2020年高考数学一轮复习 专题3.1 三角函数定义及运用练习（含解析）

第一讲三角函数的定义及运用一．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．(3)弧度制①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③弧度与角度的换算：360°＝2πrad；180°＝πrad；1°＝π180rad；1rad＝180π度．④弧长公式：l＝|α|r.二．任意角的三角函数1.定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝x2＋y20)．则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0)．2.三角函数在每个象限的正负如下表：三角函数第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinα＋＋－－cosα＋－－＋tanα＋－＋－3.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.【套路秘籍】---千里之行始于足下三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线考向一角度值、弧度制、终边相同角【例1】（1）sin53𝜋的值为（）A．−12B．−√32C．12D．√32（2）2100°的弧度数是（）A．35π3B．10πC．28π3D．25π3（3）角𝜋=−60°+𝜋⋅180°(𝜋∈𝜋)的终边落在（）A．第四象限B．第一、二象限C．第一象限D．第二、四象限【答案】（1）B（2）A（3）D【解析】（1）由题意可得：sin(53𝜋)=sin(2𝜋−𝜋3)=−sin𝜋3=−√32.故选：B.（2）由题意得2100∘=2100×π180=35π3，故选A.（3）令𝜋=0，𝜋=−60°，在第四象限；再令𝜋=1，𝜋=120°，在第二象限答案选D【举一反三】1．角－870°的终边所在的象限是第________象限．【答案】三【套路总结】1.弧度与角度的换算：360°＝2πrad；180°＝πrad；1°＝π180rad；1rad＝180π度．2.终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【解析】由－870°＝－1080°＋210°，知－870°角和210°角的终边相同，在第三象限．2.若角𝜋的顶点为坐标原点，始边在𝜋轴的非负半轴上，终边在直线𝜋=−√3𝜋上，则角𝜋的取值集合是（）A．{𝜋|𝜋=2𝜋𝜋−𝜋3,𝜋∈𝜋}B．{𝜋|𝜋=2𝜋𝜋+2𝜋3,𝜋∈𝜋}C．{𝜋|𝜋=𝜋𝜋−2𝜋3,𝜋∈𝜋}D．{𝜋|𝜋=𝜋𝜋−𝜋3,𝜋∈𝜋}【答案】D【解析】因为直线𝜋=−√3𝜋的倾斜角是2𝜋3，所以终边落在直线𝜋=−√3𝜋上的角的取值集合为{𝜋|𝜋=𝜋𝜋−𝜋3,𝜋∈𝜋}或者{𝜋|𝜋=𝜋𝜋+2𝜋3,𝜋∈𝜋}.故选D.3．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A，B，C的关系是（）A．𝜋=𝜋∩𝜋B．𝜋∪𝜋=𝜋C．A⊆B∩CD．𝜋=𝜋=𝜋【答案】B【解析】∵A={第一象限角}={𝜋|𝜋⋅360∘𝜋𝜋⋅360∘+90∘,𝜋∈𝜋}；B={锐角}={𝜋|0∘𝜋90∘}；C={小于90°的角}={𝜋|𝜋90∘}．∴B∪C＝{小于90°的角}＝C，即B⊂C，且B⊂A，则B不一定等于A∩C，A不一定是C的子集，三集合不一定相等，由集合间的关系可得𝜋∪𝜋=𝜋．故选B．考向二三角函数的定义【例2】（1）若点P（1，－2）是角a的终边上一点，则2cosa（）A．25B．35-C．35D．255（2）已知角α的终边与单位圆的交点为P－12，y，则sinα·tanα＝________.（3）在平面直角坐标系xOy中，点P在角2π3的终边上，且OP＝2，则点P的坐标为________．（4）如图，点A为单位圆上一点，3XOA点A沿单位圆逆时针方向旋转角到点B(-45，35)则cos=()A．33410B．43310C．34310D．34310【答案】（1）B（2）－32（3）(－1，3)（4）A【解析】（1）因为点P（1，－2）是角a的终边上一点，所以2222551(2)sina.所以2225321212()55cosasina.故选B.（2）由OP2＝14＋y2＝1，得y2＝34，y＝±32.当y＝32时，sinα＝32，tanα＝－3，此时，sinα·tanα＝－32.当y＝－32时，sinα＝－32，tanα＝3，此时，sinα·tanα＝－32.所以sinα·tanα＝－32.（3）由题意可知，点P在角2π3的终边上，所以xP＝2×cos2π3＝－1，yP＝2×sin2π3＝3，则点P的坐标为(－1，3)．（4）由题意得：43cos,sin3535coscos3313cossin23231433334252510故选A【举一反三】1．在平面直角坐标系xOy中，1322P，是角终边上的一点，则sin2（）【套路总结】三角函数定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝x2＋y20)．则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0)．A．12B．32C．12D．32【答案】B【解析】因为1322P，是角终边上的一点，所以由三角函数定义得31sin,cos22yxrr，所以3sin22sincos2故选：B．2.已知角α的终边经过点P(x，－6)，且tanα＝－35，则x的值为________．【答案】10【解析】根据三角函数的定义，得tanα＝－6x＝－35，所以x＝10.3．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为________．