2020年高考数学一轮复习 专题3.3 诱导公式练习（含解析）

第三讲诱导公式三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)－απ－απ＋απ2－απ2＋α正弦sinα－sinαsinα－sinαcosαcosα余弦cosαcosα－cosα－cosαsinα－sinα正切tanα－tanα－tanαtanα口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限对于角“kπ2±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”考向一诱导公式化简【例1-1】求下列各三角函数式的值：(1)sin1320°；(2)cos－31π6；(3)tan(－945°)．【答案】（1）（2）（3）【解析】(1)法一sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240°【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32.法二sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－32.(2)法一cos－31π6＝cos31π6＝cos4π＋7π6＝cos(π＋π6)＝－cosπ6＝－32.法二cos－31π6＝cos－6π＋5π6＝cosπ－π6＝－cosπ6＝－32.(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.【例1-2】化简cosα－π2sin5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．【答案】－sin2α【解析】原式＝sinαcosα·(－sinα)·cosα＝－sin2α.1．已知α为锐角，cos32π＋α＝45，则cos(π＋α)＝.【答案】－35【解析】∵cos32π＋α＝sinα＝45，且α为锐角，∴cosα＝35，∴cos(π＋α)＝－cosα＝－35.【套路总结】(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.2.化简：tanπ＋αcos2π＋αsinα－3π2cos－α－3πsin－3π－α＝.【答案】－1【解析】原式＝tanαcosαsin－2π＋α＋π2cos3π＋α[－sin3π＋α]＝tanαcosαsinπ2＋α－cosαsinα＝tanαcosαcosα－cosαsinα＝－tanαcosαsinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.3.计算：(1)sin(－31π6)－cos(－10π3)；(2)7cos270°＋3sin270°＋tan765°；(3)cos(－120°)sin(－150°)＋tan855°.【答案】（1）1（2）-2（3）－34【解析】(1)原式＝－sin(4π＋7π6)－cos(2π＋4π3)＝－sin(π＋π6)－cos(π＋π3)＝sinπ6＋cosπ3＝12＋12＝1.(2)原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＝－7cos90°－3sin90°＋tan45°＝0－3＋1＝－2.(3)原式＝cos120°(－sin150°)＋tan855°＝－cos(180°－60°)sin(180°－30°)＋tan(135°＋2×360°)＝－(－cos60°)sin30°＋tan135°＝－(－cos60°)sin30°＋tan(180°－45°)＝－(－cos60°)sin30°－tan45°＝12×12－1＝－34.考向二诱导公式与定义同角综合【例2】（1）已知cosα＝15，－π2α0，则cosπ2＋αtanα＋πcos－αtanα的值为．(2)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则sin3π2＋θ＋2cosπ－θsinπ2－θ－sinπ－θ＝.(3)已知f(α)＝2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(sinα≠0,1＋2sinα≠0)，则f－23π6＝.【答案】（1）612（2）32（3）3【解析】（1）∵－π2α0，∴sinα＝－1－152＝－256，∴tanα＝－26.则cosπ2＋αtanα＋πcos－αtanα＝－sinαtanα·cosα·tanα＝－1tanα＝126＝612.（2）由已知得tanθ＝3，∴sin3π2＋θ＋2cosπ－θsinπ2－θ－sinπ－θ＝－cosθ－2cosθcosθ－sinθ＝－31－tanθ＝32.（3）∵f(α)＝－2sinα－cosα＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα1＋2sinαsinα1＋2sinα＝1tanα，∴f－23π6＝1tan－23π6＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.考向三凑角【例3】（1）已知sinx＋π12＝13，则cosx＋712π的值为()A.13B．－13C．