2020年高考数学一轮复习 专题4.6 数列与其他知识的综合运用练习（含解析）

第六讲数列与其他知识的综合考向一数列与三角【例1】在等差数列{an}中，若a7＝π2，则sin2a1＋cosa1＋sin2a13＋cosa13＝________.【答案】0【解析】根据题意可得a1＋a13＝2a7＝π，2a1＋2a13＝4a7＝2π，所以有sin2a1＋cosa1＋sin2a13＋cosa13＝sin2a1＋sin(2π－2a1)＋cosa1＋cos(π－a1)＝0.【举一反三】1．设等差数列{an}的公差为π9，前8项和为6π，记tanπ9＝k，则数列{}tanantanan＋1的前7项和是________．【答案】11－7k2k2－1【解析】等差数列{an}的公差d为π9，前8项和为6π，可得8a1＋12×8×7×π9＝6π，解得a1＝1336π，tanantanan＋1＝tanan＋1－tanantanan＋1－an－1＝tanan＋1－tanantand－1，又tand＝tanπ9＝k，则数列{tanantanan＋1}的前7项和为1k(tana8－tana7＋tana7－tana6＋…＋tana2－tana1)－7＝1k(tana8－tana1)－7＝1ktan4136π－tan1336π－7＝1ktan536π－tan1336π－7＝1ktanπ4－π9－tanπ4＋π9－7＝1k1－k1＋k－1＋k1－k－7＝11－7k2k2－1.2.已知等差数列{an},a5=π2.若函数f(x)=sin2x+1,记yn=f(an),则数列{yn}的前9项和为.【答案】9【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行【解析】由题意,得yn=sin(2an)+1,所以数列{yn}的前9项和为sin2a1+sin2a2+sin2a3+…+sin2a8+sin2a9+9.由a5=π2,得sin2a5=0.∵a1+a9=2a5=π,∴2a1+2a9=4a5=2π,∴2a1=2π-2a9,∴sin2a1=sin(2π−2𝑎9)=-sin2a9.由倒序相加可得12(sin2a1+sin2a2+sin2a3+…+sin2a8+sin2a9+sin2a1+sin2a2+sin2a3+…+sin2a8+sin2a9)=0,∴y1+y2+y3+…+y8+y9=9.考向二数列与向量【例2】设数列{an}满足a2＋a4＝10，点Pn(n，an)对任意的n∈N*，都有向量PnPn＋1――→＝(1,2)，则数列{an}的前n项和Sn＝________.【答案】n2【解析】∵Pn(n，an)，∴Pn＋1(n＋1，an＋1)，∴PnPn＋1――→＝(1，an＋1－an)＝(1,2)，∴an＋1－an＝2，∴数列{an}是公差d为2的等差数列．又由a2＋a4＝2a1＋4d＝2a1＋4×2＝10，解得a1＝1，∴Sn＝n＋nn－12×2＝n2.【举一反三】1．在平面直角坐标系xOy中，直线𝑎经过坐标原点，𝑎⃗⃗⃗⃗=(3,1)是𝑎的一个法向量.已知数列{an}满足：对任意的正整数n，点(an+1,an)均在𝑎上，若a2=6，则a3的值为______．【答案】-2【解析】直线经过坐标原点，n⃗=(3,1)是𝑎的一个法向量，可得直线𝑎的斜率为−3，即有直线𝑎的方程为y=−3x，点(an+1,an)均在𝑎上，可得an=−3an+1，即有an+1=−13an，则数列{an}为公比q为−13的等比数列，可得a3=a2q=6×(−13)=−2．故答案为：−2．2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB→＝a1OA→＋a200·OC→，且A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，则S200＝________.【答案】100【解析】因为A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，所以a1＋a200＝1，所以S200＝200a1＋a2002＝100.考向四数列与函数【例4】已知数列{an}的通项公式为an＝－818n＋914n－312n(其中n∈N*)，若第m项是数列{an}中的最小项，则am＝________.【答案】－516【解析】令12n＝t，由an＝－818n＋914n－312n，得an＝－8t3＋9t2－3t.设f(t)＝－8t3＋9t2－3t，则f′(t)＝－24t2＋18t－3＝－3(2t－1)(4t－1)．∵0t＝12n≤12，且当0t14时，f′(t)0，当14t12时，f′(t)0，∴f(t)在0，14上单调递减，在14，12上单调递增．∴当t＝14，即n＝2时，an最小，∴am＝a2＝－8×182＋9×142－3×122＝－516，即am＝－516.【举一反三】1.已知函数f(x)是R上的单调递增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a30，则f(a1)＋f(a3)＋f(a5)的值()A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0D．可以为正数也可以为负数【答案】A【解析】因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，又f(x)是R上的增函数，所以当x0时，有f(x)f(0)＝0，当x0时，有f(x)f(0)＝0，因为a30，所以f(a3)0.因为数列{an}是等差数列，所以a1＋a52＝a30⇒a1＋a50⇒a1－a5⇒f(a1)f(－a5)，又f(－a5)＝－f(a5)，所以f(a1)＋f(a5)0，故f(a1)＋f(a3)＋f(a5)＝[f(a1)＋f(a5)]＋f(a3)0.2.若数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足cn＝an＋1bn＋1，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式(－1)nλTn＋n2n－1对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】见解析【解析】(1)∵数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.