2020年高考数学一轮复习 专题3.5 三角函数的性质练习（含解析）

第五讲三角函数的性质一．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图像定义域RR{x|x≠π2+kπ,k∈Z}值域[-1,1][-1,1]R单调性在[2kπ-π2,2kπ+π2](k∈Z)上单调递增;在[2kπ+π2,2kπ+3π2](k∈Z)上单调递减在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上单调递增;在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减在(kπ-π2,kπ+π2)(k∈Z)上单调递增最值x=2kπ+π2(k∈Z)时,ymax=1;x=2kπ-π2(k∈Z)时,ymin=-1x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;x=2kπ+π(k∈Z)时,ymin=-1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(kπ,0)(k∈Z)对称中心(kπ+π2,0)(k∈Z)对称中心(π2k,0)(k∈Z)对称轴l:x=kπ+π2(k∈Z)对称轴l:x=kπ(k∈Z)【套路秘籍】---千里之行始于足下最小正周期2π2ππ二．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．（2）在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．考向一“五点法”作正、余弦函数的图象【例1】用“五点法”作出下列函数的简图．(1)y＝sinx－1，x∈[0,2π]；(2)y＝2＋cosx，x∈[0,2π]．【答案】见解析【解析】(1)列表：x0π2π32π2πsinx010－10sinx－1－10－1－2－1描点连线，如图【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始(2)列表：X0π2π32π2πcosx10－1012＋cosx32123描点连线，如图【举一反三】1．用“五点法”作出函数y＝2－sinx，x∈[0，2π]的图象．【答案】见解析【解析】列表如下：x0π2π3π22πsinx010－102－sinx21232描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．2.y＝|sinx|，x∈[0,4π]．【套路总结】用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤第一步：列表.ωx＋φ0π2π3π22πx－φωπ2ω－φωπω－φω3π2ω－φω2πω－φωy0A0－A0第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点，得到一个周期内的图象．【答案】见解析【解析】作y＝sinx，x∈[0,4π]的图象，并将x轴下方的部分翻转到x轴上方(原x轴上方的部分不变)，得y＝|sinx|的图象(如图②所示)．考向二周期【例2】求下列三角函数的周期：(1)y＝cos2x，x∈R；(2)y＝sin13x－π4，x∈R；(3)y＝|cosx|，x∈R.(4)y＝cos|x|.【答案】（1）π（2）6π（3）π(4)2π【解析】(1)因为cos2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos2x，由周期函数的定义知，y＝cos2x的周期为π.(2)因为sin13（x＋6π）－π4＝sin13x＋2π－π4＝sin13x－π4，由周期函数的定义知，y＝sin13x－π4的周期为6π.(3)y＝|cosx|的图象如图(实线部分)所示，由图象可知，y＝|cosx|的周期为π.(4)由于函数y＝cosx为偶函数，所以y＝cos|x|＝cosx，从而函数y＝cos|x|与y＝cosx的图象一样，因此最小正周期相同，为2π【举一反三】1.已知函数f(x)＝cosωx＋π4(ω0)的最小正周期为4，则ω＝________.【答案】π2【解析】f(x)＝cosωx＋π4(ω0)，由周期计算公式，可得T＝2πω＝4，解得ω＝π2.2．若函数f(x)＝sinωx＋π6(ω0)的最小正周期为π，则fπ3的值是________．【答案】12【解析】由题意，得2πω＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin2x＋π6.因此fπ3＝sin2π3＋π6＝sin5π6＝12.3．函数2()sin22cos1fxxx的最小正周期为（）A．B．2C．3D．4【答案】A【套路总结】求三角函数最小正周期的常用方法(1)公式法，将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式，再利用T＝2π|ω|求得；y＝Atan(ωx＋φ)＋B,T(2)图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期．【解析】由2sin22cos1fxxx，可得：2()sin2(2cos1)sin2cos22sin(2)4fxxxxxx，222T，所以本题选A。考向三单调性【例3】（1）函数f(x)＝tan2x＋π3的单调递增区间是____________．(2)已知函数f(x)＝2sinπ4－2x，则函数f(x)的单调递减区间为_______________（3）函数y＝12sinx＋32cosxx∈0，π2的单调递增区间是____________．（4）已知ω0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调递减，则ω的取值范围是______【答案】（1）kπ2－5π12，kπ2＋π12(k∈Z)（2）－π8＋kπ，3π8＋kπ(k∈Z)（3）0，π6（4）12，54【解析】（1）由kπ－π22x＋π3kπ＋π2(k∈Z)，得kπ2－5π12xkπ2＋π12(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan2x＋π3的单调递增区间为kπ2－5π12，kπ2＋π12(k∈Z)．（2）函数的解析式可化为f(x)＝－2sin2x－π4.