2020年八年级数学下学期开学摸底考（B卷） 北师大版

2020年开学摸底考八年级数学（北师大版B卷）一、选择题（本题共计6小题，每题3分，共计18分）1．如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是A．B．C．D．【答案】A2．在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】C3．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD．有下列结论：①∠C=2∠A；②BD平分∠ABC；③S△BCD=S△BOD．其中正确的选项是A．①③B．②③C．①②③D．①②【答案】D4．如图，一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）与正比例函数y=ax（a为常数，且a≠0）相交于点P，则不等式kx+bax的解集是A．x1B．x1C．x2D．x2【答案】C5．如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为318的地面上，若测角仪的高度为1.5m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度是A．55.5mB．19.5mC．54mD．19m【答案】B6．如图，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB两个内角平分线的交点，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F，已知△ABC的周长为8，BC=x，，△AEF的周长为y，则表示y与x的函数图象大致是A．B．C．D．【答案】A二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分）7．不等式组3425xx的最小整数解是________．【答案】–28．已知点M（a–1，2a+3）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围是________．【答案】123a9．如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α（0°α90°）得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β（0°β90°）得到AF，连结EF．若AB=3，AC=2，且α＋β=∠B，则EF=________．30°CDAB【答案】1310．若关于𝑥的一元一次不等式组202mxmx有解，则m的取值范围为________．【答案】32m11．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是________．【答案】80°12．如图，在平面直角坐标系xoy中，A（4，0），B（0，3），点P在x轴上且在点A的右边，使得△ABP是等腰三角形．则点P坐标是________．【答案】（–1，0），（–4，0），（87，0）．三、（本题共计5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）解不等式组9)1(43123xxx，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：{𝑥+32≥𝑥+1，3+4（𝑥−1）−9，由①得𝑥≤1，由②得𝑥−2，故不等式组的解为−2𝑥≤1．把解集在数轴上表示出来为：14．（6分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使点B与点C重合，得到△DCE，连接BD，交AC于点F．求线段BD的长．【答案】解：∵正△𝑥𝑥𝑥沿直线𝑥𝑥向右平移得到正△𝑥𝑥𝑥，∴𝑥𝑥=2𝑥𝑥=4，𝑥𝑥=𝑥𝑥，𝑥𝑥=𝑥𝑥=2，∠𝑥=∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥=60∘，∴∠𝑥𝑥𝑥=12∠𝑥𝑥𝑥=30∘，∴∠𝑥𝑥𝑥=90∘．在Rt△𝑥𝑥𝑥中，由勾股定理得𝑥𝑥=√𝑥𝑥2−𝑥𝑥2=√42−22=2√3．15．（6分）如图所示，由5个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，请按要求作图．（1）在图1中补画一个小正方形，使它成为一个轴对称图形，且对称轴只有1条；（2）在图2中补画一个小正方形，使它成为一个轴对称图形，且对称轴多于1条；（3）在图3中补画一个小正方形，使它成为一个中心对称图形，但不是轴对称图形．【答案】解：（1）如图1所示；（2）如图1所示；（3）如图1所示．16．（6分）某商店从厂家选购甲、乙两种商品，其进货单价分别为120元和100元，在出售时，甲种商品每件售价145元，乙种商品每件售价120元．甲、乙两种商品共购进40件，要使这两种商品全部售出后总利润不少于870元，甲种商品至少要购进多少件？【答案】解：设甲种商品购进𝑥件，乙种商品购进（40−𝑥）件．根据题意得：（145−120）𝑥+（120−100）（40−𝑥）≥870，解这个不等式得𝑥≥14．答：甲种商品至少要购进14件．17．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D．(1)若∠C=42°，求∠BAD的度数；(2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．求证：AE=FE．【答案】（1）解：∵𝑥𝑥=𝑥𝑥，𝑥𝑥⊥𝑥𝑥于点𝑥，∴∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥，∠𝑥𝑥𝑥=90∘，又∠𝑥=42∘，∴∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥=90∘−42∘=48∘；（2）证明：∵𝑥𝑥=𝑥𝑥，𝑥𝑥⊥𝑥𝑥于点𝑥，∴∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥，∵𝑥𝑥 // 𝑥𝑥，∴∠𝑥=∠𝑥𝑥𝑥，∴∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥，∴𝑥𝑥=𝑥𝑥．