【答案】12【解析】由题意得点P(－8m，－3)，r＝64m2＋9，所以cosα＝－8m64m2＋9＝－45，解得m＝±12，又cosα＝－450，所以－8m0，即m0，所以m＝12.4．若角α的终边与直线y＝3x重合，且sinα0，又P(m，n)是角α终边上一点，且OP＝10，则m－n＝________.【答案】2【解析】由已知tanα＝3，∴n＝3m，又m2＋n2＝10，∴m2＝1.又sinα0，∴m＝－1，n＝－3.故m－n＝2.5．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．【答案】－12，32【解析】点P旋转的弧度数也为2π3，由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos2π3＝－12，y＝sin2π3＝32.考向三三角函数正负判断【例3】（1）如果sin𝜋0且tan𝜋0，则角𝜋的终边可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)设θ是第三象限角，且cosθ2＝－cosθ2，则θ2是第________象限角．【答案】（1）D（2）二【解析】（1）由sin𝜋0，则角𝜋为位于第三、四象限，又由tan𝜋0，则角𝜋为位于第二、四象限，所以角𝜋为位于第四象限，故选D．（2）由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角，∵cosθ2＝－cosθ2，∴cosθ20，综上可知，θ2为第二象限角．【举一反三】1.若sinθ·cosθ0，sinθ＋cosθ0，则θ在第________象限．【答案】三【解析】∵sinθ·cosθ0，∴sinθ0，cosθ0或sinθ0，cosθ0.当sinθ0，cosθ0时，θ为第一象限角，当sinθ0，cosθ0时，θ为第三象限角．∵sinθ＋cosθ0，∴θ为第三象限角．2．若α是第三象限角，则y＝sinα2sinα2＋cosα2cosα2＝________.【答案】0【解析】由于α是第三象限角，所以α2是第二或第四象限角．当α2是第二象限角时，y＝sinα2sinα2＋－cosα2cosα2＝1－1＝0；当α2是第四象限角时，y＝－sinα2sinα2＋cosα2cosα2＝－1＋1＝0.综上可知，y＝0.【套路总结】三角函数在每个象限正负的判断1.方法一：一全正，二正弦，三正切，四余弦2.方法二：正弦看y轴，余弦看x轴，正切一三正二四负。考向四三角函数线运用【例4】(1)满足cosα≤－12的角的集合是________．(2)若－3π4α－π2，从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小关系是_______【答案】（1）α2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z（2）sinαcosαtanα【解析】（1）作直线x＝－12交单位圆于C，D两点，连结OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为α2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z.（2）如图，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可知sinαcosαtanα.【举一反三】1.在(0,2π)内，使得sinxcosx成立的x的取值范围是________．【答案】π4，5π4【解析】当x∈π2，π时，sinx0，cosx≤0，显然sinxcosx成立；当x∈0，π4时，如图，OA为x的终边，此时sinx＝MA，cosx＝OM，sinx≤cosx；当x∈π4，π2时，如图，OB为x的终边，此时sinx＝NB，cosx＝ON，sinxcosx．同理当x∈π，5π4时，sinxcosx；当x∈5π4，2π时，sinx≤cosx.【套路总结】一．三角函数线的作法步骤(1)作直角坐标系和角的终边．(2)作单位圆，圆与角的终边的交点为P，与x轴正半轴的交点为A.(3)过点P作x轴的垂线，垂足为M.(4)过点A作x轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于点T.(5)有向线段MP，OM，AT即分别为角的正弦线，余弦线和正切线．二．利用三角函数线解简单不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点，一般来说，对于sinx≥b，cosx≥a(或sinx≤b，cosx≤a)，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围；对于tanx≥c(或tanx≤c)，则取点(1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．三．利用三角函数线比较大小的步骤①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．关键及注意点：①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向．2．函数y＝sinx－32的定义域为________________．【答案】2kπ＋π3，2kπ＋23π，k∈Z【解析】利用三角函数线(如图)，由sinx≥32，可知2kπ＋π3≤x≤2kπ＋23π，k∈Z.考向五弧度制及其运用【例5】（1）已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝π3，R＝10cm，求扇形的面积．(2)若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．(3)若例题条件改为：“若扇形周长为20cm