2020年高考数学一轮复习 专题2.5 指数及指数函数练习（含解析）

第五讲指数及指数函数一．根式1.根式的概念根式的概念符号表示备注如果a＝xn，那么x叫做a的n次实数方根n1且n∈N*当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方根是一个负数na0的n次实数方根是0当n为偶数时，正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数±na负数没有偶次方根2.两个重要公式①nan＝an为奇数，|a|＝aa≥0，－aa0(n为偶数)；②(na)n＝a(注意a必须使na有意义)．二．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna＝nam(a0，m，n∈N*，n1)；②正数的负分数指数幂是mna-＝1mna＝1nam(a0，m，n∈N*，n1)；③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质①asat＝as＋t(a0，t，s∈Q)；②(as)t＝ast(a0，t，s∈Q)；③(ab)t＝atbt(a0，b0，t∈Q)．【套路秘籍】---千里之行始于足下三．指数函数的图象与性质（1）指数函数的定义一般地，函数y＝ax(a0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R.（2）指数函数的图象与性质y＝axa10a1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数考向一指数的运算【例1】计算化简(1)(12)−1+823+(2019)0=.（2）(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425=______．（3）已知𝑥12+𝑥−12=3，求下列各式的值：①𝑥+𝑥−1；②𝑥2+𝑥−2；③𝑥32−𝑥−32𝑥12−𝑥−12.【答案】（1）7（2）52（3）－6ab（4）①7②47③8【解析】(1)(12)−1+823+(2019)0=2+4+1=7（2）(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425，=(32)3×13−312×2+(15)3×(−23)×425=32−3+4=52．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始（3）①因为𝑥12+𝑥−12=3，所以(𝑥12+𝑥−12)2=𝑥+2+𝑥−1=9,即𝑥+𝑥−1=7.②因为𝑥+𝑥−1=7所以(𝑥+𝑥−1)2=𝑥2+2𝑥⋅𝑥−1+𝑥−2=𝑥2+2+𝑥−2=49，即𝑥2+𝑥−2=47.③𝑥32−𝑥−32𝑥12−𝑥−12=(𝑥12)3−(𝑥−12)3𝑥12−𝑥−12=(𝑥12−𝑥−12)(𝑥+1+𝑥−1)𝑥12−𝑥−12=𝑥+1+𝑥−1=8.【举一反三】1．0.027−13−(−16)−2+2560.75+(125729)−13+(59)−1−729−16＝__________.【答案】31【解析】原式＝0.3−1−36+25634−(125729)−13+95−93×(−16)=103−36+43−95+95−13=31.故答案为：312．化简：(√3+√2)2015×(√3−√2)2016＝_________________________________.【答案】√3−√2【解析】(√3+√2)2015×(√3−√2)2016=[(√3+√2)(√3−√2)]2015×(√3−√2)=√3−√2.故答案为：√3−√23．(0.25)12−[−2×(37)0]2×[(-2)3]43+(√2-1)-1-212＝________．【答案】−1252【解析】原式=(14)12−(−2)2×(−2)4+1√2−1−√2=12−4×16+(√2−1)−√2=12−4×16+(√2+1)−√2=−1252，故答案为−1252.4.已知x＋x－1＝3，则3322xx-+的值为．【答案】25【解析】11222()xx-+＝x＋2＋x－1＝5，11225,xx-\+=【套路总结】指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）331112222()(1)xxxxxx---\+=+-+＝5(3－1)＝25.5.已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且ab0，则a－ba＋b＝.【答案】55【解析】由已知得，a＝3＋5，b＝3－5，所以a＋b＝6，ab＝4，所以a－ba＋b2＝a＋b－2aba＋b＋2ab＝6－246＋24＝15.因为ab0，所以ab，所以a－ba＋b＝55.6．设2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则x＋y的值为．【答案】27【解析】∵2x＝8y＋1＝23(y＋1)，∴x＝3y＋3，∵9y＝3x－9＝32y，∴x－9＝2y，解得x＝21，y＝6，∴x＋y＝27.7．已知a－1a＝3(a0)，则a2＋a＋a－2＋a－1的值为．【答案】11＋13【解析】由a－1a＝3，得a－1a2＝9，即a2＋1a2－2＝9，故a2＋a－2＝11.又(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝11＋2＝13，且a0，所以a＋a－1＝13.于是a2＋a＋a－2＋a－1＝11＋13.考向二指数函数的判断【例2】函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有（）A．