四、（本题共计3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）若关于想x，y的二元一次方程组332523ayxayx的解都是正数．（1）求a的取值范围；（2）若上述二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和底边的长，且这个等腰三角形的周长为9，求a的值．【答案】解{3𝑥−𝑥=2𝑥−5𝑥+2𝑥=3𝑥+3得∴{𝑥=𝑥−1𝑥=𝑥+2，∵若关于𝑥、𝑥的二元一次方程组{3𝑥−𝑥=2𝑥−5𝑥+2𝑥=3𝑥+3的解都为正数，∴𝑥1；∵二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和一条底边的长，这个等腰三角形的周长为9，∴2（𝑥−1）+𝑥+2=9，解得：𝑥=3，∴𝑥=2，𝑥=5，不能组成三角形，∴2（𝑥+2）+𝑥−1=9，解得：𝑥=2，∴𝑥=1，𝑥=4，能组成等腰三角形，∴𝑥的值是2．19．（8分）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE，连接AE．（1）若∠BAE=40°，求∠C的度数；（2）若△ABC的周长为14cm，AC=6cm，，求DC长．【答案】∵𝑥𝑥⊥𝑥𝑥，𝑥𝑥=𝑥𝑥，𝑥𝑥垂直平分𝑥𝑥，∴𝑥𝑥=𝑥𝑥=𝑥𝑥，∴∠𝑥=∠𝑥𝑥𝑥，∵∠𝑥𝑥𝑥=40∘，∴∠𝑥𝑥𝑥=12（180∘−40∘）=70∘，∴∠𝑥=12∠𝑥𝑥𝑥=35∘；∵△𝑥𝑥𝑥周长14𝑥𝑥，𝑥𝑥=6𝑥𝑥，∴𝑥𝑥+𝑥𝑥=8𝑥𝑥，∴𝑥𝑥+𝑥𝑥+𝑥𝑥=8𝑥𝑥，即2𝑥𝑥+2𝑥𝑥=8𝑥𝑥，∴𝑥𝑥+𝑥𝑥=4𝑥𝑥，∴𝑥𝑥=𝑥𝑥+𝑥𝑥=4𝑥𝑥．20．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1，直接写出点A1的坐标；（2）请画出△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°的图形△A2B2C2，直接写出点A2的坐标；（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．【答案】解：（1）根据网格结构找出点𝑥、𝑥、𝑥平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可，如图所示：点𝑥1的坐标（−3， 1）；（2）找出点𝑥1、𝑥1、𝑥1绕原点𝑥顺时针旋转90∘点的位置，然后顺次连接即可，如图所示：点𝑥2的坐标（1， 3）；（3）找出𝑥的对称点𝑥′（1， −1），连接𝑥𝑥′，与𝑥轴交点即为𝑥；如图所示：点𝑥坐标为（2， 0）．五、（本题共计2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）我市部分地区近年出现持续干旱现象，为确保生产生活用水，某村决定由村里提供一点，村民捐一点的办法筹集资金维护和新建一批储水池．该村共有243户村民，准备维护和新建的储水池共有20个，费用和可供使用的户数及用地情况如下表：蓄水池费用（万元/个）可供使用的户数（户/个）占地面积（m2/个）新建454维护3186已知可支配使用土地面积为106m2，若新建储水池x个，新建和维护的总费用为y万元．（1）求y与x之间的函数关系；（2）满足要求的方案各有几种；（3）在以上备选方案中，若、若每户捐2000元时，村里出资最多和最少分别是多少？【答案】由题意得𝑥=4𝑥+3（20−𝑥），即𝑥=𝑥+60；由题意得5𝑥+18（20−𝑥）≥243，化简得13𝑥≤117，即𝑥≤9．又∵4𝑥+6（20−𝑥）≤106，解得𝑥≥7，∴7≤𝑥≤9又∵𝑥为整数．故满足要求的方案有三种：新建7个，维修13个；新建8个，维修12个；新建9个，维护11个；由𝑥=𝑥+60知𝑥随𝑥的增大而增大．∴当𝑥=7时，𝑥最小=67（万），当𝑥=9时，𝑥最大=69（万）．而居民捐款共243×0.2=48.6（万）．∴村里出资最多为20.4万，最少为18.4万．22．（9分）在△ABC中，∠ABC=120°，线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，连接CD，BD交AC于P．(1)若∠BAC=α，直接写出∠BCD的度数________．（用含α的代数式表示）；(2)求AB，BC，BD之间的数量关系；(3)当α=30°时，直接写出AC，BD的关系．【答案】（1）120°–α(2)延长𝑥𝑥，使𝑥𝑥=𝑥𝑥，连接𝑥𝑥，如图所示，由(1)知△𝑥𝑥𝑥是等边三角形，∴𝑥𝑥=𝑥𝑥，∴∠𝑥𝑥𝑥+∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥+∠𝑥𝑥𝑥=180∘．∴𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥.∴△𝑥𝑥𝑥≅△𝑥𝑥𝑥.∴𝑥𝑥=𝑥𝑥=𝑥𝑥.∴𝑥𝑥=𝑥𝑥+𝑥𝑥.(3)𝑥𝑥，𝑥𝑥的数量关系是𝑥𝑥=2√33𝑥𝑥.位置关系是:𝑥𝑥⊥𝑥𝑥于点𝑥，证明如下：由(2)知，𝑥=30∘时，∠𝑥𝑥𝑥=90∘，∴∠𝑥𝑥𝑥=90∘，∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥=30∘，∴𝑥𝑥=𝑥𝑥，又𝑥𝑥=𝑥𝑥，∴𝑥𝑥⊥𝑥𝑥，𝑥𝑥=√3𝑥𝑥，𝑥𝑥=√33𝑥𝑥，𝑥𝑥=𝑥𝑥.∴𝑥𝑥=𝑥𝑥+𝑥𝑥=4√33𝑥𝑥=2√33𝑥𝑥.六、（本题共计1小题，每小题12分，共12分）23.（12分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，①△ADC是______三角形；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，那么S1与S2的数量关系是________．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究，如图4，已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．【答案】（1）等边，𝑥1=𝑥2（2）如图3，∵△𝑥𝑥𝑥是由△𝑥𝑥𝑥绕点𝑥旋转得到，∴𝑥𝑥=𝑥𝑥，𝑥𝑥=𝑥𝑥，∵∠𝑥𝑥𝑥+∠𝑥𝑥𝑥=90∘，∠𝑥𝑥𝑥+∠𝑥𝑥𝑥=180∘−90∘=90∘，∴∠𝑥