2020年高考数学一轮复习 专题3.4 两角和差和二倍角练习（含解析）

第四讲两角和差与二倍角1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβcos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβsin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβsin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβtan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβtan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝2tanα1－tan2α.三．辅助角公式：asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中tanφ＝ba.考向一公式的简单运用【例1】计算：（1）sin347°cos148°＋sin77°cos58°（2）cos20°cos10°–sin160°sin10°【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下(3)tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°(4)3＋tan15°1－3tan15°；（5）sin110°sin20°cos2155°－sin2155°（6）2cos10°－sin20°sin70°【答案】（1）22（2）32（3）1（4）2＋3（5）12（6）3【解析】（1)sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝22.（2）cos20°cos10°–sin160°sin10°＝cos20°cos10°–sin20°sin10°＝cos30°32(3)∵tan45°＝tan15°＋tan30°1－tan15°tan30°＝1，∴tan15°＋tan30°＝1－tan15°tan30°∴原式＝1－tan15°tan30°＋tan15°tan30°＝1.(4)原式＝tan60°＋tan15°1－tan60°tan15°＝tan(60°＋15°)＝tan75°＝tan(30°＋45°)＝tan30°＋tan45°1－tan30°tan45°＝33＋11－33＝2＋3；（5）sin110°sin20°cos2155°－sin2155°＝sin70°sin20°cos310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.（6）原式＝2cos30°－20°－sin20°sin70°＝2cos30°cos20°＋sin30°sin20°－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝3.【举一反三】1.sin10°1－3tan10°＝.【答案】14【解析】sin10°1－3tan10°＝sin10°cos10°cos10°－3sin10°＝2sin10°cos10°412cos10°－32sin10°＝sin20°4sin30°－10°＝14.2.若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sinα＋π4＝.【答案】－7210【解析】∵α是第三象限角，∴sinα＝－1－cos2α＝－35，∴sinα＋π4＝－35×22＋－45×22＝－7210.3.tan10°＋tan50°＋3tan10°tan50°＝.【答案】3【解析】∵tan60°＝tan(10°＋50°)＝tan10°＋tan50°1－tan10°tan50°，∴tan10°＋tan50°＝tan60°(1－tan10°tan50°)＝3－3tan10°tan50°，∴原式＝3－3tan10°tan50°＋3tan10°tan50°＝3.4．化简1tan151tan15等于。【答案】3【解析】1tan15tan45tan15tan4515tan6031tan151tan45tan15考向二凑角【例2】(1)设α，β都是锐角，且cosα＝55，sin(α＋β)＝35，则cosβ＝.（2）已知tanα－π6＝37，tanπ6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为．(3)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π3的值为．【答案】（1）2525（2）1（3）2425【解析】（1）依题意得sinα＝1－cos2α＝255，因为sin(α＋β)＝35sinα且α＋βα，所以α＋β∈π2，π，所以cos(α＋β)＝－45.于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－45×55＋35×255＝2525.（2）∵tanα－π6＝37，tanπ6＋β＝25，∴tan(α＋β)＝tanα－π6＋π6＋β＝tanα－π6＋tanπ6＋β1－tanα－π6·tanπ6＋β＝37＋251－37×25＝1.（3）因为α为锐角，且cosα＋π6＝45，所以sinα＋π6＝1－cos2α＋π6＝35，所以sin2α＋π3＝sin2α＋π6＝2sinα＋π6cosα＋π6＝2×35×45＝2425.【举一反三】1.已知cosα＝55，α∈(－π，0)，tan(α＋β)＝1，则tanβ的值为．