2020年八年级数学下学期开学摸底考(A卷) 北师大版

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2020年开学摸底考八年级数学(北师大版A卷)一、选择题(本题共计6小题,每题3分,共计18分)1.下列不等式的变形正确的是()A.若ambm,则abB.若am2bm2,则abC.若ab,则am2bm2D.若ab且ab0,则ba11【答案】B2.如图,△ABC中,AC=AD=BD,∠DAC=80°,则∠B的度数是()A.20°B.25°C.35°D.40°【答案】B3.如图,将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF,则四边形ABFD的周长是()A.8B.10C.12D.14【答案】B4.如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠A=36°.用尺规作图作出线段BD,则下列结论错误的是()A.AD=BDB.∠DBC=36°C.S△ABD=S△BCDD.△ABC的周长=AB+BC【答案】C5.如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则△CDE的周长为()A.20B.12C.14D.13【答案】C6.若不等式组mxxx632无解,那么m的取值范围是()A.m2B.m2C.2mD.2m【答案】D二、填空题(本题共计6小题,每题3分,共计18分)7.如图,BE,CD是△ABC的高,且BD=EC,判定△BCD≌△CBE的依据是“________”.【答案】HL8.一次函数y=kx+b的图象如图所示,若当kx+b0时,则x的取值范围为________.【答案】x19.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE,则∠CBE的度数为________°.【答案】3010.在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中,△ABC的顶点都在格点上,将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C',使各顶点仍在格点上,则其旋转角的度数是________.【答案】90°11.如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°后,得到矩形AB'C'D',如果CD=3DA=3,那么CC'=________.【答案】5212.对于x,符号[x]表示不大于x的最大整数.如:[3.14]=3,[-7.59]=-8,则满足关系式4773x的x的整数值有.【答案】7,8,9.三、解答题(本题共计11小题,共计84分)13.(6分)解下列不等式组xxxx5)1(36172;并把解集在数轴上表示.【答案】解:{2𝑥+71−𝑥…6−3(1−𝑥)5𝑥…,由①得:𝑥−2由②得:𝑥32∴不等式的解是−2𝑥32.数轴表示正确14.(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,AE⊥AB于A,∠BAC=120°,AE=3cm.求BC的长.【答案】解:过点𝑥作𝑥𝑥⊥𝑥𝑥交𝑥𝑥于𝑥,∵𝑥𝑥=𝑥𝑥,∠𝑥𝑥𝑥=120∘,∴∠𝑥=∠𝑥=30∘,𝑥𝑥=2𝑥𝑥.在𝑥𝑥△𝑥𝑥𝑥中,𝑥𝑥=2𝑥𝑥=6cm,𝑥𝑥=√𝑥𝑥2−𝑥𝑥2=√62−32=3√3.在𝑥𝑥△𝑥𝑥𝑥中,𝑥𝑥=12𝑥𝑥=3√32,𝑥𝑥=√𝑥𝑥2−𝑥𝑥2=√(3√3)2−(3√32)2=92.∴𝑥𝑥=2𝑥𝑥=2×92=9.15.(6分)某批服装进价为每件200元,商店标价为每件300元.现商店准备将这批服装打折出售,但要保证毛利润不低于8%,商店最低可按标价的几折出售?(通过列不等式进行解答)【答案】商店最低可按标价的7.2折出售16.(6分)如图,在平面直角坐标系中,𝑥𝑥△𝑥𝑥𝑥的三个顶点分别是𝑥(−4, 2),𝑥(0, 4),𝑥(0, 2).