5（2）253（3）12【解析】（1）由5AM→＝AB→＋3AC→，得2AM→＝2AD→＋3AC→－3AM→，即2(AM→－AD→)＝3(AC→－AM→)，即2DM→＝3MC→，故DM→＝35DC→，故△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5，故S△ABM∶S△ABC＝3∶5.11111343494()9()333333mn≥1343252333，当且仅当32时等号成立，即55,69mn时49mn取得最小值253．（3）∵数列{an}为等差数列，满足12107OAaOBaOC，其中A，B，C在一条直线上，O为直线AB外一点，∴a1+a2017=1，∵数列{an}是等差数列，∴{an}的1009121072aaa=1，100912a【举一反三】1.如图，△ABC中，在AC上取一点N，使AN＝13AC；在AB上取一点M，使AM＝13AB；在BN的延长线上取点P，使得NP＝12BN；在CM的延长线上取点Q，使得MQ→＝λCM→时，AP→＝QA→，试确定λ的值．【套路总结】共线向量定理的主要应用：(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使ABAC，则A，B，C三点共线．【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．【答案】12【解析】∵AP→＝NP→－NA→＝12(BN→－CN→)＝12(BN→＋NC→)＝12BC→，QA→＝MA→－MQ→＝12BM→＋λMC→，又AP→＝QA→，∴12BM→＋λMC→＝12BC→，即λMC→＝12MC→，∴λ＝12.2.在△ABC中，O为其内部一点，且满足OA→＋OC→＋3OB→＝0，则△AOB和△AOC的面积比是()A．3∶4B．3∶2C．1∶1D．1∶3【答案】D【解析】根据题意，如图，在△ABC中，M为AC的中点，则OA→＋OC→＝2OM→，又由OA→＋OC→＋3OB→＝0，则有2OM→＝－3OB→；从而可得B，O，M三点共线，且2OM＝3BO；由2OM＝3BO可得，S△AOCS△ABC＝OMBM＝35，S△AOB＋S△BOC＝25