∴n＝1时，a1＋1＝2，解得a1＝1.又数列{an}是公差为2的等差数列，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.∴2nbn＝nbn＋1，化为2bn＝bn＋1，∴数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.∴bn＝2n－1.(2)由数列{cn}满足cn＝an＋1bn＋1＝2n2n＝n2n－1，数列{cn}的前n项和为Tn＝1＋22＋322＋…＋n2n－1，∴12Tn＝12＋222＋…＋n－12n－1＋n2n，两式作差，得∴12Tn＝1＋12＋122＋…＋12n－1－n2n＝1－12n1－12－n2n＝2－n＋22n，∴Tn＝4－n＋22n－1.不等式(－1)nλTn＋n2n－1，化为(－1)nλ4－22n－1，n＝2k(k∈N*)时，λ4－22n－1，取n＝2，∴λ3.n＝2k－1(k∈N*)时，－λ4－22n－1，取n＝1，∴λ－2.综上可得：实数λ的取值范围是(－2，3).1.已知数列{an}满足an＋2－an＋1＝an＋1－an，n∈N*，且a5＝π2，若函数f(x)＝sin2x＋2cos2x2，记yn＝f(an)，则数列{yn}的前9项和为()A．0B．－9C．9D．1【答案】C【解析】由已知可得，数列{an}为等差数列，f(x)＝sin2x＋cosx＋1，∴fπ2＝1.∵f(π－x)＝sin(2π－2x)＋cos(π－x)＋1＝－sin2x－cosx＋1，∴f(π－x)＋f(x)＝2，∵a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5＝π，∴f(a1)＋…＋f(a9)＝2×4＋1＝9，即数列{yn}的前9项和为9.2.等差数列{an}中的a1，a4033是函数f(x)＝13x3－4x2＋6x－1的极值点，则log2a2017＝()A.2B.3C.4D.5【答案】A【解析】因为f′(x)＝x2－8x＋6，依题意，a1，a4033是方程f′(x)＝x2－8x＋6＝0的两根，∴a1＋a4033＝8，则a2017＝4，故log2a2017＝log24＝2.3．已知函数f(x)在R上的图象是连续不断的一条曲线，当x0时，f(x)2，对任意的x，y∈R，f(x)＋f(y)＝f(x＋y)＋2成立，若数列{an}满足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝fanan＋3，n∈N*，则a2018的值为()A．2B.62×32017－1C.22×32017－1D.22×32016－1【答案】【解析】令x＝y＝0得f(0)＝2，所以a1＝2.【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行设x1，x2是R上的任意两个数，且x1x2，则x2－x10，因为当x0时，f(x)2，所以f(x2－x1)2，即f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－22＋f(x1)－2＝f(x1)，所以f(x)在R上是减函数．因为f(an＋1)＝fanan＋3，所以an＋1＝anan＋3，即1an＋1＝3an＋1，所以1an＋1＋12＝31an＋12，因为1a1＋12＝1，所以1an＋12是以1为首项，3为公比的等比数列，所以1an＋12＝3n－1，即an＝22×3n－1－1.所以a2018＝22×32017－1.4．若数列na对任意2()nnN满足11220nnnnaaaa，下面给出关于数列na的四个命题：①na可以是等差数列，②na可以是等比数列；③na可以既是等差又是等比数列；④na可以既不是等差又不是等比数列；则上述命题中，正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】∵数列{an}对任意n≥2（n∈N）满足（an﹣an﹣1﹣2）（an﹣2an﹣1）＝0，∴an﹣an﹣1＝2，或an＝2an﹣1，∴①{an}可以是公差为2的等差数列，正确；②{an}可以是公比为2的等比数列，正确；③若{an}既是等差又是等比数列，即此时公差为0，公比为1，由①②得，③错误；④{an}可以既不是等差又不是等比数列，错误；故选：B．5．已知数列{𝑎𝑎}，𝑎𝑎=−2𝑎2+𝑎𝑎,若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是()A．(－∞，6)B．(－∞，4]C．(－∞，5)D．(－∞，3]【答案】B【解析】数列{an}的通项公式是关于n(n∈N*)的二次函数，若数列是递减数列，则−𝑎2×(−2)≤1，即λ≤4.本题选择B选项.6.数列an＝1n（n＋1），其前n项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为()A.－10B.－9C.10D.9【答案】B【解析】由于an＝1n（n＋1）＝1n－1n＋1.∴Sn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1.因此1－1n＋1＝910，所以n＝9.所以直线方程为10x＋y＋9＝0.令x＝0，得y＝－9，所以在y轴上的截距为－9.7.对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，数列{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝()A.2B.2nC.2n＋1－2D.2n－1－2【答案】C【解析】因为an＋1－an＝2n，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n－2＋2＝2n，所以Sn＝2－2n＋11－2＝2n＋1－2.8．数1，m，9成等比数列，则圆锥曲线𝑎2𝑎+𝑎2=1的离心率为______．【答案】√63或2．【解析】∵1，m，9构成一个等比数列，∴𝑎2=1×9，则𝑎=±3．当𝑎=3时，圆锥曲线𝑎2𝑎+𝑎2=1是椭圆，它的离心率是√2√3=