第三讲利用递推公式求数列的通项公式1.递推数列(1)概念:数列的连续若干项满足的等量关系an+k=f(an+k-1,an+k-2,…,an)称为数列的递推关系.由递推关系及k个初始值确定的数列叫递推数列.(2)求递推数列通项公式的常用方法:构造法、累加(乘)法、归纳猜想法.2.数列递推关系的几种常见类型(1)公式法:形如Sn=f(n)或Sn=f(an)或Sn=f(n,an)(2)累加法:形如an-an-1=f(n)(n∈N*,且n≥2)当n∈N*,n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1.(3)累乘法:形如anan-1=f(n)(n∈N*且n≥2)当n∈N*,n≥2时,an=anan-1·an-1an-2·…·a2a1·a1.注意:n=1不一定满足上述形式,所以需要检验.(4)倒数法:(构造等差数列)形如11110nnnnnnnpaaakaaaqak整式或分式整式:两边同时除以1nnaa分式:两边同时取倒数(5)待定系数法①形如an=pan-1+q(n∈N*且n≥2)方法:化为an+qp-1=pan-1+qp-1的形式.令bn=an+qp-1,即得bn=pbn-1,{bn}为等比数列,从而求得数列{an}的通项公式.②形如an=pan-1+f(n)(n∈N*且n≥2)方法:两边同除pn,得anpn=an-1pn-1+fnpn,令bn=anpn,得bn=bn-1+fnpn,转化为利用累加法求bn若fnpn为常数,则{bn}为等差数列,从而求得数列{an}的通项公式.【套路秘籍】---千里之行始于足下考向一公式法【例1】(1)已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n,则an=________.(2)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=________.(3)已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n,则an=________.【答案】(1)4n-5(2)-63(3)∴an=2,n=1,2n-1n,n≥2.【解析】(1)当n=1时,a1=S1=2-3=-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5,由于a1也适合此等式,∴an=4n-5.(2)∵Sn=2an+1,当n≥2时,Sn-1=2an-1+1,∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1(n≥2).当n=1时,a1=S1=2a1+1,得a1=-1.∴数列{an}是首项a1=-1,公比q=2的等比数列,∴Sn=a11-qn1-q=-1×1-2n1-2=1-2n,∴S6=1-26=-63.(3)当n=1时,由已知,可得a1=21=2,∵a1+2a2+3a3+…+nan=2n,①∴a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2n-1(n≥2),②由①-②得nan=2n-2n-1=2n-1,∴an=2n-1n.显然当n=1时不满足上式,∴an=2,n=1,2n-1n,n≥2.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》,努力请从今日始【举一反三】1.已知数列{an}的前n项和Sn=3n+1,则an=________.【答案】4,n=1,2×3n-1,n≥2【解析】当n=1时,a1=S1=3+1=4;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=2×3n-1.当n=1时,2×31-1=2≠a1,所以an=4,n=1,2×3n-1,n≥2.2.设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=n3,则an=________.【答案】13n【解析】因为a1+3a2+32a3+…+3n-1an=n3,①则当n≥2时,a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=n-13,②①-②得3n-1an=13,所以an=13n(n≥2).由题意知a1=13符合上式,所以an=13n.【套路总结】使用条件:已知nnnnnSaSnSna式子含有与、与、与、等解题思路:①首项:看题目有无首项,无则令n=1根据11aS求出1a,如果题目已知1a,则直接进行②②列式:写出当2n时,1nS的表达式③相减:利用1(2)nnnaSSn,求出na或者转化为na的递推公式的形式;④检验:令n=1并代入na的通项公式并与第一步中的1a对比,如果相等,则通项就只有一道na;若不相等,则写出分段形式)2()1(11nssnaannn3.若数列{an}的前n项和Sn=23an+13,则{an}的通项公式是an=________.【答案】(-2)n-1【解析】当n=1时,a1=S1=23a1+13,即a1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=23an-23an-1,故anan-1=-2,所以数列{an}是以1为首项,-2为公比的等比数列.故an=(-2)n-1.考向二倒数法求通项【例2】(1)在数列{an}中,已知a1=1,an+1=2anan+2,则an=________.(2)已知在数列{}an中,a1=15,且当n≥2时,有an-1-an-4anan-1=0,则an=____________.【答案】(1)2n+1,n∈N*(2)14n+1(n∈N*)【解析】(1)由已知可知an≠0,∴1an+1=1an+12,即1an+1-1an=12,又1a1=1,∴1an是以1为首项,12为公差的等差数列,1an=1a1+(n-1)×12=n+12,∴an=2n+1,n∈N*.(2)由题意知an≠0,将等式an-1-an-4anan-1=0两边同除以anan-1得1an-1an-1=4,n≥2,则数列1an为等差数列,且首项为1a1=5,公差d=4,故1an=1a1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1,∴an=14n+1(n∈N*).