(1)画出△𝑥𝑥𝑥关于点𝑥成中心对称的△𝑥1𝑥1𝑥;平移△𝑥𝑥𝑥,若点𝑥的对应点𝑥2的坐标为(0, −4),画出平移后对应的△𝑥2𝑥2𝑥2;(2)△𝑥1𝑥1𝑥和△𝑥2𝑥2𝑥2关于某一点成中心对称,则对称中心的坐标为________.【答案】(1)根据网格结构找出点𝑥,𝑥关于点𝑥成中心对称的点𝑥1,𝑥1的位置,再与点𝑥顺次连接即可;根据网格结构找出点𝑥,𝑥,𝑥平移后的对应点𝑥2,𝑥2,𝑥2的位置,然后顺次连接即可;如图所示;(2)(2, −1)17.(6分)已知:如图,△𝑥𝑥𝑥中,𝑥𝑥,𝑥𝑥分别是∠𝑥𝑥𝑥和∠𝑥𝑥𝑥的平分线,过𝑥点的直线分别交𝑥𝑥、𝑥𝑥于点𝑥、𝑥,且𝑥𝑥 // 𝑥C.若𝑥𝑥=6cm,𝑥𝑥=8cm,求△𝑥𝑥𝑥的周长.【答案】解:∵𝑥𝑥 // 𝑥𝑥∴∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥,又∵𝑥𝑥是∠𝑥𝑥𝑥的角平分线,∴∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥,∴∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥,∴𝑥𝑥=𝑥𝑥,同理:𝑥𝑥=𝑥𝑥,∴△𝑥𝑥𝑥的周长=𝑥𝑥+𝑥𝑥+𝑥𝑥+𝑥𝑥=𝑥𝑥+𝑥𝑥+𝑥𝑥+𝑥𝑥=𝑥𝑥+𝑥𝑥=14cm.18.(8分)是否存在这样的整数𝑥,使得关于𝑥,𝑥的方程组{𝑥+𝑥=2𝑥+12𝑥−𝑥=𝑥−4的解满足𝑥0且𝑥0?若存在,求出整数𝑥;若不存在,请说明理由.【答案】解方程组{𝑥+𝑥=2𝑥+12𝑥−𝑥=𝑥−4得:{𝑥=𝑥−1𝑥=𝑥+2,根据题意,得:{𝑥−10𝑥+20,解得:−2𝑥1,则整数𝑥为−1,0.19.(8分)某商店欲购进𝑥、𝑥两种商品,已知购进𝑥种商品3件和𝑥种商品4件共需220元;若购进𝑥种商品5件和𝑥种商品2件共需250元.(1)求𝑥、𝑥两种商品每件的进价分别是多少元?(2)若每件𝑥种商品售价48元,每件𝑥种商品售价31元,且商店将购进𝑥、𝑥两种商品共50件全部售出后,要获得的利润不少于360元,问𝑥种商品至少购进多少件?【答案】(1)𝑥种商品每件的进价为40元,𝑥种商品每件的进价为25元(2)𝑥种商品至少购进30件20.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,E为AB边的中点,以BE为边作等边△BDE,连结AD,CD.(1)求证:△ADE≌△CDB;(2)若BC=3,在AC边上找一点H,使得BH+EH最小,并求出这个最小值.【答案】(1)证明:在𝑥𝑥△𝑥𝑥𝑥中,∠𝑥𝑥𝑥=30∘,𝑥为𝑥𝑥边的中点,∴𝑥𝑥=𝑥𝑥,∠𝑥𝑥𝑥=60∘.∵△𝑥𝑥𝑥为等边三角形,∴𝑥𝑥=𝑥𝑥,∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥=60∘,∴∠𝑥𝑥𝑥=120∘,∠𝑥𝑥𝑥=120∘,∴∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥,∴△𝑥𝑥𝑥≅△𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥𝑥).(2)解:如解图,作点𝑥关于直线𝑥𝑥对称点𝑥′,连结𝑥𝑥′交𝑥𝑥于点𝑥.则点𝑥即为符合条件的点,连结𝑥𝑥′.由作图可知:𝑥𝑥+𝑥𝑥=𝑥𝑥′,𝑥𝑥′=𝑥𝑥,∠𝑥′𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥=30∘.∴∠𝑥𝑥𝑥′=60∘,∴△𝑥𝑥𝑥′为等边三角形,∴𝑥𝑥′=𝑥𝑥=12𝑥𝑥,∴∠𝑥𝑥′𝑥=90∘,在𝑥𝑥△𝑥𝑥𝑥中,∠𝑥𝑥𝑥=30∘,𝑥𝑥=√3,∴𝑥𝑥=2√3,𝑥𝑥′=𝑥𝑥=√3,∴在𝑥𝑥△𝑥𝑥𝑥′中,由勾股定理得𝑥𝑥′=√𝑥𝑥2−𝑥𝑥′2=3,∴𝑥𝑥+𝑥𝑥的最小值为3.21.(9分)如图在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,5),B(-2,1),C(-1,3).(1)若△𝑥𝑥𝑥经过平移后得到△A1B1C1,已知点C1坐标为(4,0),画出△A1B1C1并写出顶点A1,B1的坐标;(2)将△ABC绕着点O按逆时针方向旋转90°得到△A2B2C2,画出△A2B2C2.