2020年高考数学一轮复习 专题4.5 历史中的数列练习（含解析）

第五讲历史中的数列考向一等差数列【例1】程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要长幼分明，使孝悌的美德外传，则第八个孩子分得棉________斤．【答案】184【解析】根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996.由等差数列前n项和公式可得8a1＋8×72×17＝996，解得a1＝65.由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184.【举一反三】1.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是斤.【答案】184【解析】用a1,a2,…,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵斤数,由题意,得数列a1,a2,…,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,即8a1+8×72×17=996,解得a1=65.所以a8=65+7×17=184.2．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们．定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个整数中能被5除余2且被7除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{𝑎𝑎}，那么此数列的项数为（）A．58B．59C．60D．61【答案】A【解析】【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始由数能被5除余2且被7除余2的数就是能被35除余2的数，故𝑎𝑎＝2+（𝑎﹣1）35＝35𝑎﹣33．由𝑎𝑎＝35𝑎﹣33≤2019得𝑎≤58+2235，𝑎∈𝑎+，故此数列的项数为：58．故选：𝑎.考向二等比数列【例2】.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则此人第4天和第5天共走的路程为()A.60里B.48里C.36里D.24里【答案】C【解析】由题意，每天走的路程构成公比为12的等比数列.设等比数列的首项为a1，则a11－1261－12＝378，解得a1＝192，则a4＝192×18＝24，a5＝24×12＝12，a4＋a5＝24＋12＝36.所以此人第4天和第5天共走了36里.【举一反三】1.．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据问题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为________．【答案】8【解析】由题意知其每天织布尺数构成公比为2的等比数列，可设该女子第一天织布x尺，则x1－251－2＝5，解得x＝531，所以前n天织布的尺数为531(2n－1)，由531(2n－1)≥30，得2n≥187，又因为n为正整数，所以n的最小值为8.2．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为．【答案】12【解析】设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得28q，28,28q石，∴28q＋28＋28q＝98，∴q＝2或12.又0q1，∴q＝12.考向三新概念中的数列【例3】．记m＝d1a1＋d2a2＋…＋dnann，若{}dn是等差数列，则称m为数列{an}的“dn等差均值”；若{}dn是等比数列，则称m为数列{an}的“dn等比均值”．已知数列{an}的“2n－1等差均值”为2，数列{bn}的“3n－1等比均值”为3.记cn＝2an＋klog3bn，数列{}cn的前n项和为Sn，若对任意的正整数n都有Sn≤S6，求实数k的取值范围．【答案】135≤k≤114【解析】由题意得2＝a1＋3a2＋…＋2n－1ann，所以a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，所以a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－2(n≥2，n∈N*)，两式相减整理得an＝22n－1(n≥2，n∈N*)．当n＝1时，a1＝2，符合上式，所以an＝22n－1(n∈N*)．又由题意得3＝b1＋3b2＋…＋3n－1bnn，所以b1＋3b2＋…＋3n－1bn＝3n，所以b1＋3b2＋…＋3n－2bn－1＝3n－3(n≥2，n∈N*)，两式相减整理得bn＝32－n(n≥2，n∈N*)．当n＝1时，b1＝3，符合上式，所以bn＝32－n(n∈N*)．所以cn＝2n－1＋k(2－n)＝(2－k)n＋2k－1，易知数列{cn}是等差数列．因为对任意的正整数n都有Sn≤S6，所以c6≥0，c7≤0，解得135≤k≤114.【举一反三】1．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2；….设第n次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，…，xt,2，并记an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2n－1，n∈N*，求数列{an}的通项公式．【答案】an＝3n＋12(n∈N*)．【解析】an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，所以an＋1＝log2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·…·xt·(xt·2)·2]＝log2(12·x31·x32·x33·…·x3t·22)＝3an－1，所以an＋1－12＝3an－12，又a1－12＝log24－12＝32，所以数列an－12是一个以32为首项，以3为公比的等比数列，所以an－12＝32×3n－1，所以an＝3n＋12(n∈N*)．2．对于正项数列{an}，定义Hn＝na1＋2a2＋3a3＋…＋nan为{an}的“惠兰”值．现知数列{an}的“惠兰”值Hn＝1n，则数列{an}的通项公式为________．【答案】an＝2－1n(n∈N*)【解析】由题意得na1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝1n，即a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n2，①所以当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)2，②①－②得nan＝n2－(n－1)2＝2n－1，所以an＝2－1n(n≥2)．当n＝1时，a1＝1，也满足此通项公式，所以an＝2－1n(n∈N*)．1.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【解析】每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得S7＝a11－271－2＝381，解得a1＝3.2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝方得至其关．要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则第三天走了()A．60里B．48里C．36里D．24里【答案】B【解析】由题意得每天走的路程构成等比数列{an}，其中q＝12，S6＝378，则S6＝a11－1261－12＝378，解得a1＝192，所以a3＝192×14＝48.3．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有一女子擅长织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女子最后一天织布的尺数为()A．18B．20C．21D．25【答案】C【解析】依题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{an}，其中a1＝5，前30项和为390，于是有305＋a302＝390，解得a30＝21，即该织女最后一天织21尺布．4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n.第二步：将数列的各项乘以n，得数列(记为)a1，a2，a3，…，an.则a1a2＋a2a3＋…＋an－1an等于()A．n2B．(n－1)2C．n(n－1)D．n(n＋1)【答案】C【解析】a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝n1·n2＋n2·n3＋…＋nn－1·nn＝n211×2＋12×3＋…＋1n－1n＝n21－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝n2·n－1n＝n(n－1)．5．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的1份为()A.53B.56C.103D.116【答案】A6．《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）（结果精确到0.1．参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771．）A．2.2天B．2.4天C．2.6天D．2.8天【答案】C【解析】设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1=3，公比为12，其前n项和为An，则An=3(1−12𝑎)1−12.莞的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，其前n项和为Bn．则Bn=2𝑎−12−1，由题意可得：3(1−12𝑎)1−12=2𝑎−12−1，整理得：2n+62𝑎=7，解得2n=6，或2n=1（舍去）．∴n=log26=lg6lg2=1+lg3lg2≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等.故选：C．7．我国古代数学著作《九章算术》由如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为𝑎，现将该金杖截成长度相等的10段，记第𝑎段的重量为𝑎𝑎(𝑎=1,2,⋯,10)，且𝑎1𝑎2⋯𝑎10，若48𝑎𝑎=5𝑎，则𝑎=（）A．6B．5C．4D．7【答案】A【解析】由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{an}，设公差为d，则{2𝑎1+𝑎=22𝑎1+17𝑎=4，解得a1=1516，d=18，∴该金杖的总重量M=10×1516+10×92×18=15，∵48ai=5M，∴48[1516+（i﹣1）×18]=25，即39+6i=75，解得i=6，故选：A．8．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则，例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.146寸表示115寸146分（1寸=10分）.已知《易经》中记录的