2020年高考数学一轮复习 专题2.13 利用导数求函数的单调性、极值、最值练习（含解析）

第十三讲利用导数求函数的单调性、极值、最值一．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．二．函数的极值(1)一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．三．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．考向一单调区间【例1】求下列函数的单调区间：（1）3()23fxxx；（2）2()lnfxxx.（3）)f(x)＝2x－x2.【答案】见解析【解析】（1）由题意得2()63fxx.令2()630fxx，解得22x或22x.当2(,)2x时，函数为增函数；当2(,)2x时，函数也为增函数.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下令2()630fxx，解得2222x.当22(,)22x时，函数为减函数.故函数3()23fxxx的单调递增区间为2(,)2和2(,)2，单调递减区间为22(,)22.（2）函数2()lnfxxx的定义域为(0,).1(21)(21)()2xxfxxxx.令()0fx，解得22x；令()0fx，解得202x.故函数2()lnfxxx的单调递增区间为2(,)2，单调递减区间为2(0,)2.(3)要使函数f(x)＝2x－x2有意义，必须2x－x2≥0，即0≤x≤2.∴函数的定义域为[0,2]．f′(x)＝(2x－x2)′＝12(2x－x2)－12·(2x－x2)′＝1－x2x－x2.令f′(x)＞0，则1－x2x－x2＞0.即1－x＞0，2x－x2＞0，∴0＜x＜1.∴函数的单调递增区间为(0,1)．令f′(x)＜0，则1－x2x－x2＜0，即1－x＜0，2x－x2＞0，∴1＜x＜2.∴函数的单调递减区间为(1,2)．【举一反三】【套路总结】用导数研究函数的单调性（1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内'()fx（）0（2）用导数求函数的单调区间①求函数的定义域D②求导'()fx③解不等式'()fx＞0得解集P④求DP,得函数的单调递增（减）区间。一般地，函数()fx在某个区间可导，'()fx＞0()fx在这个区间是增函数一般地，函数()fx在某个区间可导，'()fx＜0()fx在这个区间是减函数当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接1．函数y＝4x2＋1x的单调增区间为________．【答案】12，＋∞【解析】由y＝4x2＋1x，得y′＝8x－1x2(x≠0)，令y′0，即8x－1x20，解得x12，∴函数y＝4x2＋1x的单调增区间为12，＋∞.2．函数f(x)＝x·ex－ex＋1的单调增区间是________．【答案】(e－1，＋∞)【解析】由f(x)＝x·ex－ex＋1，得f′(x)＝(x＋1－e)·ex，令f′(x)0，解得xe－1，所以函数f(x)的单调增区间是(e－1，＋∞)．3．已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)的单调减区间是________．【答案】0，1e【解析】因为函数f(x)＝xlnx的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝lnx＋1(x0)，当f′(x)0时，解得0x1e，即函数f(x)的单调减区间为0，1e.4．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调增区间是_______．【答案】－π，－π2和0，π2【解析】f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx.令f′(x)＝xcosx0，则其在区间(－π，π)上的解集为－π，－π2∪0，π2，即f(x)的单调增区间为－π，－π2和0，π2.考向二极值【例2】求函数f(x)＝2xx2＋1－2的极值．【答案】见解析【解析】函数的定义域为R.f′(x)＝2x2＋1－4x2x2＋12＝－2x－1x＋1x2＋12.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘极小值↗极大值↘由表可以看出：当x＝－1时，函数有极小值，且f(－1)＝－22－2＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且f(1)＝22－2＝－1.【举一反三】1．求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值．【答案】见解析【解析】函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增↗10单调递减↘－22单调递增↗因此，x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝10；x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－22.【套路总结】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．（2）求函数fx极值的方法：①确定函数fx的定义域．②求导函数fx．③求方程0fx的根．④检查fx在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么fx在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么fx在这个根处取得极小值；如果fx在这个根的左、右两侧符号不变，则fx在这个根处没有极值．考向三最值【例3】求下列各函数的最值：(1)f(x)＝13x3－4x＋4，x∈[0,3]．(2)f(x)＝sin2x－x(x∈[－π2，π2])．【答案】见解析【解析】(1)因f(x)＝13x3－4x＋4，则f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)．令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,2)2(2,3)f′(x)－0＋f(x)↘－43↗所以当x＝2时，f(x)＝13x3－4x＋4有极小值，并且极小值为f(2)＝－43.又由于f(0)＝4，f(3)＝1，因此，函数f(x)＝13x3－4x＋4在[0,3]上的最大值是4，最小值是－43.(2)f′(x)＝2cos2x－1.令f′(x)＝2cos2x－1＝0，解得x1＝π6，x2＝－π6.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x－π2(－π2，－π6)－π6(－π6，π6)π6(π6，π2)π2f′(x)－0＋0－f(x)π2↘π－336↗33－π6↘－π2由上表可知f(x)的最大值是π2，最小值是－π2.【举一反三】1．求下列函数的最值：(1)f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，x∈[－3,1]；(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]．【答案】见解析【解析】(1)∵f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝23.∵f(－2)＝13，f(23)＝9527，f(－3)＝8，f(1)＝4，∴函数f(x)在区间[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.(2)∵f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)，∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0，即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.考向四利用导数判断图像【例4】已知函数()yfx的图象如图所示，则函数()yfx的图象可能是【套路总结】一．求函数f(x)在[a，b]上最值的方法（1）若函数f(x)在[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．（2）若函数f(x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f(x)在区间(a，b)上的极值，与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（3）函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.【答案】B【解析】由()yfx的图象及导数的几何意义可知，当0x时，()0fx；当0x时，()0fx；当0x时，()0fx，故B符合.【举一反三】3.已知f(x)=14x2+sin(π2+𝑥),f'(x)为f(x)的导函数,则f'(x)的图象是()【答案】A【解析】∵f(x)=14x2+sin(π2+𝑥)=14x2+cosx,∴f'(x)=12x-sinx,它是一个奇函数,其图象关于原点对称,故排除B,D.又[f'(x)]'=12-cosx,当-π3xπ3时,cosx12,∴[f'(x)]'0,故函数y=f'(x)在区间(-π3,π3)内单调递减,排除C.故选A.1．函数f(x)＝13x3－4x＋4的极大值为________．【答案】283【解析】f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行在(2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极大值为f(－2)＝283.2.函数y＝xex的最小值是________．【答案】－1e【解析】因为y＝xex，所以y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.当x－1时，y′0；当x－1时，y′0，所以当x＝－1时，函数取得最小值，且ymin＝－1e.3．函数f(x)＝12x2－lnx的最小值为________．【答案】12【解析】f′(x)＝x－1x＝x2－1x且x0.令f′(x)0，得x1.令f′(x)0，得0x1.∴f(x)在x＝1处取得极小值也是最小值，且f(1)＝12－ln1＝12.4.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是________．(填序号)①函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)；②函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)；③函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)；④函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)．【答案】④【解析】由题图可知，当x－2时，f′(x)0；当－2x1时，f′(x)0当1x2时，f′(x)0；当x2时，f′(x)0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．5.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是。【答案】(2,+∞)【解析】函数f(x)=(x-3)ex的导数为f'(x)=[(x-3)ex