2020年高考数学一轮复习 专题2.6 对数及对数函数练习（含解析）

第六讲对数及对数函数一．对数的概念(1)对数的定义①一般地，如果a(a0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么称b是以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．②底数的对数是1，即logaa＝1,1的对数是0，即loga1＝0.(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a0且a≠1)logaN常用对数底数为10lgN自然对数底数为elnN4.对数的性质与运算法则(1)对数的性质①logaNa＝N(a0且a≠1，N0)；②logaaN＝N(a0且a≠1)．(2)对数的重要公式①换底公式：logbN＝logaNlogab(a，b均大于零且不等于1，N0)；②logab＝1logba(a，b均大于零且不等于1)．(3)对数的运算法则如果a0且a≠1，M0，N0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logmnaM＝nmlogaM.【套路秘籍】---千里之行始于足下二．对数函数的定义1.形如y＝logax(a0，a≠1)的函数叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是单调增函数在(0，＋∞)上是单调减函数3.反函数指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数y＝logax(a0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．考向一对数的运算【例1】（1）lg22·lg250＋lg25·lg40＝.（2）若3a=5b=225，则1𝑎+1𝑎=。（4）若log𝑎2=𝑎，log𝑎5=𝑎，则𝑎3𝑎+𝑎=(。【答案】（1）1（2）12（3）40【解析】（1）lg22·lg250＋lg25·lg40＝lg22·lg10004＋(1－lg2)2·(2lg2＋1)＝lg22·(3－2lg2)＋(lg22－2lg2＋1)·(2lg2＋1)＝1.（2）∵3𝑎=5𝑎=225∴𝑎=log3225,𝑎=log5225则1𝑎+1𝑎=log2253+log2255=log22515=12（3）∵log𝑎2=𝑎，log𝑎5=𝑎，∴𝑎𝑎=2，𝑎𝑎=5∴𝑎3𝑎+𝑎=𝑎3𝑎⋅𝑎𝑎=23⋅5=40【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【举一反三】1．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示为．【答案】a－2【解析】log38－2log36＝log323－2(log32＋log33)＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.2．若3x＝4y＝36，则2x＋1y＝.【答案】1【解析】3x＝4y＝36，两边取以6为底的对数，得xlog63＝ylog64＝2，∴2x＝log63，2y＝log64，即1y＝log62，故2x＋1y＝log63＋log62＝1.3．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝.【答案】10【解析】由已知，得a＝log2m，b＝log5m，则1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2.解得m＝10.4．计算：1－log632＋log62·log618log64＝.【答案】1【解析】原式＝1－2log63＋log632＋log663·log66×3log64＝1－2log63＋log632＋1－log632log64＝21－log632log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.5.已知均不为1的正数a，b，c满足ax＝by＝cz，且1x＋1y＋1z＝0，求abc的值．【答案】1【套路总结】对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．【解析】令ax＝by＝cz＝k.由已知k0且k≠1，于是xlga＝ylgb＝zlgc＝lgk，故1x＝lgalgk，1y＝lgblgk，1z＝lgclgk.因为1x＋1y＋1z＝0，所以lga＋lgb＋lgclgk＝0，即lgabclgk＝0.故lg(abc)＝0，得abc＝1.6.设logaC，logbC是方程x2－3x＋1＝0的两根，求logabC的值．【答案】±55.【解析】由题意，得logaC＋logbC＝3，logaC·logbC＝1，即1logCa＋1logCb＝3，1logCa·logCb＝1，于是有logCa＋logCb＝3，logCa·logCb＝1，(logCa－logCb)2＝(logCa＋logCb)2－4logCa·logCb＝32－4＝5，故logCa－logCb＝±5.于是logabC＝logCab－1＝1logCa－logCb＝±55.7.方程33x－56＝3x－1的实数解为．【答案】x＝log32【解析】原方程可化为2(3x)2＋5·3x－18＝0，即(3x－2)(2·3x＋9)＝0,3x＝2(2·3x＝－9舍去)，得x＝log32.考向二对数函数的判断【例2】函数𝑎(𝑎)=(𝑎2+𝑎−5)log𝑎𝑎为对数函数，则𝑎(18)等于()A．3B．−3C．−log36D．−log38【答案】B【解析】因为函数𝑎(𝑎)为对数函数，所以函数𝑎(𝑎)系数为1，即𝑎2+𝑎−5=1，即𝑎=2或−3，因为对数函数底数大于0，所以𝑎=2，𝑎(𝑎)=log2𝑎，所以𝑎(18)=−3。【举一反三】【套路总结】对数函数的判断：对数函数的系数等于一、真数大于0、底数大于0且不等于1。