a＝1或a＝2B．a＝1C．a＝2D．a0且a≠1【答案】C【解析】函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数,根据指数函数的定义得到a2－3a＋3=1，且a0,解得a=1或2，因为指数函数的底数不能为1，故结果为2.故答案为：C.【举一反三】1．函数y=（a2–3a+3）⋅ax是指数函数，则a的值为A．1或2B．1C．2D．a0且a≠1的所有实数【答案】C【解析】∵y=（a2–3a+3）⋅ax是指数函数，∴{𝑥2−3𝑥+3=1𝑥0且𝑥≠1，解得a=2．故选C．【套路总结】指数函数xya形如，指数函数的需要同时满足①01aa且②系数为1③次数为12．函数f（x）=（2a–3）ax是指数函数，则f（1）=A．8B．32C．4D．2【答案】D【解析】函数f（x）=（2a-3）ax是指数函数，∴2a-3=1，解得a=2；∴f（x）=2x，∴f（1）=2．故选：D．3．函数𝑥(𝑥)=(𝑥2−𝑥−1)𝑥𝑥是指数函数，则实数𝑥=（）A．2B．1C．3D．2或−1【答案】D【解析】由指数函数的定义，得𝑥2−𝑥−1=1，解得𝑥=2或−1，故选D.考向三指数函数的单调性【例3】函数𝑥(𝑥)=51−|2𝑥+4|的单调递增区间为（）A．[−2,+∞)B．[−32,+∞)C．(−∞,−32]D．(−∞,−2]【答案】D【解析】由题意，函数𝑥(𝑥)的定义域为𝑥，设𝑥=𝑥(𝑥)=1−|2𝑥+4|={−2𝑥−32𝑥+5𝑥−2𝑥≤−2，则𝑥(𝑥)在(−2,+∞)上单调递减，在(−∞,−2]上单调递增，又因为𝑥=5𝑥在𝑥上单调递增，根据复合函数的单调性，可得函数𝑥(𝑥)的单调递增区间为(−∞,−2].【举一反三】1.函数𝑥（𝑥）=𝑥−𝑥2+4𝑥−9的单调递增区间是（）A．(−2,+∞)B．(2,+∞)C．(−∞,−2)D．(−∞,2)【答案】D【解析】因为𝑥=𝑥𝑥，是指数函数，是增函数，𝑥=−𝑥2+4𝑥−9是开口向下的二次函数，所以𝑥＜2时，二次函数𝑥=−𝑥2+4𝑥−9是增函数，𝑥＞2时，𝑥=−𝑥2+4𝑥−9是减函数，【套路总结】指数函数单调性的判断1.根据指数的底数a进行判断，0a1为减函数，a1为增函数2.指数型函数的单调性根据复合函数“同增异减”3.求单调区间必须先求定义域由复合函数的单调性可知：函数𝑥（𝑥）=𝑥−𝑥2+4𝑥−9的单调递增区间是（−∞，2）．故选：D．2.函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是________．【答案】[0，＋∞)【解析】设t＝2x(t0)，则y＝t2－2t的单调增区间为[1，＋∞)，令2x≥1，得x≥0，又y＝2x在R上单调递增，所以函数f(x)＝4x－2x＋1的单调增区间是[0，＋∞)．3．若函数f(x)＝a|2x－4|(a0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是________．【答案】[2，＋∞)【解析】由f(1)＝19，得a2＝19，所以a＝13或a＝－13(舍去)，即f(x)＝13|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．考向四指数函数的定义域和值域【例4】（1）函数𝑥=√4−2𝑥的定义域为_______．（2）设函数f（x）=√4−4x，则函数f（x4）的定义域为。（3）函数𝑥=2𝑥2𝑥+1(𝑥∈𝑥)的值域为。（4）函数f（x）=(12)𝑥2+2𝑥+3值域为。【答案】（1）(−∞,2]（2）(−∞,4]（3）(0,1)（4）(0,14]【解析】（1）由二次根式有意义，得：4−2𝑥≥0，即2𝑥≤4=22，因为𝑥=2𝑥在R上是增函数，所以，x≤2，即定义域为：(−∞,2]（2）因为𝑥(𝑥)=√4−4𝑥，所以𝑥(𝑥4)=√4−4𝑥4，因为4−4𝑥4≥0,4𝑥4≤4,𝑥4≤1,𝑥≤4，所以𝑥(𝑥4)的定义域为(−∞,4]．（3）𝑥=2𝑥2𝑥+1=2𝑥+1−12𝑥+1=1−12𝑥+1，∵2𝑥0,∴1+2𝑥1，012𝑥+11,−1−12𝑥+10,01−12𝑥+11，即0𝑥1，即函数的值域为(0,1).（4）令𝑥=𝑥2+2𝑥+3=(𝑥+1)2+2≥2，𝑥=(12)𝑥为减函数，所以𝑥≤(12)2=14，结合𝑥=(12)𝑥0可得C选项.【举一反三】1．函数𝑥(𝑥)=2𝑥+1的值域为____________．【答案】(0,+∞)【解析】由指数函数的性质可知，2𝑥0，所以2𝑥+1=2⋅2𝑥0，故函数的值域为(0,+∞)．故答案为：(0,+∞)．2．函数𝑥（𝑥）=4𝑥−2𝑥+2，𝑥∈[−1，2]的值域为______．【答案】[−4，0]【解析】令𝑥=2𝑥(12≤𝑥≤4)，则𝑥=𝑥2−4𝑥=(𝑥−2)2−4，当𝑥=4时，𝑥𝑥𝑥𝑥=0；当𝑥=2时，𝑥𝑥𝑥𝑥=−4；故函数𝑥（𝑥）=4𝑥−2𝑥+2，𝑥∈[−1，2]的值域为[−4，0]．故答案为：[-4，0]．考向五比较大小【例5】设𝑥=(35)25,𝑥=(25)35,𝑥=(25)25，则𝑥,𝑥,𝑥的大小关系是A．𝑥𝑥𝑥B．𝑥𝑥𝑥C．𝑥𝑥𝑥D．𝑥𝑥𝑥【答案】A【解析】对于函数𝑥=(25)𝑥，在(0,+∞)上是减函数，∵3525，∴(25)35(25)25，即𝑥𝑥；对于函数𝑥=𝑥25，在(0,+∞)上是增函数，∵3525，∴(35)25(25)25，即𝑥𝑥．从而𝑥𝑥𝑥．故A正确．【举一反三】1.已知𝑥=0.50.8，𝑥=0.80.5，𝑥=0.80.8，则（）A．𝑥𝑥𝑥B．𝑥𝑥𝑥C．𝑥𝑥𝑥D．𝑥𝑥𝑥【答案】D【解析】由题意，根据指数函数与幂函数的单调性，可得𝑥=0.50.80.50.5,𝑥=0.80.50.50.5，所以𝑥𝑥，又由𝑥=0.80.80.50.8，所以𝑥𝑥，又由𝑥=0.80.5𝑥=0.80.8，所以𝑥𝑥𝑥，故选D.2．(23)23，(23)13，(