【答案】－3【解析】∵cosα＝55，α∈(－π，0)，∴sinα＝－255，【套路总结】（1）解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝α＋β2－α2＋β等(3)凑角基本思路∴tanα＝－2，故tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝1－－21＋1×－2＝－3.2已知sinα＝35，α∈π2，π，则cos2α2sinα＋π4＝.【答案】－75【解析】cos2α2sinα＋π4＝cos2α－sin2α222sinα＋22cosα＝cosα－sinα，∵sinα＝35，α∈π2，π，∴cosα＝－45，∴原式＝－75.3．已知cos(𝛼+𝛼4)=13，则sin2𝛼=__________．【答案】79【解析】∵cos(𝛼+𝛼4)=13∴cos(2𝛼+𝛼2)=2cos2(𝛼+𝛼4)−1=29−1=−79又cos(2𝛼+𝛼2)=−sin2𝛼∴sin2𝛼=79本题正确结果：794.已知cosπ6－θ＝33，则cos5π6＋θ－sin2θ－π6＝.【答案】－2－33【解析】由题意可知cos5π6＋θ－sin2θ－π6＝－cosπ6－θ＋cos2π6－θ－1＝－33－23.5.设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为．【答案】17250【解析】∵α为锐角且cosα＋π6＝450，∴α＋π6∈π6，π2，∴sinα＋π6＝35.∴sin2α＋π12＝sin2α＋π6－π4＝sin2α＋π6cosπ4－cos2α＋π6sinπ4＝2sinα＋π6cosα＋π6－222cos2α＋π6－1＝2×35×45－222×452－1＝12225－7250＝17250.考向三三角函数的恒等变化【例3】(1)化简：1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)；(2)求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°1tan5°－tan5°.(3)已知sinα＋cosβ＝13，sinβ－cosα＝12，则sin(α－β)＝.（4）已知α－β＝π3，tanα－tanβ＝3，则cos(α＋β)的值为【答案】（1）－cosθ（2）32（3）－5972（4）33－12【解析】(1)由θ∈(0，π)，得0θ2π2，∴cosθ20，∴2＋2cosθ＝4cos2θ2＝2cosθ2.又(1＋sinθ＋cosθ)sinθ2－cosθ2＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ2＝2cosθ2sin2θ2－cos2θ2＝－2cosθ2cosθ，故原式＝－2cosθ2cosθ2cosθ2＝－cosθ.(2)原式＝2cos210°2×2sin10°cos10°－sin10°cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos25°－sin25°sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10°＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin30°－10°2sin10°＝cos10°－212cos10°－32sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.（3）∵sinα＋cosβ＝13，sinβ－cosα＝12，∴(sinα＋cosβ)2＝19，(sinβ－cosα)2＝14，即sin2α＋2sinαcosβ＋cos2β＝19，①sin2β－2sinβcosα＋cos2α＝14.②①＋②得sin2α＋2sinαcosβ＋cos2β＋sin2β－2sinβcosα＋cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋(cos2β＋sin2β)＋2(sinαcosβ－sinβcosα)＝1＋1＋2sin(α－β)＝2＋2sin(α－β)＝1336，则sin(α－β)＝－5972.（4）∵tanα－tanβ＝sinαcosα－sinβcosβ＝sinα－βcosαcosβ＝3，且α－β＝π3，∴cosαcosβ＝36，又cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝12，∴sinαsinβ＝12－36，那么cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝33－12.【举一反三】1．化简：3cos10°－1sin170°·cos15°＋sin15°cos15°－sin15°＝.【答案】－43【解析】原式＝3sin10°－cos10°cos10°sin10°·1＋tan15°1－tan15°＝2sin10°－30°12sin20°·tan45°＋tan15°1－tan45°·tan15°＝－4·tan(45°＋15°)＝－43.2．化简：sin2α－2cos2αsinα－π4＝________.【答案】22cosα【解析】原式＝2sinαcosα－2cos2α22sinα－cosα＝22cosα.3．化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝________.【答案】12cos2x【解析】原式＝124cos4x－4cos2x＋12×sinπ4－xcosπ4－x·cos2π4－x＝2cos2x－124sinπ4－xcosπ4－x＝cos22x2sinπ2－2x＝c