由2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，得－π8＋kπ≤x≤3π8＋kπ(k∈Z)，即函数f(x)的单调递减区间为－π8＋kπ，3π8＋kπ(k∈Z)．（3）∵y＝12sinx＋32cosx＝sinx＋π3，由2kπ－π2≤x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得2kπ－5π6≤x≤2kπ＋π6(k∈Z)．∴函数的单调递增区间为2kπ－5π6，2kπ＋π6(k∈Z)，又x∈0，π2，∴函数的单调递增区间为0，π6.（4）由π2xπ，ω0，得ωπ2＋π4ωx＋π4ωπ＋π4，又y＝sinx的单调递减区间为2kπ＋π2，2kπ＋3π2，k∈Z，所以ωπ2＋π4≥π2＋2kπ，ωπ＋π4≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得4k＋12≤ω≤2k＋54，k∈Z.又由4k＋12－2k＋54≤0，k∈Z且2k＋540，k∈Z，得k＝0，所以ω∈12，54.【举一反三】1.函数f(x)＝cosx－sinx(x∈[－π，0])的单调增区间为________．【答案】－π，－π4【解析】由已知f′(x)＝－sinx－cosx＝－2sinx＋π4，【套路总结】求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数．当A＞0时，把ωx＋φ整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调增区间内，求得的x的范围即函数的增区间；整体放入y＝sinx或y＝cosx的单调减区间内，可求得函数的减区间．当A＜0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间．由f′(x)＝0且x∈[－π，0]，得x＝－π4，由f′(x)的图象(图略)可得，当x∈－π，－π4时，f′(x)0，当x∈－π4，0时，f′(x)0，∴函数f(x)的单调增区间为－π，－π4.2．若函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则实数a的取值范围是________．【答案】(－π，0]【解析】因为y＝cosx在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有当－πa≤0时满足条件，故a∈(－π，0]．3.若函数g(x)＝sin2x＋π6在区间0，a3和4a，7π6上均单调递增，则实数a的取值范围是________．【答案】π6，7π24【解析】由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，可得kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)，∴g(x)的单调递增区间为kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．又∵函数g(x)在区间0，a3和4a，7π6上均单调递增，∴a3≤π6，4a≥2π3，4a7π6，解得π6≤a7π24.考向四奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝2sin2x；(2)f(x)＝sin3x4＋3π2；(3)f(x)＝sin|x|；(4)f(x)＝1－cosx＋cosx－1.【答案】见解析【解析】(1)显然x∈R，f(－x)＝2sin(－2x)＝－2sin2x＝－f(x)，所以f(x)＝2sin2x是奇函数．(2)显然x∈R，f(x)＝sin3x4＋3π2＝－cos3x4，所以f(－x)＝－cos－3x4＝－cos3x4＝f(x)，所以函数f(x)＝sin3x4＋3π2是偶函数．(3)显然x∈R，f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，所以函数f(x)＝sin|x|是偶函数．(4)由1－cosx≥0，cosx－1≥0，得cosx＝1，所以x＝2kπ(k∈Z)，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．【举一反三】1.判断下列函数的奇偶性【套路总结】一．与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)；(3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)；(4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．二．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则①f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)；②f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)。(1)f(x)＝2sin(2x＋52π)；(2)f(x)＝2sinx－1；【答案】见解析【解析】(1)函数的定义域为R，f(x)＝2sin(2x＋52π)＝2sin(2x＋π2)＝2cos2x，显然有f(－x)＝f(x)成立．∴f(x)＝2sin(2x＋52π)为偶函数．(2)由2sinx－1≥0，即sinx≥12，得函数定义域为2kπ＋π6，2kπ＋56π(k∈Z)，此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称．∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．考向五对称性【例5-1】已知函数f(x)＝2sinωx＋π6(ω0)的最小正周期为4π，则该函数的图象()A．关于点π3，0对称B．关于点5π3，0对称C．关于直线x＝π3对称D．关于直线x＝5π3对称【答案】B【答案】函数f(x)＝2sinωx＋π6(ω0)的最小正周期是4π，而T＝2πω＝4π，所以ω＝12，即f(x)＝2sin12x＋π6。函数f(x)的对称轴为x2＋π6＝π2＋kπ，解得x＝23π＋2kπ(k∈Z)；函数f(x)的对称中心的横坐标为x2＋π6＝kπ，解得x＝2kπ－13π(k∈Z)，令k＝1得f(x)的一个对称中心53π，0。故选B。【例5-2】已知函数𝑦=sin(2𝑦+