－232D.232（2）已知π1sin32，求πcos6的值．（3）已知cos(α－75°)＝13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．【答案】（1）B（2）12（3）223【解析】（1）因为sinx＋π12＝13，所以cosx＋712π＝cosπ2＋x＋π12＝－sinx＋π12＝－13。（2）cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α＝sinπ3－α＝12．（3）∵cos(α－75°)＝－13＜0，且α为第四象限角，∴α－75°是第三象限角．∴sin(α－75°)＝－1－cos2(α－75°)＝－1－－132＝－223．∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝223．【举一反三】1．已知sin(𝜋6−𝜋)=12，则sin(7𝜋6−𝜋)+sin2(𝜋3+𝜋)=()A．14B．34C．−14D．−12【套路总结】巧用相关角的关系能简化解题的过程．常见的互余关系有π3与π6，π3与π6，π4与π4等；常见的互补关系有π3与2π3，π4与3π4等.【答案】A【解析】∵已知sin(𝜋6−𝜋)=12，则sin(7𝜋6−𝜋)+sin2(𝜋3+𝜋)=−sin(𝜋6−𝜋)+1−cos2(𝜋3+𝜋)=−12+1−sin2(𝜋6−𝜋)=12−(12)2=14，故选：A．2.已知π1sin43，则πcos4的值等于()A．223B．223C．13D．13【答案】D【解析】∵π4＋α－α－π4＝π2，∴cosπ4＋α＝cosπ2＋α－π4＝－sinα－π4＝－13．故选D．3.已知sinπ6＋α＝33，求cosπ3－α的值．【答案】33【解析】∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴π3－α＝π2－π6＋α.∴cosπ3－α＝cosπ2－π6＋α＝sinπ6＋α＝33.4.已知cosπ6－α＝13，求cos5π6＋α·sin2π3－α的值．【答案】－19【解析】cos5π6＋α·sin2π3－α＝cosπ－π6－α·sinπ－π3＋α＝－cosπ6－α·sinπ3＋α＝－13sinπ2－π6－α＝－13cosπ6－α＝－19.1．已知tan(α－π)＝34，且α∈π2，3π2，则sinα＋π2＝.【答案】－45【解析】tan(α－π)＝tanα＝34，由sinαcosα＝34，sin2α＋cos2α＝1，解得cosα＝±45.又因为α∈π2，3π2，所以cosα＝－45，所以sinα＋π2＝cosα＝－45.2．sin43π·cos56π·tan－43π的值是．【答案】－334【解析】原式＝sinπ＋π3·cosπ－π6·tan－π－π3＝－sinπ3·－cosπ6·－tanπ3＝－32×－32×(－3)＝－334.3.函数f(x)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx，当0≤x≤π时，f(x)＝0，则f23π6＝.【答案】12【解析】∵函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx，当0≤x≤π时，f(x)＝0，∴f23π6＝f17π6＋sin17π6＝f11π6＋sin11π6＋sin17π6【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行＝f5π6＋sin5π6＋sin11π6＋sin17π6＝0＋12－12＋12＝12.4．设tanα＝3，则sinα－π＋cosπ－αsinπ2－α＋cosπ2＋α＝.【答案】2【解析】∵tanα＝3，∴原式＝－sinα－cosαcosα－sinα＝tanα＋1tanα－1＝3＋13－1＝2.5．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，则sin3π2＋θ＋cosπ－θsinπ2－θ－sinπ－θ＝.【答案】2【解析】∵角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，∴tanθ＝2，sin3π2＋θ＋cosπ－θsinπ2－θ－sinπ－θ＝－cosθ－cosθcosθ－sinθ＝2tanθ－1＝2.6.已知sinx＋π6＝13，则sinx－5π6＋sin2π3－x的值为．【答案】59【解析】由诱导公式得sinx－5π6＝－sinx＋π6＝－13，sin2π3－x＝cos2x＋π6＝89，则sinx－5π6＋sin2π3－x＝－13＋89＝59.7．sin(−2055°)=【答案】√6+√24【解析】sin(−2055°)=−sin2055𝜋=−sin(5×360𝜋+255𝜋)=−sin255𝜋=−sin(180𝜋+75𝜋)=sin75𝜋=sin(45𝜋+30𝜋)=√22×√32+√22×12=√6+√24;8．已知tan𝜋=3，则cos(π2−2𝜋)=。【答案】35【解析】由题意得cos(π2−2𝜋)=𝜋𝜋𝜋2𝜋=2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋=2𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