【举一反三】1.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=________.【答案】-1n【解析】∵an+1=Sn+1-Sn,∴Sn+1-Sn=Sn+1Sn,又由a1=-1,知Sn≠0,∴1Sn-1Sn+1=1,∴1Sn是等差数列,且公差为-1,而1S1=1a1=-1,∴1Sn=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴Sn=-1n.2.若数列{an}的首项a1=12,且an=(an+1)an+1,则a200a300=________.【答案】301201【解析】an=(an+1)an+1,得an-an+1=anan+1且an≠0,所以1an+1-1an=1,即1an是以2为首项,1为公差的等差数列,1an=n+1,从而a200a300=301201.考向三累加法【套路总结】使用模型1--=f(annnpaaqar后前:型如分式、a)(其中,,pqr为常数)解题思路:第一步:将递推公式两边取倒数得111nnrqapap,当r=p时,111nnqaap,1{}na是等差数列当rp时,111nnrqapap采用构造法构造等比数列第二步:求出数列1{}na的通项公式;第三步:求出数列na通项公式.【例3】已知在数列{}an中,a1=0,an+1=an+2n-1,求an.【答案】an=(n-1)2【解析】由已知得an-an-1=2n-3,当n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(2n-3)+(2n-5)+…+1+0=(n-1)2.当n=1时,a1=0符合上式,所以an=(n-1)2,n∈N*.【举一反三】1.数列{}an满足a1=12,an=an-1+1n2-n(n≥2,n∈N*),求数列{}an的通项.【答案】an=32-1n(n∈N*).【解析】由an-an-1=1n2-n(n≥2,n∈N*)且a1=12,an-an-1=1n2-n=1n-1-1nan-1-an-2=1n-2-1n-1,…,a2-a1=1-12,各式累加整理得an=32-1n,n取1时,32-1=12=a1,所以an=32-1n(n∈N*).2.已知数列{𝑎𝑎},𝑎1=1,𝑎𝑎=𝑎𝑎−1+3𝑎(𝑎≥2,𝑎∈𝑎∗),则数列{𝑎𝑎}的通项公式𝑎𝑎=______.【套路总结】使用条件:型如1()nnaafn或1()nnaafn解题思路:第一步将递推公式写成1()nnaafn即),(nfaa前后f(n)表示n的函数第二步依次写出121,,nnaaaa,并将它们累加起来;第三步得到1naa的值,解出na;第四步检验1a是否满足所求通项公式,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式.注意:累加法一般只有(n-1)项【答案】3𝑎+1−72【解析】数列{𝑎𝑎},𝑎1=1,𝑎𝑎=𝑎𝑎−1+3𝑎(𝑎≥2,𝑎∈𝑎∗),可得𝑎2=𝑎1+32,𝑎3=𝑎2+33,𝑎4=𝑎3+34,…𝑎𝑎=𝑎𝑎−1+3𝑎,累加可得:𝑎𝑎=𝑎1+32+33+34+⋯+3𝑎=1+9(1−3𝑎−1)1−3=3𝑎+1−72.故答案为:3𝑎+1−72考向四类乘法【例4】已知在数列{}an中,a1=2,且nan+1=(n+2)an,求an.【答案】an=n(n+1)(n∈N*).【解析】由已知得an+1an=n+2n,当n≥2时,an=anan-1·an-1an-2·…·a2a1·a1=n+1n-1·nn-2·…·31·2=n(n+1),当n=1时,a1=2也符合上式,所以an=n(n+1)(n∈N*).【举一反三】1.已知在数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=n+23an.(1)求a2,a3;(2)求{an}的通项公式.【套路总结】使用条件:型如1()nnafna或1()nnaafn解题思路:第一步将递推公式写成1()nnafna第二步依次写出12232111aaaaaaaaaannnnn,此步骤固定第三步得到1naa的值,解出na;第四步检验1a是否满足所求通项公式,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式.【答案】【解析】(1)由S2=43a2,得3(a1+a2)=4a2,解得a2=3a1=3.由S3=53a3,得3(a1+a2+a3)=5a3,解得a3=32(a1+a2)=6.(2)由题设知a1=1.当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=n+23an-n+13an-1,整理,得an=n+1n-1an-1.于是a1=1,a2=31a1,a3=42a2,…,an-1=nn-2an-2,an=n+1n-1an-1,将以上n个等式两端分别相乘,整理,得an=nn+12.当n=1时,a1=1也符合上式,综上,{an}的通项公式an=nn+12,n∈N*.考向五待定系数法【例5】(1)已知数列{an}满足a1=2,an+1=2an+2,求数列{an}的通项公式.(2)已知在数列{}an中,a1=2,an+1=2an+3·2n,则an=________.【答案】(1)an=2n+1-2(n∈N*).(2)2n·32n-12,n∈N*【解析】(1)∵an+1=2an+2,∴an+1+2=2(an+2),又a1+2=4,∴{an+2}是以4为首项,2为公比的等比数列,∴an+2=4·2n-1,∴an=2n+1-2(n∈N*).(2)在递推关系an+1=2an+3·2n的两边同除以2n+1,得an+12n+1=an2n+32,令bn+1=an+12n+1,则bn+1=bn+32,b1=1,所以{bn}是以1为首项,32为公差的等差数列.所以bn=1+32(n-1)=32n-12,故an=2n·32n-12,n∈N*.【举一反三】1.已知数列{}an满足an=13an-1+2,a1=1,求数列{}an的通项公式.【答案