(3)求出△A2B2C2的面积.【答案】(1)如图所示,△𝑥1𝑥1𝑥1即为所求,其中𝑥1的坐标为(2, 2),𝑥1的坐标为(3, −2).(2)如图所示,△𝑥2𝑥2𝑥2即为所求.(3)△𝑥2𝑥2𝑥2的面积=2×4−12×2×2−12×1×2−12×1×4=3.22.(9分)某甜品店用A,B两种原料制作成甲、乙两款甜品进行销售,制作每份甜品的原料所需用量如表所示.该店制作甲款甜品x份,乙款甜品y份,共用去A原料2000克.原料款式A原料(克)B原料(克)甲款甜品3015乙款甜品1020(1)求y关于x的函数表达式.(2)已知每份甲甜品的利润为a元(a正整数),每份乙甜品的利润为2元.假设两款甜品均能全部卖出.①当a=3时,若获得总利润不少于220元,则至少要用去B原料多少克?②现有B原料3100克,要使获利为450元且尽量不浪费原材料,甲甜品的每份利润应定为多少元?【答案】(1)由题可得,30𝑥+10𝑥=2000,即𝑥=200−3𝑥故𝑥关于𝑥的函数表达式为𝑥=200−3𝑥(2)①由题意:3𝑥+2𝑥≥220,而由(1)可知3𝑥=200−𝑥代入可得:200−𝑥+2𝑥≥220∴𝑥≥20设𝑥原料的用量为𝑥,则𝑥=15𝑥+20𝑥,即𝑥=15𝑥+1000∵𝑥=15,𝑥随𝑥的增大而增大∴当𝑥取最小值20时,可得𝑥的最小值为15×20+1000=1300故若获得总利润不少于220元,则至少要用去𝑥原料1300克.②由题意:15𝑥+20𝑥≤3100即:15𝑥+20(200−3𝑥)≤3100,解得𝑥≥20又∵𝑥𝑥+2𝑥=450即:𝑥𝑥+2(200−3𝑥)=450,𝑥=6+50𝑥,而𝑥,𝑥均为正整数且𝑥≥20,于是可得𝑥=50,𝑥=7或𝑥=25,𝑥=8当𝑥=50时,需要𝑥原料1750;当𝑥=25时,需要𝑥原料2875,为了尽量不浪费原材料,𝑥应取8.故在设定条件下,甲甜品的每份利润应定为8元.23.(12分)如图(1),在等边△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连结BE,CD,点M,N,P分别是BE,CD,BC的中点,连结DE,PM,PN,MN.(1)观察猜想图(1)中△PMN是________(填特殊三角形的名称).(2)探究证明如图(2),△ADE绕点A按逆时针方向旋转,则△PMN的形状是否发生改变?并就图(2)说明理由.(3)拓展延伸若△ADE绕点A在平面内自由旋转,AD=1,AB=3,请直接写出△PMN的周长的最大值.【答案】(1)等边三角形解:(2)△𝑥𝑥𝑥的形状不发生改变,仍为等边三角形.理由如下:连结𝑥𝑥,𝑥𝑥.由旋转可得∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥,∵△𝑥𝑥𝑥是等边三角形,∴𝑥𝑥=𝑥𝑥,∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥=60,又∵𝑥𝑥=𝑥𝑥,∴△𝑥𝑥𝑥≅△𝑥𝑥𝑥,∴𝑥𝑥=𝑥𝑥,∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥.∵𝑥是𝑥𝑥的中点,𝑥是𝑥𝑥的中点,∴𝑥𝑥是△𝑥𝑥𝑥的中位线,∴𝑥𝑥=12𝑥𝑥,且𝑥𝑥//𝑥𝑥.同理可证𝑥𝑥=12𝑥𝑥且𝑥𝑥//𝑥𝑥,∴𝑥𝑥=𝑥𝑥,∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥,∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥,∴∠𝑥𝑥𝑥+∠𝑥𝑥𝑥=∠𝑥𝑥𝑥+∠𝑥𝑥𝑥=(∠𝑥𝑥𝑥+∠𝑥𝑥𝑥)+(∠𝑥𝑥𝑥−∠𝑥𝑥𝑥)=∠𝑥𝑥𝑥+∠𝑥𝑥𝑥=120,∴∠𝑥𝑥𝑥=60,∴△𝑥𝑥𝑥是等边三角形.(3)△𝑥𝑥𝑥的周长的最大值为6.解法提示:易证在△𝑥𝑥𝑥的旋转的过程中,△𝑥𝑥𝑥恒为等边三角形.如图,当点𝑥,𝑥,𝑥在同一线上,且点𝑥在𝑥𝑥上时,△𝑥𝑥𝑥的周长最大,易知此时点𝑥,𝑥,𝑥在同一直线上.∵点𝑥,𝑥分布为𝑥𝑥,𝑥𝑥的中点,∴𝑥𝑥=12𝑥𝑥=12(

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