1．下列函数是对数函数的是()A．𝑎=log3(𝑎+1)B．y=log𝑎(2𝑎)(a0,a≠1)C．𝑎=ln𝑎D．y=log𝑎𝑎2(a0,a≠1)【答案】C【解析】由对数函数定义可以，本题选C。2．下列函数，是对数函数的是A．y=lg10xB．y=log3x2C．y=lnxD．y=log13（x–1）【答案】C【解析】由对数函数的定义，形如y=logax（a0，a≠1）的函数是对数函数，由此得到：y=lg10x=x，y=log3𝑎2=2log3|𝑎|、y=log13(𝑎−1)都不是对数函数，只有y=lnx是对数函数．故选C．3．在M=log（x–3）（x+1）中，要使式子有意义，x的取值范围为A．（–∞，3]B．（3，4）∪（4，+∞）C．（4，+∞）D．（3，4）【答案】B【解析】由函数的解析式可得{𝑎+10𝑎−30𝑎−3≠1，解得3x4，或x4．故选B．考向三对数的单调性【例3】（1）函数𝑎(𝑎)=lg(6𝑎−𝑎2)的单调递减区间为。（2）若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是________．【答案】（1）[3,6)（2）[－4,4)【解析】（1）由题可得6𝑎−𝑎20，即0𝑎6，所以函数𝑎(𝑎)的定义域为(0,6)，又函数𝑎=6𝑎−𝑎2在[3,+∞)上单调递减，根据复合函数的单调性可知函数𝑎(𝑎)=lg(6𝑎−𝑎2)的单调递减区间为[3,6)（2）由题意得x2－ax－3a0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单调递减，则a2≥－2且(－2)2－(－2)a－3a0，解得实数a的取值范围是[－4,4)．【举一反三】【套路总结】复合函数的单调性以及单调区间的求法．复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”1．已知𝑎(𝑎)={𝑎2−4𝑎𝑎+3,𝑎1log𝑎𝑎+2𝑎,𝑎≥1满足对任意𝑎1≠𝑎2，都有𝑎(𝑎1)−𝑎(𝑎2)𝑎1−𝑎20成立，那么a的取值范围是（）A．(0,12]B．[12,1)C．[12,23]D．[23,1)【答案】C【解析】𝑎（𝑎）={𝑎2−4𝑎𝑎+3,𝑎1log𝑎𝑎+2𝑎,𝑎≥1满足对任意𝑎1≠𝑎2，都有𝑎(𝑎1)−𝑎(𝑎2)𝑎1−𝑎2＜0成立，所以分段函数是减函数，所以：{0𝑎12𝑎≥14−4𝑎≥2𝑎，解得𝑎∈[12,23]．故选：C．2．函数y=ln（4-x）+1n（2+x）的单调递增区间为（）A．(−2,1)B．(1,4)C．(−∞,1)D．(−2,4)【答案】A【解析】要使函数有意义，则{4−𝑎02+𝑎0得{𝑎4𝑎−2得-2＜x＜4，即函数的定义域为（-2，4），y=ln（4-x）+1n（2+x）=ln（4-x）（2+x）=ln（-x2+2x+8）设t=-x2+2x+8，则y=lnt为关于t的增函数，要求函数y=ln（-x2+2x+8）的单调递增区间，等价为求t=-x2+2x+8的单调递增区间，∵当-2＜x＜1时，函数t=-x2+2x+8为增函数，即函数t=-x2+2x+8的单调递增区间为（-2，1），即函数y=ln（4-x）+1n（2+x）的单调递增区间为（-2，1），故选：A．3．已知𝑎(𝑎)=𝑎𝑎𝑎12(𝑎2−𝑎𝑎−𝑎)在区间(−∞，−12)上是增函数，则实数a的取值范围是______．【答案】[−1,12]【解析】令𝑎(𝑎)=𝑎2−𝑎𝑎−𝑎．∵𝑎(𝑎)=log12𝑎(𝑎)在(−∞,−12)上为增函数，∴𝑎(𝑎)应在(−∞,−12)上为减函数且𝑎(𝑎)0在(−∞,−12)上恒成立．因此{𝑎2≥−12𝑎(−12)≥0，即{𝑎≥−114+𝑎2−𝑎≥0．解得−1≤𝑎≤12，故实数𝑎的取值范围是[−1,12]．考向四比较大小【例4】(1)设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则a，b，c的大小关系为________．(用“”连接)【答案】（1）abc（2）abc【解析】（1）a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，∵log43log53log63，∴abc.【举一反三】1.设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是________．【答案】abc【解析】因为a＝log3πlog33＝1，b＝log23log22＝1，所以ab，又bc＝12log2312log32＝(log23)21，c0，所以bc，故abc.2.已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是________．【答案】a＝bc【解析】因为a＝log23＋log23＝log233＝32log231，b＝log29－log23＝log233＝a，c＝log32log33＝1，所以a＝bc.3.已知函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|log2x|，若a＝f(－3)，b＝f14，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系是________．【答案】bac【解析】易知y＝f(x)是偶函数．当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝f1x＝|log2x|，且当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝log2x单调递增，又a＝f(－3)＝f(3)，b＝f14＝f(4)，所以bac.4.设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则a，b，c的大小关系是________．(用“”连接)【答案】cab【解析】a＝log32log33＝1，b＝log52log55＝1.又c＝log23l