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第二讲等比数列一．等比数列的概念1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．递推公式形式的定义：anan－1＝q(n1)或an＋1an＝q，n∈N*.3．等比数列各项均不能为0.二.等比数列通项及求和公式1.通项公式：an＝a1qn－1(q≠0)；变形公式：an＝amqn－m①an＝a1q·qn②2.求和公式11(1)(1)1(1)nnaqqqSnaq或Sn＝a1－anq1－qq≠1，na1q＝1三．等比数列性质1.若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q=2t，则am·an＝ap·aq=at22.Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(Sm≠0)成等比数列.3.等比数列{an}满足a10，q1或a10，0q1时，{an}是递增数列；满足a10，0q1或a10，q1时，{an}是递减数列．考向一等比数列基本量的运算【例1】(1)设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________.(2)设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3＝7，且a1＋3，3a2.a3＋4构成等差数列，则an＝________.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下【答案】（1）-2（2）2n－1【解析】(1)由已知条件，得2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，即2Sn＝2Sn＋2an＋1＋an＋2，即an＋2an＋1＝－2.（2）由已知得：a1＋a2＋a3＝7，（a1＋3）＋（a3＋4）2＝3a2.解得a2＝2.设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝2q，a3＝2q.又S3＝7，可知2q＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得q1＝2，q2＝12.由题意得q＞1，所以q＝2，所以a1＝1.故数列{an}的通项为an＝2n－1.【举一反三】1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，S2＋a2，S3成等差数列，则数列{an}的公比为()A．1B．2C.12D．3【答案】D【解析】因为S1，S2＋a2，S3成等差数列，所以2(S2＋a2)＝S1＋S3,2(a1＋a2＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，a3＝3a2，q＝3。选D。2．正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋2a1，若存在am，an，使得aman＝16a21，则1m＋4n的最小值为()A.256B.134C.73D.32【答案】D【解析】由a3＝a2＋2a1得q2＝q＋2，∴q＝2(q＝－1舍去)，，所以{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．(2)解由(1)知，Sn－n＋2＝2n＋1，所以Sn＝2n＋1＋n－2，于是Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n＝41－2n1－2＋nn＋12－2n＝2n＋3＋n2－3n－8222．设数列na满足：11a，120nnaa．（Ⅰ）求na的通项公式及前n项和nS；（Ⅱ）若等差数列nb满足14ba，223baa，问：37b与na的第几项相等？【答案】（I）1(2)nna，1(2)3nnS（II）37b与数列{}na的第7项相等【解析】（Ⅰ）依题意，数列na满足：11a，12nnaa，所以na是首项为1，公比为2的等比数列.则na的通项公式为1(2)nna，由等比数列求和公式得到：前n项和1[1(2)]1(2)1(2)3nnnS.（Ⅱ）由(Ⅰ)可知，18b，26b，因为nb为等差数列，212dbb.所以nb的通项公式为210nbn.所以372371064b.令164(2)n，解得n=7.所以37b与数列{}na的第7项相等.